बीजगणित क्या है? — गणित

परिभाषा 1.33 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 1 — समुच्चय और संरचनाएँ

$K$ -बीजगणित ऐसी $K$ -सदिश समष्टि $A$ है जिस पर वलय संरचना हो और जिसका गुणन $K$ -द्विरैखिक हो। उदाहरण: $K[X]$ , $\mathcal{M}_n(K)$ , $\mathcal{L}(E)$ , फलन समष्टियाँ $\mathcal{F}(X, K)$ , तथा $\R$ -बीजगणित के रूप में $\C$ । बीजगणितों की समाकारिताएँ रैखिक वलय समाकारिताएँ होती हैं; और $K[X]$ से $\mathcal{L}(E)$ (अथवा $\mathcal{M}_n(K)$ ) में जाने वाली मूल्यांकन $P \mapsto P(u)$ केंद्रीय उदाहरण है, जो अध्याय 3 को चलाती है।

उदाहरण

उदाहरण 1.34 (एक मूल्यांकन समाकारिता और उसका केंद्रक)

लीजिए $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ और मूल्यांकन $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$ , $P \mapsto P(A)$ । चूँकि $A^2 = 0$ ,

P(A) = P(0)\,I + P'(0)\,A = \begin{pmatrix} P(0) & P'(0)\\ 0 & P(0)\end{pmatrix},

( $P$ के केवल अचर और रैखिक पद बचते हैं)। अतः $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$ : एक मुख्य गुणजावली, ठीक जैसा प्रमेय 1.26 बताती है, जो केंद्रक में न्यूनतम घात के एकिक $X^2$ से जनित है — यही $A$ का न्यूनतम बहुपद है, अध्याय 3 का नायक। प्रतिबिंब दो-विमीय क्रमविनिमेय बीजगणित $\{aI + bA\}$ है: मूल्यांकन समाकारिताएँ अनंत-विमीय $\R[X]$ को छोटे, परिकलनीय बीजगणितों पर सिकोड़ देती हैं।

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