Qu'est-ce que « opérateur compact » ?

Exemple 15.3

(a) Opérateurs diagonaux sur $\ell^2$ : $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ est compact ssi $\lambda_n \to 0$ (Exercice 15.2). (b) Opérateurs à noyau sur $\mathcal C(\intcc01)$ : compacts par Ascoli (Exercice 7.7). (c) Opérateurs de Hilbert–Schmidt : pour $k \in L^2(\intcc01^2)$,

définit un opérateur compact sur $L^2(\intcc01)$ avec $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (Exercice 15.4 : tronquer le développement en base de $k$ exhibe $T_k$ comme limite d’opérateurs de rang fini).

Exemple 15.9

Sur $L^2(\intcc01)$, soit $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$ : un opérateur de Hilbert–Schmidt à noyau réel symétrique : compact et autoadjoint. Résoudre $Tf = \lambda f$ : la relation $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ montre que $u = Tf$ satisfait $u'' = -f$ (deux dérivations, légitimes pour $f$ continue, et $Tf$ est continue pour $f \in L^2$ : convergence dominée), avec $u(0) = 0$ et $u'(1) = 0$. Donc les fonctions propres résolvent $\lambda u'' = -u$, $u(0) = 0$, $u'(1) = 0$ :

et le théorème spectral affirme — sans aucune théorie de Fourier — que ces sinus forment une base orthonormée de $L^2(\intcc01)$ après normalisation (le noyau de $T$ est $0$ : $Tf = 0$ force, par les deux dérivations, $f = 0$ p.p.). Le problème du week-end parcourt le même cercle d’idées pour la corde vibrante et extrait $\zeta(2)$ de la trace.