¿Qué es Wronskiano?

Ejemplo 16.7 (Liouville comprobado en una ecuación de Euler)

Sobre $\intoo{0}{\infty}$, la ecuación $t^2y'' + ty' - y = 0$ tiene las soluciones $y_1(t) = t$ e $y_2(t) = \frac1t$ (sustitúyase). Su wronskiano:

nunca nulo: un sistema fundamental. Comprobemos ahora Liouville: en forma normalizada $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$, la matriz compañera $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ tiene traza $-\frac1t$, luego

Moraleja: Liouville predice la forma del wronskiano antes de conocer ninguna solución —aquí, que $W$ debe ser $\frac{c}{t}$—; esto es lo que impulsa el método de reducción del orden (Proposición 16.15), donde conocer $y_1$ y la forma del wronskiano determina $y_2$ mediante una sola cuadratura.

Ejemplo 16.5 (El isomorfismo de evaluación, en concreto)

Para $y'' + y = 0$, visto como el sistema $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ con $X = (y, y')$: el teorema dice que el espacio de soluciones es un plano y que $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ es un isomorfismo sobre $\R^2$. Las soluciones $\cos$ y $\sin$ se evalúan en $(1, 0)$ y $(0, 1)$ —la base canónica de $\R^2$—, así que forman una base del espacio de soluciones, y toda solución es

con los coeficientes leídos directamente en los datos iniciales, sin ningún sistema lineal que resolver. Moraleja: elegir el sistema fundamental cuyos valores iniciales sean la base canónica (aquí, $\cos$ y $\sin$) es exactamente elegir las columnas de $\eu^{tA}$; el isomorfismo de evaluación es la razón de que las condiciones iniciales parametricen las trayectorias, el contenido geométrico de la “dinámica determinista” para las ecuaciones lineales.