Wat is Wronskiaan? — Wiskunde

Definitie 16.6 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 16 — Differentiaalvergelijkingen

Voor oplossingen $X_1, \dots, X_n$ van het homogene stelsel is de wronskiaan $W(t) = \det\bigl(X_1(t), \dots, X_n(t)\bigr)$ . Volgens het isomorfisme hierboven verdwijnt $W$ ofwel identiek (de familie is afhankelijk) ofwel nooit (een fundamentaalstelsel); kwantitatief is $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr) W$ , dus

W(t) = W(t_0)\,\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t} \operatorname{tr} A(s)\,\dd s\Bigr) \quad \text{(formule van Liouville)}.

Voorbeelden

Voorbeeld 16.7 (Liouville nagegaan op een euler-vergelijking)

Op $\intoo{0}{\infty}$ heeft de vergelijking $t^2y'' + ty' - y = 0$ de oplossingen $y_1(t) = t$ en $y_2(t) = \frac1t$ (substitueer). Hun wronskiaan:

W(t) = \det\begin{pmatrix} t & \tfrac1t\\[2pt] 1 & -\tfrac{1}{t^2}\end{pmatrix} = -\frac1t - \frac1t = -\frac2t ,

nooit nul: een fundamentaalstelsel. Ga nu Liouville na: in genormaliseerde vorm $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$ heeft de begeleidende matrix $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ spoor $-\frac1t$ , dus

W(t) = W(1)\exp\Bigl(-\int_1^t\frac{\dd s}{s}\Bigr) = -2\,\eu^{-\ln t} = -\frac2t . \checkmark

Het inzicht om te onthouden: Liouville voorspelt de vorm van de wronskiaan nog voordat er één oplossing bekend is — hier dat $W$ gelijk moet zijn aan $\frac{c}{t}$ ; dat is wat de methode van de orderverlaging aandrijft (Propositie 16.15), waar het kennen van $y_1$ en van de vorm van de wronskiaan $y_2$ met één kwadratuur vastlegt.

Voorbeeld 16.5 (Het evaluatie-isomorfisme, concreet)

Voor $y'' + y = 0$ , opgevat als het stelsel $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ met $X = (y, y')$ : de stelling zegt dat de oplossingsruimte een vlak is en dat $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ een isomorfisme op $\R^2$ is. De oplossingen $\cos$ en $\sin$ evalueren tot $(1, 0)$ en $(0, 1)$ — de canonieke basis van $\R^2$ — dus vormen zij een basis van de oplossingsruimte, en elke oplossing is

y(t) = y(0)\cos t + y'(0)\sin t ,

met de coëfficiënten rechtstreeks van de beginwaarden afgelezen, zonder enig lineair stelsel op te lossen. Het inzicht om te onthouden: het fundamentaalstelsel kiezen waarvan de beginwaarden de canonieke basis vormen (hier $\cos, \sin$ ) is precies de kolommen van $\eu^{tA}$ kiezen; het evaluatie-isomorfisme is de reden waarom beginvoorwaarden banen parametriseren — de meetkundige inhoud van “deterministische dynamica” voor lineaire vergelijkingen.

Lees in het hoofdstuk →