¿Qué es operador compacto?

Ejemplo 15.3

(a) Operadores diagonales sobre $\ell^2$: $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ es compacto si y solo si $\lambda_n \to 0$ (Ejercicio 15.2). (b) Operadores con núcleo sobre $\mathcal C(\intcc01)$: compactos por Ascoli (el Ejercicio 7.7). (c) Operadores de Hilbert–Schmidt: para $k \in L^2(\intcc01^2)$,

define un operador compacto sobre $L^2(\intcc01)$ con $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (el Ejercicio 15.4: truncar el desarrollo en la base de $k$ exhibe $T_k$ como límite de operadores de rango finito).

Ejemplo 15.9

Sobre $L^2(\intcc01)$, sea $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$: un operador de Hilbert–Schmidt con núcleo real y simétrico: compacto y autoadjunto. Resolviendo $Tf = \lambda f$: la relación $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ muestra que $u = Tf$ cumple $u'' = -f$ (dos derivaciones, lícitas para $f$ continua, y $Tf$ es continua para $f \in L^2$: convergencia dominada), con $u(0) = 0$ y $u'(1) = 0$. Así pues, las funciones propias resuelven $\lambda u'' = -u$, $u(0) = 0$, $u'(1) = 0$:

y el teorema espectral afirma — sin teoría de Fourier alguna — que estos senos forman una base ortonormal de $L^2(\intcc01)$ tras normalizar (el núcleo de $T$ es $0$: $Tf = 0$ obliga, por las dos derivaciones, a $f = 0$ en casi todo punto). El problema de fin de semana recorre el mismo círculo de ideas para la cuerda vibrante y extrae $\zeta(2)$ de la traza.