O que é Wronskiano?

Exemplo 16.7 (Liouville conferido numa equação de Euler)

Em $\intoo{0}{\infty}$, a equação $t^2y'' + ty' - y = 0$ tem as soluções $y_1(t) = t$ e $y_2(t) = \frac1t$ (substitua). Seu wronskiano:

nunca nulo: um sistema fundamental. Confira agora Liouville: na forma normalizada $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$, a matriz companheira $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ tem traço $-\frac1t$, logo

Lição final: Liouville prevê a forma do wronskiano antes de qualquer solução ser conhecida — aqui, que $W$ tem de ser $\frac{c}{t}$; é isso que move o método de redução de ordem (Proposição 16.15), em que conhecer $y_1$ e a forma do wronskiano determina $y_2$ por uma quadratura.

Exemplo 16.5 (O isomorfismo de avaliação, concretamente)

Para $y'' + y = 0$, visto como o sistema $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ com $X = (y, y')$: o teorema diz que o espaço de soluções é um plano e que $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ é um isomorfismo sobre $\R^2$. As soluções $\cos$ e $\sin$ avaliam em $(1, 0)$ e $(0, 1)$ — a base canônica de $\R^2$ — de modo que elas formam uma base do espaço de soluções, e toda solução é

com os coeficientes lidos diretamente nos dados iniciais, sem sistema linear a resolver. Lição final: escolher o sistema fundamental cujos valores iniciais são a base canônica (aqui $\cos, \sin$) é exatamente escolher as colunas de $\eu^{tA}$; o isomorfismo de avaliação é a razão pela qual as condições iniciais parametrizam as trajetórias — o conteúdo geométrico de “dinâmica determinística” para equações lineares.