Apa itu Wronskian? — Matematika

Definisi 16.6 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 16 — Persamaan Diferensial

Untuk penyelesaian $X_1, \dots, X_n$ sistem homogennya, wronskian adalah $W(t) = \det\bigl(X_1(t), \dots, X_n(t)\bigr)$ . Berkat isomorfisma di atas, entah $W$ lenyap secara identik (jadi keluarganya bergantungan) atau tak pernah lenyap (jadi sebuah sistem fundamental); dan secara kuantitatif, $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr) W$ , sehingga

W(t) = W(t_0)\,\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t} \operatorname{tr} A(s)\,\dd s\Bigr) \quad \text{(rumus Liouville)}.

Contoh

Contoh 16.7 (Liouville diperiksa pada sebuah persamaan Euler)

Pada $\intoo{0}{\infty}$ , persamaan $t^2y'' + ty' - y = 0$ punya penyelesaian $y_1(t) = t$ dan $y_2(t) = \frac1t$ (sulihkan). Adapun wronskiannya:

W(t) = \det\begin{pmatrix} t & \tfrac1t\\[2pt] 1 & -\tfrac{1}{t^2}\end{pmatrix} = -\frac1t - \frac1t = -\frac2t ,

yang tak pernah nol: jadi sebuah sistem fundamental. Kini periksalah Liouville: dalam bentuk ternormalkan $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$ , matriks pendampingnya $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ bertrace $-\frac1t$ , jadi

W(t) = W(1)\exp\Bigl(-\int_1^t\frac{\dd s}{s}\Bigr) = -2\,\eu^{-\ln t} = -\frac2t . \checkmark

Pelajaran penutupnya: Liouville meramalkan bentuk wronskiannya sebelum satu penyelesaian pun diketahui — di sini, bahwa $W$ mestilah $\frac{c}{t}$ ; dan inilah yang menggerakkan metode penurunan orde (Proposisi 16.15), tempat mengetahui $y_1$ dan bentuk wronskiannya menentukan $y_2$ lewat satu kuadratur.

Contoh 16.5 (Isomorfisma penilaian, secara konkret)

Untuk $y'' + y = 0$ , yang dipandang sebagai sistem $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ dengan $X = (y, y')$ : teoremanya mengatakan bahwa ruang penyelesaiannya sebuah bidang, dan bahwa $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ merupakan isomorfisma ke $\R^2$ . Adapun penyelesaian $\cos$ dan $\sin$ bernilai $(1, 0)$ dan $(0, 1)$ — yakni basis kanonik $\R^2$ — jadi keduanya membentuk basis ruang penyelesaiannya, dan setiap penyelesaiannya berbunyi

y(t) = y(0)\cos t + y'(0)\sin t ,

dengan koefisiennya dibaca langsung dari data awalnya, tanpa sistem linear yang harus diselesaikan. Pelajaran penutupnya: memilih sistem fundamental yang nilai awalnya berupa basis kanoniknya (di sini $\cos, \sin$ ) persis merupakan memilih kolom $\eu^{tA}$ ; jadi isomorfisma penilaiannya adalah sebab syarat awalnya memparameterkan lintasannya — yakni isi geometris “dinamika deterministik” bagi persamaan linear.

Baca dalam konteks →