Wat is compacte operator?

Voorbeeld 15.3

(a) Diagonaaloperatoren op $\ell^2$: $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ is compact dan en slechts dan als $\lambda_n \to 0$ (Oefening 15.2). (b) Kernoperatoren op $\mathcal C(\intcc01)$: compact volgens Ascoli (Oefening 7.7). (c) Hilbert-schmidtoperatoren: voor $k \in L^2(\intcc01^2)$ definieert

een compacte operator op $L^2(\intcc01)$ met $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (Oefening 15.4: de basisontwikkeling van $k$ afknotten toont $T_k$ als limiet van operatoren van eindige rang).

Voorbeeld 15.9

Stel op $L^2(\intcc01)$ $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$: een hilbert-schmidtoperator met reële symmetrische kern, dus compact en zelftoegevoegd. Het oplossen van $Tf = \lambda f$: de betrekking $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ toont dat $u = Tf$ voldoet aan $u'' = -f$ (twee keer differentiëren, geoorloofd voor continue $f$, en $Tf$ is continu voor $f \in L^2$: gedomineerde convergentie), met $u(0) = 0$ en $u'(1) = 0$. Eigenfuncties lossen dus $\lambda u'' = -u$ op met $u(0) = 0$ en $u'(1) = 0$:

en de spectraalstelling beweert — zonder enige fouriertheorie — dat deze sinussen na normering een orthonormale basis van $L^2(\intcc01)$ vormen (de kern van $T$ is $0$: $Tf = 0$ dwingt via de twee differentiaties $f = 0$ b.o. af). De weekendopgave doorloopt dezelfde ideeënkring voor de trillende snaar en haalt $\zeta(2)$ uit het spoor.