ما معنى الجبر؟ — الرياضيات

تعريف 1.33 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 1 — المجموعات والبنى

الجبر على $K$ هو فضاء متجهي $K$ على $A$ مزوَّد ببنية حلقة ضربها ثنائي الخطية على $K$ . أمثلة: $K[X]$ و $\mathcal{M}_n(K)$ و $\mathcal{L}(E)$ ، وفضاءات الدوال $\mathcal{F}(X, K)$ ، و $\C$ بوصفه جبرًا على $\R$ . وتشاكلات الجبور هي تشاكلات الحلقات الخطية؛ وتطبيق التقييم $P \mapsto P(u)$ من $K[X]$ نحو $\mathcal{L}(E)$ (أو $\mathcal{M}_n(K)$ ) هو المثال المركزي، وهو محرّك الفصل 3.

أمثلة

مثال 1.34 (تشاكل تقييم ونواته)

لنأخذ $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ وتطبيق التقييم $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$ ، $P \mapsto P(A)$ . بما أن $A^2 = 0$ ، فإن

P(A) = P(0)\,I + P'(0)\,A = \begin{pmatrix} P(0) & P'(0)\\ 0 & P(0)\end{pmatrix},

(إذ لا يبقى من $P$ إلا الحدّان الثابت والخطي). ومنه $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$ : وهو مثالي رئيسي، تمامًا كما تتنبأ به المبرهنة 1.26، ومولَّد بكثير الحدود $X^2$ الموحَّد ذي الدرجة الدنيا في النواة — أي كثير الحدود الأدنى للمصفوفة $A$ ، بطل الفصل 3. والصورة هي الجبر التبادلي ذو البعد اثنين $\{aI + bA\}$ : فتشاكلات التقييم تقلّص $\R[X]$ غير المنتهي البعد إلى جبور صغيرة قابلة للحساب.

اقرأ في الفصل ←