Qu'est-ce que « Wronskien » ?

Exemple 16.7 (Liouville vérifiée sur une équation d’Euler)

Sur $\intoo{0}{\infty}$, l’équation $t^2y'' + ty' - y = 0$ a pour solutions $y_1(t) = t$ et $y_2(t) = \frac1t$ (par substitution). Leur wronskien :

jamais nul : un système fondamental. Vérifions maintenant Liouville : sous forme normalisée $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$, la matrice compagnon $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ a pour trace $-\frac1t$, donc

Éclairage final : Liouville prédit la forme du wronskien avant même de connaître aucune solution — ici, que $W$ doit valoir $\frac{c}{t}$ ; c’est ce qui alimente la méthode d’abaissement de l’ordre (Proposition 16.15), où la connaissance de $y_1$ et de la forme du wronskien détermine $y_2$ par une seule quadrature.

Exemple 16.5 (L’isomorphisme d’évaluation, concrètement)

Pour $y'' + y = 0$, vue comme le système $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ avec $X = (y, y')$ : le théorème dit que l’espace des solutions est un plan, et que $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ est un isomorphisme sur $\R^2$. Les solutions $\cos$ et $\sin$ s’évaluent en $(1, 0)$ et $(0, 1)$ — la base canonique de $\R^2$ — elles forment donc une base de l’espace des solutions, et toute solution s’écrit

avec les coefficients lus directement sur les données initiales, sans aucun système linéaire à résoudre. Éclairage final : choisir le système fondamental dont les valeurs initiales forment la base canonique (ici $\cos, \sin$) revient exactement à choisir les colonnes de $\eu^{tA}$ ; l’isomorphisme d’évaluation explique pourquoi les conditions initiales paramètrent les trajectoires — le contenu géométrique de la « dynamique déterministe » pour les équations linéaires.