¿Qué es vector gaussiano? — Matemáticas

Definición 23.10 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 23 — Funciones características y teorema central del límite

Un vector aleatorio $X = (X_1, \dots, X_d)$ es gaussiano si toda combinación lineal $\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i$ es una variable gaussiana real (posiblemente degenerada). Su ley queda determinada por el vector de medias $m = (\E X_i)$ y la matriz de covarianzas $\Sigma = \bigl(\operatorname{Cov} (X_i, X_j)\bigr)$ : en efecto, la función característica del vector, $\varphi_X(t) = \E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}$ , es el valor en $1$ de la f.c. de $\langle t, X\rangle$ :

\varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle - \tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr),

y las funciones características en dimensión $d$ son inyectivas (la misma demostración por regularización del Teorema 23.3, con gaussianas coordenada a coordenada).

Ejemplos

Ejemplo 23.9 (Intervalos de confianza, deducidos honestamente)

Encuéstese a $n$ votantes independientes; $\hat p_n = S_n/n$ estima el verdadero $p$ , con $\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14$ . El TCL da, para $n$ grande,

\P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq \frac{z}{2\sqrt n}\Bigr) \;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr| \leq z\Bigr) \longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z),

donde $\Phi$ es la función de distribución gaussiana estándar. Con $z = 1.96$ : confianza asintótica $95\%$ , y un margen $\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\%$ exige $n \geq \bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068$ — el número que hay detrás de todo « $\pm3$ puntos, $95\%$ » que uno lee; compárese con el $5556$ de Chebyshev (el Ejercicio 22.7). El $\sqrt n$ es universal: para reducir el error a la mitad, cuadruplíquese la muestra — la misma ley que fija el coste de Monte Carlo (Ejercicio 23.7).

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Ejemplos

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