गाउसीय सदिश क्या है? — गणित

परिभाषा 23.10 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 23 — अभिलक्षणिक फलन और केंद्रीय सीमा प्रमेय

कोई यादृच्छिक सदिश $X = (X_1, \dots, X_d)$ गाउसीय कहलाता है यदि प्रत्येक रैखिक संचय $\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i$ कोई (संभवतः अपह्रासी) वास्तविक गाउसीय चर हो। उसका बंटन नियम माध्य सदिश $m = (\E X_i)$ और सहप्रसरण आव्यूह $\Sigma = \bigl(\operatorname{Cov} (X_i, X_j)\bigr)$ से निर्धारित होता है: वस्तुतः सदिश का अभिलक्षणिक फलन $\varphi_X(t) = \E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}$ $\langle t, X\rangle$ के अभिलक्षणिक फलन का $1$ पर मान है:

\varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle - \tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr),

और $d$ -विमीय अभिलक्षणिक फलन एकैकी होते हैं (वही मृदुकरण वाली उपपत्ति जो प्रमेय 23.3 में है, निर्देशांकशः गाउसीय के साथ)।

उदाहरण

उदाहरण 23.9 (विश्वास अंतराल, ईमानदारी से व्युत्पन्न)

$n$ स्वतंत्र मतदाताओं का सर्वेक्षण कीजिए; $\hat p_n = S_n/n$ $\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14$ के साथ वास्तविक $p$ का आकलन करता है। केंद्रीय सीमा प्रमेय बड़े $n$ के लिए

\P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq \frac{z}{2\sqrt n}\Bigr) \;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr| \leq z\Bigr) \longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z),

देती है, जहाँ $\Phi$ मानक गाउसीय बंटन फलन है। $z = 1.96$ के साथ: अनंतस्पर्शी विश्वास $95\%$ , और सीमांत $\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\%$ के लिए $n \geq \bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068$ चाहिए — यही वह संख्या है जो पढ़ने में आने वाले हर “ $\pm3$ अंक, $95\%$ ” के पीछे है; इसकी तुलना चेबिशेव वाले $5556$ (अभ्यास 22.7) से कीजिए। $\sqrt n$ सार्वत्रिक है: त्रुटि आधी करने के लिए प्रतिदर्श चौगुना कीजिए — यही वह नियम है जो मोंते कार्लो की लागत भी तय करता है (अभ्यास 23.7)।

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