O que é Álgebra? — Matemática

Definição 1.33 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 1 — Conjuntos e estruturas

Uma $K$ -álgebra é um $K$ -espaço vetorial $A$ munido de uma estrutura de anel cuja multiplicação é $K$ -bilinear. Exemplos: $K[X]$ , $\mathcal{M}_n(K)$ , $\mathcal{L}(E)$ , espaços de funções $\mathcal{F}(X, K)$ , $\C$ como $\R$ -álgebra. Os morfismos de álgebras são os morfismos de anéis lineares; a avaliação $P \mapsto P(u)$ de $K[X]$ em $\mathcal{L}(E)$ (ou $\mathcal{M}_n(K)$ ) é o exemplo central, motor do Capítulo 3.

Exemplos

Exemplo 1.34 (Um morfismo de avaliação e seu núcleo)

Tome $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ e a avaliação $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$ , $P \mapsto P(A)$ . Como $A^2 = 0$ ,

P(A) = P(0)\,I + P'(0)\,A = \begin{pmatrix} P(0) & P'(0)\\ 0 & P(0)\end{pmatrix},

(só sobrevivem os termos constante e linear de $P$ ). Logo $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$ : um ideal principal, exatamente como prevê o Teorema 1.26, gerado pelo polinômio mônico $X^2$ de menor grau no núcleo — o polinômio minimal de $A$ , estrela do Capítulo 3. A imagem é a álgebra comutativa de dimensão dois $\{aI + bA\}$ : os morfismos de avaliação encolhem o espaço $\R[X]$ , de dimensão infinita, sobre álgebras pequenas e calculáveis.

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