व्रोंस्कियन क्या है?

उदाहरण 16.7 (किसी ऑयलर समीकरण पर ल्यूविल की जाँच)

$\intoo{0}{\infty}$ पर समीकरण $t^2y'' + ty' - y = 0$ के हल $y_1(t) = t$ और $y_2(t) = \frac1t$ हैं (प्रतिस्थापित कीजिए)। उनका व्रोंस्कियन:

जो कभी शून्य नहीं: अर्थात् मूलभूत निकाय। अब ल्यूविल जाँचिए: सामान्यीकृत रूप $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$ में सहचर आव्यूह $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ का अनुरेख $-\frac1t$ है, अतः

समापन दृष्टि: ल्यूविल किसी हल के ज्ञात होने से पहले ही व्रोंस्कियन का आकार बता देती है — यहाँ कि $W$ $\frac{c}{t}$ होना चाहिए; और यही कोटि-घटाने की विधि (प्रतिज्ञप्ति 16.15) को चलाता है, जहाँ $y_1$ और व्रोंस्कियन का रूप जानने से $y_2$ एक ही समाकलन में मिल जाता है।

उदाहरण 16.5 (मूल्यांकन तुल्याकारिता, मूर्त रूप में)

$y'' + y = 0$ के लिए, जिसे $X = (y, y')$ के साथ निकाय $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ के रूप में देखा गया है: प्रमेय कहती है कि हल-समष्टि एक समतल है और $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ $\R^2$ पर तुल्याकारिता है। हल $\cos$ और $\sin$ $(1, 0)$ तथा $(0, 1)$ — अर्थात् $\R^2$ का विहित आधार — पर मूल्यांकित होते हैं, अतः वे हल-समष्टि का आधार बनाते हैं, और हर हल

है, जहाँ गुणांक सीधे आरंभिक आँकड़ों से पढ़ लिए जाते हैं, कोई रैखिक निकाय हल नहीं करना पड़ता। समापन दृष्टि: वह मूलभूत निकाय चुनना जिसके आरंभिक मान विहित आधार हों (यहाँ $\cos, \sin$), ठीक $\eu^{tA}$ के स्तंभ चुनना है; और मूल्यांकन तुल्याकारिता ही वह कारण है कि आरंभिक शर्तें प्रक्षेप-पथों का प्राचलन कर देती हैं — रैखिक समीकरणों के लिए “नियतिवादी गतिकी” की ज्यामितीय सामग्री यही है।