Wat is Algebra? — Wiskunde

Definitie 1.33 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 1 — Verzamelingen en structuren

Een $K$ -algebra is een $K$ -vectorruimte $A$ met een ringstructuur waarvan de vermenigvuldiging $K$ -bilineair is. Voorbeelden: $K[X]$ , $\mathcal{M}_n(K)$ , $\mathcal{L}(E)$ , functieruimten $\mathcal{F}(X, K)$ , en $\C$ als $\R$ -algebra. Morfismen van algebra’s zijn lineaire ringmorfismen; de evaluatie $P \mapsto P(u)$ van $K[X]$ naar $\mathcal{L}(E)$ (of $\mathcal{M}_n(K)$ ) is het centrale voorbeeld, en de motor van Hoofdstuk 3.

Voorbeelden

Voorbeeld 1.34 (Een evaluatiemorfisme en zijn kern)

Neem $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ en de evaluatie $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$ , $P \mapsto P(A)$ . Omdat $A^2 = 0$ is

P(A) = P(0)\,I + P'(0)\,A = \begin{pmatrix} P(0) & P'(0)\\ 0 & P(0)\end{pmatrix},

(alleen de constante en de lineaire term van $P$ overleven). Bijgevolg is $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$ : een hoofdideaal, precies zoals Stelling 1.26 voorspelt, voortgebracht door de monische $X^2$ van kleinste graad in de kern — de minimale veelterm van $A$ , hoofdrolspeler in Hoofdstuk 3. Het beeld is de tweedimensionale commutatieve algebra $\{aI + bA\}$ : evaluatiemorfismen krimpen het oneindigdimensionale $\R[X]$ tot kleine, berekenbare algebra’s.

Lees in het hoofdstuk →