Qu'est-ce que « Algèbre » ? — Mathématiques

Définition 1.33 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 1 — Ensembles et structures

Une $K$ -algèbre est un $K$ -espace vectoriel $A$ muni d’une structure d’anneau dont la multiplication est $K$ -bilinéaire. Exemples : $K[X]$ , $\mathcal{M}_n(K)$ , $\mathcal{L}(E)$ , les espaces de fonctions $\mathcal{F}(X, K)$ , $\C$ comme $\R$ -algèbre. Les morphismes d’algèbres sont les morphismes d’anneaux linéaires ; l’évaluation $P \mapsto P(u)$ de $K[X]$ vers $\mathcal{L}(E)$ (ou $\mathcal{M}_n(K)$ ) est l’exemple central, moteur du Chapitre 3.

Exemples

Exemple 1.34 (Un morphisme d’évaluation et son noyau)

Prenons $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ et l’évaluation $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$ , $P \mapsto P(A)$ . Puisque $A^2 = 0$ ,

P(A) = P(0)\,I + P'(0)\,A = \begin{pmatrix} P(0) & P'(0)\\ 0 & P(0)\end{pmatrix},

(seuls les termes constant et linéaire de $P$ subsistent). Donc $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$ : un idéal principal, exactement comme le prévoit le Théorème 1.26, engendré par le polynôme unitaire $X^2$ de plus petit degré dans le noyau — le polynôme minimal de $A$ , vedette du Chapitre 3. L’image est l’algèbre commutative de dimension deux $\{aI + bA\}$ : les morphismes d’évaluation réduisent le $\R[X]$ de dimension infinie à de petites algèbres calculables.

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