ما معنى الجبر؟

مثال 1.34 (تشاكل تقييم ونواته)

لنأخذ $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ وتطبيق التقييم $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$، $P \mapsto P(A)$. بما أن $A^2 = 0$، فإن

(إذ لا يبقى من $P$ إلا الحدّان الثابت والخطي). ومنه $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$: وهو مثالي رئيسي، تمامًا كما تتنبأ به المبرهنة 1.26، ومولَّد بكثير الحدود $X^2$ الموحَّد ذي الدرجة الدنيا في النواة — أي كثير الحدود الأدنى للمصفوفة $A$، بطل الفصل 3. والصورة هي الجبر التبادلي ذو البعد اثنين $\{aI + bA\}$: فتشاكلات التقييم تقلّص $\R[X]$ غير المنتهي البعد إلى جبور صغيرة قابلة للحساب.