Wat is gaussische vector? — Wiskunde

Definitie 23.10 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 23 — Karakteristieke functies en de centrale limietstelling

Een toevalsvector $X = (X_1, \dots, X_d)$ heet gaussisch als elke lineaire combinatie $\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i$ een (mogelijk ontaarde) reële gaussische veranderlijke is. Haar verdeling ligt vast door de gemiddeldenvector $m = (\E X_i)$ en de covariantiematrix $\Sigma = \bigl(\operatorname{Cov} (X_i, X_j)\bigr)$ : inderdaad is de karakteristieke functie van de vector, $\varphi_X(t) = \E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}$ , de waarde in $1$ van de karakteristieke functie van $\langle t, X\rangle$ :

\varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle - \tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr),

en $d$ -dimensionale karakteristieke functies zijn injectief (hetzelfde bewijs met gladstrijken als Stelling 23.3, met coördinaatsgewijze gaussische functies).

Voorbeelden

Voorbeeld 23.9 (Betrouwbaarheidsintervallen, eerlijk afgeleid)

Peil $n$ onafhankelijke kiezers; $\hat p_n = S_n/n$ schat de ware $p$ , met $\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14$ . De centrale limietstelling geeft voor grote $n$

\P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq \frac{z}{2\sqrt n}\Bigr) \;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr| \leq z\Bigr) \longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z),

waarbij $\Phi$ de standaardgaussische verdelingsfunctie is. Met $z = 1.96$ : een asymptotisch betrouwbaarheidsniveau van $95\%$ , en een marge $\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\%$ vereist $n \geq \bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068$ — het getal achter elke “ $\pm3$ punten, $95\%$ ” die je leest; vergelijk met de $5556$ van Chebyshev (Oefening 22.7). De $\sqrt n$ is universeel: om de fout te halveren moet je de steekproef verviervoudigen — dezelfde wet die de kostprijs van monte carlo bepaalt (Oefening 23.7).

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen