Alle boeken

Professioneel

Apps Over Coach Inloggen Begin met lezen

Wiskunde · Begrippenlijst

Wat is gaussische vector?

Definitie 23.10 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 23 — Karakteristieke functies en de centrale limietstelling

Een toevalsvector X=(X1,…,Xd)X = (X_1, \dots, X_d) heet gaussisch als elke lineaire combinatie ⟨t,X⟩=∑tiXi\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i een (mogelijk ontaarde) reële gaussische veranderlijke is. Haar verdeling ligt vast door de gemiddeldenvector m=(EXi)m = (\E X_i) en de covariantiematrix Σ=(Cov⁡(Xi,Xj))\Sigma = \bigl(\operatorname{Cov} (X_i, X_j)\bigr): inderdaad is de karakteristieke functie van de vector, φX(t)=Eei⟨t,X⟩\varphi_X(t) = \E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}, de waarde in 11 van de karakteristieke functie van ⟨t,X⟩\langle t, X\rangle:

φX(t)=exp⁡(i⟨t,m⟩−12 tTΣ t),\varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle - \tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr),

en dd-dimensionale karakteristieke functies zijn injectief (hetzelfde bewijs met gladstrijken als Stelling 23.3, met coördinaatsgewijze gaussische functies).

Voorbeelden

Voorbeeld 23.9 (Betrouwbaarheidsintervallen, eerlijk afgeleid)

Peil nn onafhankelijke kiezers; p^n=Sn/n\hat p_n = S_n/n schat de ware pp, met σ2=p(1−p)≤14\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14. De centrale limietstelling geeft voor grote nn

P(∣p^n−p∣≤z2n)  ≥  P(∣Sn−npσn∣≤z)⟶Φ(z)−Φ(−z),\P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq \frac{z}{2\sqrt n}\Bigr) \;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr| \leq z\Bigr) \longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z),

waarbij Φ\Phi de standaardgaussische verdelingsfunctie is. Met z=1.96z = 1.96: een asymptotisch betrouwbaarheidsniveau van 95%95\%, en een marge 1.962n≤3%\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\% vereist n≥(1.960.06)2≈1068n \geq \bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068 — het getal achter elke “±3\pm3 punten, 95%95\%” die je leest; vergelijk met de 55565556 van Chebyshev (Oefening 22.7). De n\sqrt n is universeel: om de fout te halveren moet je de steekproef verviervoudigen — dezelfde wet die de kostprijs van monte carlo bepaalt (Oefening 23.7).

Lees in het hoofdstuk →

Verwante begrippen