Wat is samenhangende ruimte?

Voorbeeld 4.28

$GL_n(\R)$ is niet samenhangend: $\det$ is continu (een veelterm in de elementen) en surjectief op $\R^*$, dat niet samenhangend is; de originelen van $\R_+^*$ en $\R_-^*$ splitsen $GL_n(\R)$. (Elk stuk is in feite wegsamenhangend — een aangename oefening, buiten wat wij nodig hebben.) Daartegenover is $GL_n(\C)$ wegsamenhangend: Oefening 4.10.

Voorbeeld 4.29 (Een vast punt uit samenhang alleen)

Elke continue $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ heeft een vast punt — zonder contractiehypothese, zonder iteratie. Beschouw $g(x) = f(x) - x$, continu op het samenhangende $\intcc01$:

en de tussenwaardestelling (Stelling 4.27 (2)) levert een nulpunt van $g$, dat wil zeggen een vast punt van $f$. Vergelijk dit met Banach (Stelling 4.12): hier is het bestaan topologisch en gratis, maar de eenduidigheid en het algoritme zijn verloren — bij $f = \mathrm{id}$ ligt elk punt vast, en de iteratie van een niet-samentrekkende $f$ kan eeuwig blijven rondcirkelen. De twee vastepuntsstellingen van dit hoofdstuk beantwoorden verschillende vragen in verschillende munteenheden.

Voorbeeld 4.30 ($\R$ en $\R^2$ zijn niet homeomorf)

Samenhang is een topologische vingerafdruk. Stel dat $h \colon \R^2 \to \R$ een homeomorfisme was (een continue bijectie met continue inverse). Verwijder één punt $a \in \R^2$: de beperking $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to \R\setminus\{h(a)\}$ is nog steeds een homeomorfisme. Maar $\R^2$ min één punt is wegsamenhangend — verbind twee punten door een segment, en maak een omweg langs een tweede segment via een hulppunt als $a$ het rechtstreekse segment blokkeert — en dus samenhangend (Stelling 4.27 (3)); terwijl $\R$ min één punt in twee niet-lege open halfrechten uiteenvalt: niet samenhangend. Samenhang blijft onder continue afbeeldingen behouden: tegenspraak. Het vlak en de rechte zijn werkelijk verschillend als topologische ruimten — een feit dat kardinaliteit alleen (bijecties in de trant van Oefening 1.3 bestaan wel degelijk!) te grof is om te zien.

Voorbeeld 6.22 (De sinuskromme van de topoloog)

Zij $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ en $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (elk punt $(0, y)$ met $\abs y \leq 1$ is een limiet van punten van $\Gamma$: los $\sin\frac1x = y$ op nabij $0$). Dan is $S$ samenhangend — de afsluiting van de samenhangende $\Gamma$, een continu beeld van $(0, 1]$ (Stelling 6.20(3)) — maar niet wegsamenhangend: een weg van $(1, \sin 1)$ naar $(0,0)$ zou abscissen $\to 0$ moeten doorlopen terwijl de ordinaat tussen $\pm1$ blijft schommelen; Oefening 6.9 maakt dit precies. Samenhang en wegsamenhang verschillen dus werkelijk.