O que é operador compacto?

Exemplo 15.3

(a) Operadores diagonais em $\ell^2$: $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ é compacto se, e somente se, $\lambda_n \to 0$ (Exercício 15.2). (b) Operadores com núcleo em $\mathcal C(\intcc01)$: compactos por Ascoli (Exercício 7.7). (c) Operadores de Hilbert–Schmidt: para $k \in L^2(\intcc01^2)$,

define um operador compacto em $L^2(\intcc01)$ com $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (Exercício 15.4: truncar a expansão de $k$ na base exibe $T_k$ como limite de operadores de posto finito).

Exemplo 15.9

Em $L^2(\intcc01)$, seja $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$: um operador de Hilbert–Schmidt de núcleo real e simétrico, portanto compacto e autoadjunto. Resolvendo $Tf = \lambda f$: a relação $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ mostra que $u = Tf$ satisfaz $u'' = -f$ (duas derivações, legítimas para $f$ contínua, e $Tf$ é contínua para $f \in L^2$: convergência dominada), com $u(0) = 0$ e $u'(1) = 0$. Assim, as autofunções resolvem $\lambda u'' = -u$, $u(0) = 0$, $u'(1) = 0$:

e o teorema espectral afirma — sem nenhuma teoria de Fourier — que esses senos formam, após normalização, uma base ortonormal de $L^2(\intcc01)$ (o núcleo de $T$ é $0$: $Tf = 0$ força, pelas duas derivações, $f = 0$ q.t.p.). O problema de fim de semana percorre o mesmo círculo de ideias para a corda vibrante e extrai $\zeta(2)$ do traço.