Apa itu Aljabar? — Matematika

Definisi 1.33 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 1 — Himpunan dan Struktur

Sebuah aljabar- $K$ adalah ruang vektor $K$ bernama $A$ yang dilengkapi struktur ring dengan perkalian yang bilinear atas $K$ . Contohnya: $K[X]$ , $\mathcal{M}_n(K)$ , $\mathcal{L}(E)$ , ruang fungsi $\mathcal{F}(X, K)$ , dan $\C$ sebagai aljabar- $\R$ . Morfisma aljabar adalah morfisma ring yang linear; evaluasi $P \mapsto P(u)$ dari $K[X]$ ke $\mathcal{L}(E)$ (atau ke $\mathcal{M}_n(K)$ ) adalah contoh pusatnya, yang menggerakkan Bab 3.

Contoh

Contoh 1.34 (Morfisma evaluasi dan kernelnya)

Ambil $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ dan evaluasi $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$ , $P \mapsto P(A)$ . Karena $A^2 = 0$ ,

P(A) = P(0)\,I + P'(0)\,A = \begin{pmatrix} P(0) & P'(0)\\ 0 & P(0)\end{pmatrix},

(hanya suku tetap dan suku linear $P$ yang bertahan). Karenanya $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$ : sebuah ideal utama, persis seperti diramalkan Teorema 1.26, dibangun oleh $X^2$ yang monik dan berderajat terkecil di dalam kernel — itulah polinomial minimal $A$ , bintang Bab 3. Petanya adalah aljabar komutatif berdimensi dua $\{aI + bA\}$ : morfisma evaluasi menciutkan $\R[X]$ yang berdimensi tak hingga menjadi aljabar kecil yang terhitungkan.

Baca dalam konteks →