ما معنى متجهة غاوسية؟ — الرياضيات

تعريف 23.10 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · الفصل 23 — الدوال المميِّزة ومبرهنة النهاية المركزية

تكون المتجهة العشوائية $X = (X_1, \dots, X_d)$ غاوسية إذا كانت كل تركيبة خطية $\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i$ متغيّرًا غاوسيًّا حقيقيًّا (وقد يكون منحلًّا). ويتعيّن قانونها بمتجهة المتوسط $m = (\E X_i)$ ومصفوفة التغاير $\Sigma = \bigl(\operatorname{Cov} (X_i, X_j)\bigr)$ : إذ إن الدالة المميِّزة للمتجهة، $\varphi_X(t) = \E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}$ ، هي قيمة الدالة المميِّزة للمقدار $\langle t, X\rangle$ عند $1$ :

\varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle - \tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr),

والدوال المميِّزة ذات البُعد $d$ متباينة (ببرهان التنعيم نفسه كما في المبرهنة 23.3، بغاوسيات إحداثية).

أمثلة

مثال 23.9 (فترات الثقة، مستنبطةً بأمانة)

نستطلع $n$ من الناخبين المستقلين؛ ويقدّر $\hat p_n = S_n/n$ النسبةَ الحقيقية $p$ ، مع $\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14$ . وتعطي مبرهنة النهاية المركزية، من أجل $n$ كبير،

\P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq \frac{z}{2\sqrt n}\Bigr) \;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr| \leq z\Bigr) \longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z),

حيث $\Phi$ دالة التوزيع الغاوسية المعيارية. ومع $z = 1.96$ : ثقةٌ مقاربة $95\%$ ، ويتطلب الهامش $\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\%$ أن يكون $n \geq \bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068$ — أي العدد الكامن وراء كل « $\pm3$ نقاط، $95\%$ » يقرأها المرء؛ وقارن ذلك بعدد تشيبيشيف $5556$ (التمرين 22.7). والعامل $\sqrt n$ شامل: فلتنصيف الخطأ، ضاعف العيّنة أربع مرات — وهو القانون نفسه الذي يحدّد كلفة مونتي كارلو (التمرين 23.7).

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

مصطلحات ذات صلة