¿Qué es Álgebra? — Matemáticas

Definición 1.33 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 1 — Conjuntos y estructuras

Una $K$ -álgebra es un $K$ -espacio vectorial $A$ dotado de una estructura de anillo cuya multiplicación es $K$ -bilineal. Ejemplos: $K[X]$ , $\mathcal{M}_n(K)$ , $\mathcal{L}(E)$ , los espacios de funciones $\mathcal{F}(X, K)$ , $\C$ como $\R$ -álgebra. Los morfismos de álgebras son los morfismos de anillos lineales; la evaluación $P \mapsto P(u)$ de $K[X]$ en $\mathcal{L}(E)$ (o en $\mathcal{M}_n(K)$ ) es el ejemplo central, y es el motor del Capítulo 3.

Ejemplos

Ejemplo 1.34 (Un morfismo de evaluación y su núcleo)

Tomemos $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ y la evaluación $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$ , $P \mapsto P(A)$ . Como $A^2 = 0$ ,

P(A) = P(0)\,I + P'(0)\,A = \begin{pmatrix} P(0) & P'(0)\\ 0 & P(0)\end{pmatrix},

(solo sobreviven los términos constante y lineal de $P$ ). Por tanto $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$ : un ideal principal, exactamente como predice el Teorema 1.26, generado por el polinomio mónico $X^2$ de menor grado del núcleo —el polinomio mínimo de $A$ , protagonista del Capítulo 3—. La imagen es el álgebra conmutativa de dimensión dos $\{aI + bA\}$ : los morfismos de evaluación comprimen el $\R[X]$ de dimensión infinita sobre álgebras pequeñas y calculables.

Leer en el capítulo →