Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

15Compacte operatoren en de spectraalstelling

Diagonalisatie is de kroonjuweel van eindig-dimensionale lineaire algebra: een symmetrische matrix heeft een orthonormale basis van eigenvectoren. In oneindige dimensie faalt dit voor begrensde zelftoegevoegde operatoren in het algemeen — vermenigvuldiging met $x$ op $L^2(\intcc01)$ heeft geen eigenwaarden (Oefening 15.6) — maar het overleeft, in perfecte vorm, voor de operatoren die bijna eindig-dimensionaal zijn: de compacte. De spectraalstelling voor compacte zelftoegevoegde operatoren is de meest gebruikte stelling van toegepaste functionaalanalyse: ze diagonaliseert integraalvergelijkingen, drijft het alternatief van Fredholm, en (weekendopgave) lost de trillende snaar op, waarbij de sinusbasis van Fourier-analyse uit pure operatortheorie voortkomt — met Eulers $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ uit een spoorformule als afscheidscadeau. Doorheen is $H$ een Hilbert-ruimte over $\C$ (of $\R$ ; uitspraken passen zich aan), en operatoren zijn begrensd.

15.1 Compacte operatoren

Definitie 15.1

$T \in \mathcal L(E, F)$ ( $E, F$ Banach) is compact als het beeld $T(B)$ van de eenheidsbol relatief compact is in $F$ — equivalent, elke begrensde rij $(x_n)$ heeft een deelrij met $(Tx_{n_k})$ convergent. Eindig-rang-operatoren zijn compact (begrensde verzamelingen in eindige dimensie); de identiteit van een oneindig-dimensionale ruimte is dat nooit (stelling van Riesz, Jaar 2).

Propositie 15.2

De compacte operatoren $\mathcal K(E, F)$ vormen een gesloten deelruimte van $\mathcal L(E, F)$ , en een tweezijdig ideaal: $S$ compact $\Rightarrow$ $AS$ en $SB$ compact voor begrensde $A, B$ . Bovendien is in een Hilbert-ruimte elke compacte operator een normlimiet van eindig-rang-operatoren.

Bewijs. Deelruimte: duidelijk uit de rijkarakterisering. Ideaal: begrensde afbeeldingen sturen convergente rijen naar convergente en begrensde naar begrensde. Geslotenheid: laat $T_n \to T$ met $T_n$ compact, en $(x_k)$ begrensd door $1$ ; een diagonale extractie maakt $(T_nx_{k_j})_j$ convergent voor elke $n$ ; dan is $(Tx_{k_j})$ Cauchy, omdat

\norm{Tx_{k_j} - Tx_{k_l}} \leq 2\vertiii{T - T_n} + \norm{T_nx_{k_j} - T_nx_{k_l}} ,

eerst $n$ kiezend dan de indices. Benadering in Hilbert-ruimten: zij $T$ compact, $K = \overline{T(B)}$ compact; gegeven $\varepsilon$ , bedek $K$ door eindig veel bollen $B(y_i, \varepsilon)$ en laat $P$ de orthogonale projectie op $V = \operatorname{Vect}(y_1, \dots, y_m)$ zijn (gesloten: eindig-dimensionaal). Dan heeft $PT$ eindige rang, en voor $\norm x \leq 1$ : kies $y_i$ met $\norm{Tx - y_i} < \varepsilon$ ,

\norm{Tx - PTx} \leq \norm{Tx - y_i} + \norm{P(y_i - Tx)} \leq 2\varepsilon

( $y_i = Py_i$ ; $\vertiii P \leq 1$ ): $\vertiii{T - PT} \leq 2\varepsilon$ . ∎

Voorbeeld 15.3

(a) Diagonaaloperatoren op $\ell^2$ : $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ is compact desda $\lambda_n \to 0$ (Oefening 15.2). (b) Kernoperatoren op $\mathcal C(\intcc01)$ : compact via Ascoli (Oefening 7.7). (c) Hilbert–Schmidt-operatoren: voor $k \in L^2(\intcc01^2)$ ,

(T_kf)(x) = \int_0^1k(x, y)\,f(y)\,\dd y

definieert een compacte operator op $L^2(\intcc01)$ met $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (Oefening 15.4: afknotten van de basisontwikkeling van $k$ toont $T_k$ als limiet van eindig-rang-operatoren).

15.2 Zelftoegevoegde operatoren

Definitie 15.4

$T \in \mathcal L(H)$ is zelftoegevoegd als $T = T^*$ (Oefening 13.8), d.w.z. $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ voor alle $x, y$ . Dan $\langle x, Tx\rangle \in \R$ voor elke $x$ (gelijk aan haar geconjugeerde).

Propositie 15.5

Voor zelftoegevoegd $T$ :

\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\ \abs{\langle x, Tx\rangle} .

Eigenwaarden van $T$ zijn reëel, en eigenvectoren voor onderscheiden eigenwaarden zijn orthogonaal.

Bewijs. Zij $M$ het supremum; $M \leq \vertiii T$ via Cauchy–Schwarz. Omgekeerd, de polarisatie-type identiteit

\langle x{+}y, T(x{+}y)\rangle - \langle x{-}y, T(x{-}y)\rangle = 4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle

(ontwikkel; de kruistermen $\langle y, Tx\rangle + \langle x, Ty\rangle = 2\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle$ via zelftoegevoegdheid) geeft, met de parallellogramwet,

4\operatorname{Re}\langle y, Tx\rangle \leq M\bigl(\norm{x{+}y}^2 + \norm{x{-}y}^2\bigr) = 2M\bigl(\norm x^2 + \norm y^2\bigr).

Voor $\norm x = 1$ met $Tx \neq 0$ , neem $y = Tx/\norm{Tx}$ : $4\norm{Tx} \leq 4M$ . Dus $\vertiii T \leq M$ . Eigenwaarden: $Tx = \lambda x$ , $x \ne 0$ geeft $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \in \R$ . Orthogonaliteit: $\lambda\langle x, y\rangle = \langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ met $\lambda \neq \mu$ reëel. ∎

15.3 De spectraalstelling

Lemma 15.6 (Bestaan van een extreme eigenwaarde)

Zij $T \neq 0$ compact en zelftoegevoegd. Dan is $\vertiii T$ of $-\vertiii T$ een eigenwaarde van $T$ .

Bewijs. Via Propositie 15.5, kies eenheidsvectoren $x_n$ met $\langle x_n, Tx_n\rangle \to \mu$ , waar $\abs\mu = \vertiii T > 0$ (ga naar een deelrij om het teken te fixeren). Dan

\norm{Tx_n - \mu x_n}^2 = \norm{Tx_n}^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \leq \vertiii T^2 - 2\mu\langle x_n, Tx_n\rangle + \mu^2 \longrightarrow 2\mu^2 - 2\mu\cdot\mu = 0 .

Via compactheid, een deelrij $Tx_{n_k} \to y$ ; dan $\mu x_{n_k} = Tx_{n_k} - (Tx_{n_k} - \mu x_{n_k}) \to y$ , dus $x_{n_k} \to x = y/\mu$ , een eenheidsvector, en continuïteit geeft $Tx = \mu x$ . ∎

Stelling 15.7 (Spectraalstelling voor compacte zelftoegevoegde operatoren)

Zij $T$ een compacte zelftoegevoegde operator op een Hilbert-ruimte $H$ .

$H$ laat een orthonormaal stelsel $(e_n)_{n \in N}$ toe ( $N$ eindig of aftelbaar) van eigenvectoren van $T$ , met reële niet-nul eigenwaarden $(\lambda_n)$ , zodat

$Tx = \sum_{n\in N}\lambda_n\,\langle e_n, x\rangle\, e_n \qquad (x \in H),$

en $H = \ker T \,\oplus^\perp\, \overline{\operatorname{Vect}}(e_n : n \in N)$ .
Als $N$ oneindig is, $\lambda_n \to 0$ ; voor elke $\delta > 0$ hebben slechts eindig veel $n$ $\abs{\lambda_n} \geq \delta$ , en elke eigenruimte $\ker(T - \lambda)$ , $\lambda \neq 0$ , is eindig-dimensionaal.
$(e_n)$ voltooien met een orthonormale basis van $\ker T$ levert, wanneer $H$ separabel is, een orthonormale basis van $H$ gemaakt van eigenvectoren: $T$ is gediagonaliseerd.

Bewijs. (2) eerst. Als oneindig veel orthonormale eigenvectoren $x_k$ $\abs{\lambda_{(k)}} \geq \delta$ hadden: $\norm{Tx_k - Tx_l}^2 = \lambda_{(k)}^2 + \lambda_{(l)}^2 \geq 2\delta^2$ (orthogonaliteit, Pythagoras): geen convergente deelrij van $(Tx_k)$ , weersprekend compactheid van $T$ op de begrensde $(x_k)$ . Dit begrens door een eindig getal, voor elke $\delta$ , de totale multipliciteit van eigenwaarden buiten $\intoo{-\delta}\delta$ ; aftelbaarheid en $\lambda_n \to 0$ volgen.

(1) Zij $H_0$ de gesloten opspanning van alle eigenvectoren met niet-nul eigenwaarden, georganiseerd (via (2) en Gram–Schmidt binnen elke eindig-dimensionale eigenruimte, orthogonaliteit over eigenruimten uit Propositie 15.5) tot een orthonormaal stelsel $(e_n)$ met eigenwaarden $\lambda_n \neq 0$ . $T$ beeldt $H_0$ in $H_0$ af, en ook $H_0^\perp$ in $H_0^\perp$ : voor $y \perp H_0$ en $e$ een eigenvector, $\langle e, Ty\rangle = \langle Te, y\rangle = \lambda\langle e, y\rangle = 0$ . De restrictie $T' = T\restriction_{H_0^\perp}$ is compact zelftoegevoegd op de Hilbert-ruimte $H_0^\perp$ ; als $T' \neq 0$ , produceert Lemma 15.6 een eigenvector van $T$ met niet-nul eigenwaarde binnen $H_0^\perp$ — onmogelijk, zulke vectoren leven in $H_0$ . Dus $T' = 0$ : $H_0^\perp \subseteq \ker T$ . Omgekeerd $\ker T \perp$ elke $e_n$ ( $\langle e_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle Te_n, z\rangle = \frac1{\lambda_n}\langle e_n, Tz\rangle = 0$ ): $\ker T \subseteq H_0^\perp$ , vandaar $\ker T = H_0^\perp$ en de orthogonale ontbinding. De ontwikkeling: voor $x = z + \sum_nc_ne_n$ ( $z \in \ker T$ , $c_n = \langle e_n, x\rangle$ ; Stelling 13.7(1) op $H_0$ ), geeft continuïteit van $T$ $Tx = \sum_nc_n\lambda_ne_n$ .

(3) $\ker T$ , een gesloten deelruimte van een separabele ruimte, is separabel: ze heeft een orthonormale basis (Propositie 13.8); de unie is een orthonormale basis van $H$ via de ontbinding in (1). ∎

Stelling 15.8 (Alternatief van Fredholm)

Zij $T$ compact zelftoegevoegd en $\lambda \in \R\setminus \{0\}$ .

Als $\lambda$ geen eigenwaarde is, dan is $T - \lambda I$ bijectief met begrensde inverse: voor elke $f$ heeft de vergelijking $Tx - \lambda x = f$ precies één oplossing, continu afhankelijk van $f$ .
Als $\lambda$ een eigenwaarde is, is $Tx - \lambda x = f$ oplosbaar desda $f \perp \ker(T - \lambda I)$ , en de oplossing is uniek op die (eindig-dimensionale) kern na.

Bewijs. Ontbind $x = z + \sum c_ne_n$ en $f = w + \sum d_ne_n$ langs Stelling 15.7 ( $z, w \in \ker T$ ). De vergelijking leest

-\lambda z = w, \qquad (\lambda_n - \lambda)\,c_n = d_n\ (n \in N).

(1) $\lambda \notin \{\lambda_n\}\cup\{0\}$ : via (2) van de spectraalstelling, $\inf_n\abs{\lambda_n - \lambda} = \delta > 0$ (eigenwaarden hopen alleen op in $0 \neq \lambda$ ). Los op: $z = -w/\lambda$ , $c_n = d_n/(\lambda_n - \lambda)$ , met $\sum\abs{c_n}^2 \leq \delta^{-2}\sum\abs{d_n}^2$ : een unieke oplossing met $\norm x \leq C\norm f$ . (2) $\lambda = \lambda_{n}$ voor $n$ in een eindige verzameling $F$ : oplosbaarheid van $(\lambda_n - \lambda)c_n = d_n$ voor $n \in F$ vereist $d_n = 0$ , d.w.z. $f \perp e_n$ ( $n \in F$ ), d.w.z. $f \perp \ker(T - \lambda I)$ ; de $c_n$ , $n \in F$ , zijn dan vrij. ∎

Voorbeeld 15.9

Op $L^2(\intcc01)$ , zij $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$ : een Hilbert–Schmidt-operator met reële symmetrische kern: compact en zelftoegevoegd. Oplossen $Tf = \lambda f$ : de relatie $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ toont dat $u = Tf$ voldoet aan $u'' = -f$ (twee differentiaties, legitiem voor continue $f$ , en $Tf$ is continu voor $f \in L^2$ : gedomineerde convergentie), met $u(0) = 0$ en $u'(1) = 0$ . Dus eigenfuncties lossen $\lambda u'' = -u$ , $u(0) = 0$ , $u'(1) = 0$ op:

u_n(x) = \sin\Bigl(\bigl(n + \tfrac12\bigr)\pi x\Bigr), \qquad \lambda_n = \frac{1}{\bigl(n + \frac12\bigr)^2\pi^2} \quad (n \geq 0),

en de spectraalstelling beweert — zonder enige Fourier-theorie — dat deze sinussen een orthonormale basis van $L^2(\intcc01)$ vormen na normalisatie (de kern van $T$ is $0$ : $Tf = 0$ forceert, via de twee differentiaties, $f = 0$ a.e.). De weekendopgave doorloopt dezelfde cirkel van ideeën voor de trillende snaar en extraheert $\zeta(2)$ uit het spoor.

Methode 15.10

Gegeven een integraal- of differentiaalvergelijking: (1) herschrijf ze als $(I - \lambda K)u = f$ of $Ku = \lambda u$ met $K$ een integraaloperator; (2) verifieer $K$ compact (Hilbert–Schmidt-kern, of Ascoli) en, indien mogelijk, zelftoegevoegd (symmetrische reële kern); (3) diagonaliseer met de spectraalstelling of roep het alternatief van Fredholm aan voor oplosbaarheid; (4) lees bestaan, uniciteit, stabiliteit, en reeksformules voor oplossingen af in de eigenbasis. Differentiaaloperatoren zijn onbegrensd, maar hun inversen (Green-operatoren) zijn compact: inverteer altijd eerst.

15.4 Oefeningen

Oefening 15.1 ★

(a) Toon dat een begrensde operator met eindig-dimensionaal beeld compact is. (b) Toon dat de identiteit van een genormeerde ruimte compact is desda de dimensie eindig is (Riesz, Jaar 2). Concludeer dat een compacte operator op een oneindig-dimensionale ruimte nooit inverteerbaar is met begrensde inverse.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.1.

(a) $T(B)$ is een begrensde deelverzameling van het eindig-dimensionale $\operatorname{im}T$ : relatief compact via Heine–Borel (Gevolg 6.17, getransporteerd door een lineair homeomorfisme met $\R^n$ ). (b) $I$ compact betekent dat de gesloten eenheidsbol compact is, wat via Riesz’ stelling (Jaar 2) precies in eindige dimensie gebeurt. Als een compacte $T$ begrensde inverse $T^{-1}$ had, zou $I = T^{-1}T$ compact zijn (Propositie 15.2): onmogelijk in oneindige dimensie.

Oefening 15.2 ★

Zij $T(x_1, x_2, \dots) = (\lambda_1x_1, \lambda_2x_2, \dots)$ op $\ell^2$ , met $(\lambda_n)$ begrensd. (a) Toon $\vertiii T = \sup\abs{\lambda_n}$ . (b) Toon dat $T$ compact is desda $\lambda_n \to 0$ . (Voor $\Leftarrow$ , knot af; voor $\Rightarrow$ , test op $(e_n)$ .) (c) Wanneer is $T$ zelftoegevoegd? Verifieer de spectraalstelling door inspectie in dat geval.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.2.

(a) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$ , met bijna-gelijkheid op de $e_n$ die het sup realiseren. (b) ( $\Leftarrow$ ) De afknottingen $T_N$ (houd $n \leq N$ , nul daarbuiten) hebben eindige rang en $\vertiii{T - T_N} = \sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$ : compact via Propositie 15.2. ( $\Rightarrow$ ) Als $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ langs een deelrij: $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 + \abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$ : geen convergente deelrij van $(Te_{n_k})$ . (c) $T^* =$ diagonaal met $(\bar\lambda_n)$ : zelftoegevoegd desda alle $\lambda_n \in \R$ . Dan is de standaardbasis $(e_n)$ een orthonormale basis van eigenvectoren, eigenwaarden $\lambda_n \to 0$ : de spectraalstelling woordelijk.

Oefening 15.3 ★★

Geef de details van de ideaaleigenschap (Propositie 15.2): als $S$ compact is en $A, B$ begrensd, dan is $ASB$ compact. Concludeer dat als $ST = TS = I$ voor zekere begrensde $S$ , en $\dim H = \infty$ , dan $T$ niet compact is — en verzoen met Oefening 15.1(b).

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.3.

Zij $(x_n)$ begrensd. Dan is $(Bx_n)$ begrensd ( $\vertiii B < \infty$ ); compactheid van $S$ extraheert $SBx_{n_k} \to y$ ; continuïteit van $A$ geeft $ASBx_{n_k} \to Ay$ : $ASB$ is compact. Als $ST = TS = I$ met $T$ compact en $\dim H = \infty$ : $I = ST$ zou compact zijn, weersprekend Oefening 15.1(b) — wat dezelfde uitspraak is van de andere kant gezien.

Oefening 15.4 ★★

(Hilbert–Schmidt) Zij $k \in L^2(\intcc01^2)$ en $(e_n)$ een Hilbert-basis van $L^2(\intcc01)$ . (a) Toon dat $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (Cauchy–Schwarz in de $y$ -variabele, dan Tonelli). (b) Ontwikkel $k(x,y) = \sum_{m,n}c_{mn}e_m(x)\overline{e_n(y)}$ in $L^2$ van het vierkant (rechtvaardig dat de producten daar een Hilbert-basis vormen), en toon dat afknotten van de som eindig-rang-operatoren geeft die naar $T_k$ convergeren in operatornorm: $T_k$ is compact.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.4.

(a) Via Cauchy–Schwarz in $y$ : $\abs{T_kf(x)}^2 \leq \bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$ ; integreer in $x$ (Tonelli): $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)} \norm f_2$ .

(b) De familie $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ is orthonormaal in $L^2(\intcc01^2)$ (Tonelli scheidt de dubbele integraal). Totaal: als $h \perp$ alle $e_{mn}$ , dan is voor elke $m$ de functie $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd x$ (in $L^2$ via Cauchy–Schwarz en Tonelli) orthogonaal op elke $\overline{e_n}$ — en de geconjugeerden $(\overline{e_n})$ vormen een Hilbert-basis wanneer $(e_n)$ dat doet (conjugatie is een isometrische bijectie van $L^2$ die orthogonaliteit en totaliteit bewaart) — dus ze is $0$ a.e.; dan voor a.e. $y$ , $h(\cdot, y) \perp$ elke $e_m$ : $h(\cdot, y) = 0$ a.e.: $h = 0$ (Tonelli). Dus $(e_{mn})$ is een Hilbert-basis; ontwikkel $k = \sum c_{mn}e_{mn}$ . De afknotting $k_N$ (indices $\leq N$ ) geeft $T_{k_N}$ van eindige rang (beeld in $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_N)$ ), en via (a),

\vertiii{T_k - T_{k_N}} \leq \norm{k - k_N}_{L^2} \to 0 :

$T_k$ is een normlimiet van eindig-rang-operatoren: compact (Propositie 15.2).

Oefening 15.5 ★★

Zij $T$ zelftoegevoegd met $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ voor alle $x$ (positieve operator). (a) Toon dat eigenwaarden $\geq 0$ zijn en dat $\vertiii T = \sup_{\norm x\leq1}\langle x, Tx\rangle$ . (b) Bewijs de veralgemeende Cauchy–Schwarz-ongelijkheid $\abs{\langle x, Ty\rangle}^2 \leq \langle x, Tx\rangle\langle y, Ty\rangle$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.5.

(a) $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$ op een eigenvector. De formule is Propositie 15.5 met alle waarden $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ : de absolute waarde is overbodig. (b) $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ is een hermitische positieve (mogelijk ontaarde) sesquilineaire vorm; het gebruikelijke Cauchy–Schwarz-bewijs (ontwikkel $\langle x + t\eu^{\iu\theta}y, T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ en neem de discriminant) gebruikt definitheid nooit.

Oefening 15.6 ★★

Op $L^2(\intcc01)$ , zij $(Mf)(x) = x\,f(x)$ . (a) Toon dat $M$ begrensd is, zelftoegevoegd, met $\vertiii M = 1$ , maar geen eigenwaarden heeft. (b) Toon $M$ niet compact is (exposeer een begrensde rij wier beeld geen convergente deelrij heeft, b.v. genormaliseerde indicators van krimpende intervallen nabij $1$ — of roep de spectraalstelling aan). (c) Waar breekt het bewijs van Lemma 15.6 voor $M$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.6.

(a) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$ , en op $f_n = \sqrt n\, \mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (eenheidsvectoren), $\norm{Mf_n}_2 \geq 1 - \frac1n$ : $\vertiii M = 1$ ; zelftoegevoegd omdat de multiplier reëel is. Eigenwaarden: $xf(x) = \lambda f(x)$ a.e. forceert $f = 0$ a.e. buiten de nullverzameling $\{x = \lambda\}$ : $f = 0$ in $L^2$ . (b) Met dezelfde $f_n$ : $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to 0$ , terwijl $f_n \rightharpoonup 0$ (voor vaste $g \in L^2$ , $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf 1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$ via DCT). Als $Mf_{n_k} \to h$ in norm, dan $f_{n_k} \to h$ , forcerend $h = 0$ (zwakke limiet) maar $\norm h = 1$ : geen convergente deelrij. (c) In Lemma 15.6 gebruikt precies de extractie “ $Tx_{n_k} \to y$ ” compactheid; voor $M$ concentreren de maximaliserende rijen nabij $x = 1$ en hun beelden convergeren zwak naar $0$ , nooit in norm: de eigenvector aan de top van het numerieke bereik faalt eenvoudig te bestaan.

Oefening 15.7 ★★

(Volterra) Op $L^2(\intcc01)$ , zij $Vf(x) = \int_0^xf(y)\dd y$ . (a) Toon dat $V$ compact is (Hilbert–Schmidt met kern $\mathbf 1_{y < x}$ ) maar niet zelftoegevoegd; bereken $V^*$ . (b) Toon dat $V$ geen niet-nul eigenwaarde heeft. (Uit $Vf = \lambda f$ : $f$ heeft een continue representant, is dan $\mathcal C^1$ , en lost $\lambda f' = f$ , $f(0) = 0$ op.) (c) Concludeer dat compactheid alleen geen eigenvectoren oplevert: zelftoegevoegdheid in Stelling 15.7 is essentieel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.7.

(a) $V = T_k$ met $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in L^2(\intcc01^2)$ : compact (Oefening 15.4). Haar toegevoegde is de kernoperator met kern $\overline{k(y, x)} = \mathbf 1_{y > x}$ : $V^*f(x) = \int_x^1f$ ; $V \neq V^*$ (test op $f = \mathbf 1$ ). (b) Als $Vf = \lambda f$ , $\lambda \ne 0$ : $Vf$ is continu op $\intcc01$ (gedomineerde convergentie in $\int_0^x f$ ), dus $f = \frac1\lambda Vf$ heeft een continue representant; dan is $Vf$ $\mathcal C^1$ (fundamentele stelling van de calculus voor continue integranden), dus $f$ is $\mathcal C^1$ , en $\lambda f' = f$ met $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$ : $f = C\eu^{x/\lambda}$ met $C = f(0) = 0$ . (c) $V$ is compact met helemaal geen eigenwaarde behalve mogelijk $0$ ( $Vf = 0$ forceert $f = 0$ a.e. door de integraal te differentiëren — dus zelfs niet $0$ ): de spectrale machinerie vereist echt zelftoegevoegdheid, niet alleen compactheid.

Oefening 15.8 ★★★

(Courant–Fischer) Zij $T$ compact, zelftoegevoegd, positief, met eigenwaarden $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \dots > 0$ (herhaald naar multipliciteit, eigenvectoren $e_1, e_2, \dots$ ). Toon:

\mu_{k} = \max_{\substack{V \subseteq H \\ \dim V = k}}\ \min_{\substack{x \in V\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle = \min_{\substack{W \subseteq H\\ \operatorname{codim}W = k-1}}\ \max_{\substack{x\in W\\ \norm x = 1}}\ \langle x, Tx\rangle .

(Test $V = \operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)$ ; voor de bovengrens snijd elke $V$ met $\operatorname{Vect}(e_k, e_{k+1}, \dots)$ -type ruimten: dimensietelling forceert een niet-nul doorsnede.) Concludeer dat eigenwaarden monotoon afhangen van $T$ ( $T \leq S \Rightarrow \mu_k(T) \leq \mu_k(S)$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.8.

Schrijf $x = \sum_ic_ie_i + z$ , $z \in \ker T$ , dus $\langle x, Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$ . Ondergrens: op de eenheidssfeer van $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ , $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$ : het max over $V$ van het min is $\geq \mu_k$ . Bovengrens: zij $\dim V = k$ en $W_k = \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) + \ker T$ , van codimensie $k - 1$ (haar orthogonaal complement is $V_{k-1}$ ); $V \cap W_k \neq \{0\}$ (een lineaire afbeelding $V \to H/W_k \cong V_{k-1}$ van rang $\leq k - 1$ heeft niet-triviale kern), en een eenheid $x \in V\cap W_k$ heeft $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$ : het min over $V$ is $\leq \mu_k$ . Samen: de eerste formule; de tweede wordt symmetrisch bewezen (test $W = W_k$ ; voor willekeurige $W$ van codimensie $k-1$ , $W \cap V_k \neq 0$ geeft een eenheidsvector met $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$ ). Monotonie: $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x, Sx\rangle$ puntsgewijs transporteert door $\max\min$ .

Oefening 15.9 ★★

Met Stelling 15.8 voor $Tf(x) = \int_0^1\min(x,y)f(y)\dd y$ (Voorbeeld 15.9): voor welke $\lambda \in \R$ heeft de integraalvergelijking

f(x) - \lambda\int_0^1\min(x,y)\,f(y)\,\dd y = g(x)

een unieke oplossing $f \in L^2$ voor elke $g \in L^2$ ? Wat gebeurt er in de exceptionele waarden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.9.

Herschrijf $f - \lambda Tf = g$ . Voor $\lambda = 0$ : $f = g$ , altijd uniek oplosbaar. Voor $\lambda \neq 0$ : dit is $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$ , en via het alternatief van Fredholm (Stelling 15.8) met de eigenwaarden $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ van $T$ (Voorbeeld 15.9): unieke oplosbaarheid voor alle $g$ desda $\frac1\lambda \neq \lambda_n$ voor elke $n$ , d.w.z.

\lambda \neq \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)^2\pi^2 \qquad (n = 0, 1, 2, \dots).

In een exceptionele $\lambda = (n+\frac12)^2\pi^2$ : oplossingen bestaan desda $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$ , en zijn dan uniek op toevoegen van veelvouden van die sinus na.

Oefening 15.10 ★★★

Zij $S$ de shift op $\ell^2$ (Oefening 8.1). (a) Toon dat $S$ geen eigenwaarden heeft, terwijl elke $\lambda$ met $\abs\lambda < 1$ een eigenwaarde van $S^*$ is (vind de eigenvectoren expliciet, meetkundige rijen). (b) Noch $S$ noch $S^*$ is compact: verifieer via Oefening 15.2-stijl testen op $(e_n)$ . (c) Commentaar: voor niet-zelftoegevoegde, niet-compacte operatoren kan het eigenwaardenlandschap van leeg tot een volle schijf zijn — de notie die overleeft is het spectrum, bestudeerd in een later college.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.10.

(a) $Sx = \lambda x$ : coördinaten vergelijken, $0 = \lambda x_1$ en $x_n = \lambda x_{n+1}$ ; als $\lambda \ne 0$ dan $x_1 = 0$ en inductief $x = 0$ ; als $\lambda = 0$ , $Sx = 0$ forceert $x = 0$ ( $S$ isometrisch). Geen eigenwaarden. $S^*x = \lambda x$ leest $x_{n+1} = \lambda x_n$ : $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$ , in $\ell^2$ precies wanneer $\abs\lambda < 1$ : een volle open schijf van eigenwaarden. (b) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$ : het beeld van de begrensde $(e_n)$ heeft geen Cauchy-deelrij; evenzo $S^*e_{n+1} = e_n$ . Geen van beide is compact. (c) Voor compacte zelftoegevoegde operatoren vangen de eigenwaarden alles (Stelling 15.7); bij laten vallen van ofwel hypothese kunnen eigenwaarden geheel verdwijnen ( $S$ , Volterra) of een schijf vullen ( $S^*$ ): het robuuste object is het spectrum $\{\lambda : T - \lambda I \text{ niet inverteerbaar}\}$ , waarvan de theorie tot een later college behoort.

Oefening 15.11 ★★

(Vierkantswortels) Zij $T$ compact, zelftoegevoegd, positief ( $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ ) op een Hilbert-ruimte $H$ , met spectrale ontbinding $Tx = \sum_n\mu_n\langle e_n, x\rangle e_n$ ( $\mu_n > 0$ ). (a) Definieer $Sx = \sum_n\sqrt{\mu_n}\,\langle e_n, x\rangle e_n$ ; toon $S$ compact, zelftoegevoegd, positief, met $S^2 = T$ . (b) Bewijs uniciteit: elke compacte positieve zelftoegevoegde $R$ met $R^2 = T$ bewaart de eigenruimten van $T$ ( $RT = R^3 = TR$ : $R$ commuteert met $T$ , dus $R(\ker(T - \mu)) \subseteq \ker(T - \mu)$ ), en op $\ker(T - \mu)$ is $R$ een positieve operator die kwadrateert tot $\mu\,\mathrm{id}$ op een eindig-dimensionale ruimte: diagonaliseer haar daar en concludeer $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ op elke eigenruimte, dus $R = S$ . (c) Bereken $\sqrt G$ voor de snaaroperator $G$ van Probleem 15.1: welke kern heeft eigenwaarden $\frac1{n\pi}$ op de sinusbasis? (Druk $\sqrt G$ uit als de $L^2$ -limiet van kernen; geen gesloten vorm vereist.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.11.

(a) $S$ is de diagonaaloperator met coëfficiënten $\sqrt{\mu_n} \to 0$ : compact (Oefening 15.2(b), getransporteerd naar de basis $(e_n)$ voltooid door $\ker T$ , waar $S = 0$ ), zelftoegevoegd (reële diagonaal), positief ( $\langle x, Sx\rangle = \sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$ ), en $S^2 = T$ termwijs.

(b) $R$ commuteert met $T = R^2$ ; voor een eigenvector $x$ van $T$ met eigenwaarde $\mu$ : $T(Rx) = RTx = \mu Rx$ , dus de eindig-dimensionale eigenruimte $E_\mu = \ker(T - \mu)$ is $R$ -stabiel. Op $E_\mu$ is $R$ symmetrisch positief met $R^2 = \mu\,\mathrm{id}$ : haar eigenwaarden $\rho$ voldoen aan $\rho^2 = \mu$ , $\rho \geq 0$ : alle gelijk $\sqrt\mu$ , en een diagonaliseerbare operator met één eigenwaarde is scalair: $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ op $E_\mu$ . Op $\ker T$ : $\norm {Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$ . Dus stemt $R$ overeen met $S$ op $\ker T$ en op elke eigenruimte, wier gesloten opspanning $H$ is (spectraalstelling): $R = S$ .

k(x, y) = \sum_{n\geq1}\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n\pi},

de reeks convergerend in $L^2(\intcc01^2)$ (coëfficiënten $\frac1{n\pi} \in \ell^2$ ; de deelsomkernen geven de eindig-rang-benaderingen). Geen elementaire gesloten vorm is nodig: de spectrale zijde is de operator.

Oefening 15.12 ★★★

(Singuliere-waardenontbinding) Zij $T \in \mathcal L(H)$ compact, niet noodzakelijk zelftoegevoegd. (a) Toon dat $T^*T$ compact, zelftoegevoegd, positief is; laat $(e_n)$ een orthonormale familie van eigenvectoren zijn met $T^*Te_n = s_n^2e_n$ , $s_n > 0$ (de singuliere waarden), voltooid door $\ker(T^*T) = \ker T$ (bewijs deze gelijkheid). (b) Stel $f_n = \frac{Te_n}{s_n}$ ; toon $(f_n)$ orthonormaal, en vestig de SVD:

Tx = \sum_n s_n\,\langle e_n, x\rangle\,f_n \qquad (x \in H),

met convergentie in $H$ . (c) Concludeer: $\vertiii T = \max_ns_n$ ; $T$ is een normlimiet van eindig-rang-operatoren (herbewijzend de omgekeerde van Propositie 15.2 voor Hilbert-ruimten); en voor de Volterra-operator $V$ van Oefening 15.7, die geen eigenwaarden heeft, leg uit waarom de SVD desondanks bestaat en wat haar ingrediënten zijn (identificeer $V^*V$ als een snaartype-kernoperator — haar eigenwaarden expliciet berekenen is terrein van Oefening 15.9).

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.12.

(a) $T^*T$ is compact (product van een begrensde en een compacte operator, Oefening 15.3), zelftoegevoegd ( $(T^*T)^* = T^*T$ ), positief ( $\langle x, T^*Tx\rangle = \norm{Tx}^2$ ). Kern: $T^*Tx = 0 \Rightarrow \norm{Tx}^2 = \langle x, T^*Tx\rangle = 0 \Rightarrow Tx = 0$ , en omgekeerd: $\ker T^*T = \ker T$ . De spectraalstelling levert de orthonormale $(e_n)$ met $T^*Te_n = s_n^2e_n$ , $s_n > 0$ , opspannend $(\ker T)^\perp$ .

(b) $\langle f_m, f_n\rangle = \frac{\langle Te_m, Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{\langle e_m, T^*Te_n\rangle}{s_ms_n} = \frac{s_n^2}{s_ms_n}\delta_{mn} = \delta_{mn}$ . Ontwikkel $x = x_0 + \sum_n\langle e_n, x\rangle e_n$ met $x_0 \in \ker T$ (Parseval in de gesloten opspanning plus kern); de continue $T$ toepassen:

Tx = \sum_n\langle e_n, x\rangle\,Te_n = \sum_ns_n\langle e_n, x\rangle\,f_n,

de reeks convergerend omdat haar deelsommen Cauchy zijn ( $\norm{\sum_{N<n\leq M}s_n\langle e_n, x\rangle f_n}^2 = \sum s_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$ , gedomineerd door $\sup_{n>N}s_n^2\cdot\norm x^2$ , en $s_n \to 0$ ).

(c) $\norm{Tx}^2 = \sum_ns_n^2\abs{\langle e_n, x\rangle}^2 \leq (\max s_n)^2\norm x^2$ , bereikt in de maximaliserende $e_n$ : $\vertiii T = \max s_n$ . De SVD afknotten op rang $N$ laat een operator van norm $\sup_{n>N}s_n \to 0$ : eindig-rang-benadering. De Volterra-operator heeft geen eigenwaarden (Oefening 15.7), maar $V^*V$ wel: $V^*Vf(x) = \int_x^1\int_0^tf(s)\,\dd s\,\dd t$ is een symmetrische positieve kernoperator (kern $1 - \max(x,y)$ , een snaartype-Green-kern), wier eigenparen — berekend via het randwaardeprobleem $-u'' = \lambda^{-1}u$ , $u'(0) = u(1) = 0$ , d.w.z. de familie van Oefening 15.9 — singuliere waarden $s_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-1}$ geven. De SVD leeft op twee orthonormale families precies omdat $V$ haar eigenmeetkunde wegdraait: geen eigenvectoren, toch perfecte diagonaalstructuur tussen twee verschillende bases.

15.5 Probleem: de trillende snaar en $\zeta(2)$

Probleem 15.1

Weekendopgave — Green-operator, de sinusbasis, en een spoorformule

We lossen het eigenwaardenprobleem van de trillende snaar met vaste einden op — $-u'' = \nu u$ , $u(0) = u(1) = 0$ — via operatortheorie, verkrijgen de orthonormale sinusbasis zonder enige Fourier-berekening, en evalueren $\zeta(2)$ door twee uitdrukkingen voor het spoor van de Green-operator te vergelijken. Definieer, op $L^2(\intcc01)$ ,

(Gf)(x) = \int_0^1 g(x,y)\,f(y)\,\dd y, \qquad g(x, y) = \min(x,y)\,\bigl(1 - \max(x,y)\bigr).

Deel I — De Green-operator.

Toon dat $g$ continu is, symmetrisch, met $0 \leq g \leq \frac14$ , en dat $G$ compact en zelftoegevoegd is (Voorbeeld 15.3(c)).
Voor continue $f$ , toon dat $u = Gf$ $\mathcal C^2$ is met

$-u'' = f, \qquad u(0) = u(1) = 0$

(schrijf $u(x) = (1-x)\int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1(1-y)f(y)\dd y$ en differentieer tweemaal). Omgekeerd, als $u \in \mathcal C^2$ met $u(0) = u(1) = 0$ , dan $G(-u'') = u$ : $G$ inverteert de snaaroperator.
Toon $\ker G = \{0\}$ (als $Gf = 0$ met $f \in L^2$ : test tegen continue $\varphi$ , transporteer $G$ via symmetrie/Fubini op $\varphi$ , en gebruik het fundamentele lemma Gevolg 12.11 — of regulariseer), en dat $G$ een positieve operator is: $\langle f, Gf\rangle \geq 0$ . (Voor continue $f$ : $\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 (u')^2$ met $u = Gf$ , partieel; concludeer via dichtheid.)

Deel II — Diagonalisatie: de sinusbasis.

Toon dat de eigenfuncties van $G$ met eigenwaarde $\lambda \ne 0$ , op scalairen na, de oplossingen zijn van $-\lambda u'' = u$ , $u(0) = u(1) = 0$ (een eigenfunctie heeft een continue representant — $Gf$ is continu voor $f \in L^2$ , waarom? — en is dus $\mathcal C^2$ door bootstrapping van vraag 2).
Los het randwaardeprobleem op: de eigenwaarden van $G$ zijn $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ ( $n \geq 1$ ), met genormaliseerde eigenfuncties $e_n(x) = \sqrt2\,\sin(n\pi x)$ ; controleer orthonormaliteit door directe integratie als gezondheidscontrole.
Concludeer uit Stelling 15.7 en vraag 3 dat $\bigl(\sqrt2\sin(n\pi x)\bigr)_{n\geq1}$ een orthonormale basis van $L^2(\intcc01)$ is — geen Stone–Weierstrass, geen Fourierreeksen nodig. Ontwikkel $f(x) = x(1-x)$ in deze basis en schrijf Parseval ervoor.

Deel III — De spoorformule en $\zeta(2)$ .

Bewijs de twee identiteiten

$\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n \quad\text{en}\quad \sum_{n\geq1}\lambda_n = \int_0^1 g(x,x)\,\dd x .$

Voor de tweede (de spoorformule): ontwikkel $g(x, \cdot)$ , voor vaste $x$ , in de basis $(e_n)$ — toon dat de coëfficiënten $\lambda_ne_n(x)$ zijn, zodat $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ in $L^2$ . Hier zijn de sinussen expliciet: verifieer direct dat $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y)$ uniform convergeert op het vierkant (vergelijk met $\sum \frac2{n^2\pi^2}$ ), zodat haar som continu is en, met dezelfde $L^2$ -ontwikkelingen in $y$ voor elke $x$ , overal gelijk is aan $g(x,y)$ . Stel $y = x$ en integreer term-voor-term.
Bereken $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1-x)\dd x = \frac16$ , en concludeer

$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2\pi^2} = \frac16, \qquad\text{d.w.z.}\qquad \boxed{\ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\ } :$

Eulers som uit een operatorspoor.
Herleid $\zeta(2)$ een derde manier: pas Parseval in de sinusbasis toe op de constante functie $\mathbf 1$ , bereken $\sum_{n \text{ oneven}}\frac1{n^2}$ , en concludeer. Vergelijk dan mechanismen: in welke zin is het spoorargument van vragen 7–8 “Parseval toegepast op de hele kern tegelijk”?

Deel IV — De snaar trilt.

(Scheiding van variabelen, gesynthetiseerd) Voor $f \in L^2$ , definieer

$u(t, x) = \sum_{n\geq1}\;c_n\, \cos(n\pi t)\,\sqrt2\sin(n\pi x), \qquad c_n = \langle e_n, f\rangle .$

Toon dat de reeks convergeert in $L^2(\intcc01)$ voor elke $t$ , dat $t\mapsto u(t, \cdot)$ continu is in $L^2$ , en dat voor $f$ in de opspanning van eindig veel $e_n$ ze de golfvergelijking $\partial_t^2u = \partial_x^2u$ oplost met $u(0) = f$ , $\partial_tu(0) = 0$ , vaste einden. De eigenwaarden $n^2\pi^2$ zijn de gekwadrateerde frequenties: de harmonischen van de snaar — leg de muzikale interpretatie van Stelling 15.7 in één alinea uit.

Deel V — Variationele dividenden: de machtsmethode, Weyl-stabiliteit, en een rigoureuze grens op $\pi$ . Zij $A$ een compacte zelftoegevoegde positieve operator met eigenwaarden $\mu_1 \geq \mu_2 \geq \cdots > 0$ en orthonormale eigenvectoren $(u_n)$ ; $R(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\norm x^2}$ . De min–max-formules zijn Oefening 15.8; hier besteden we ze.

(Machtsmethode) Voor $x \neq 0$ schrijf $m_p = \sum_n\mu_n^p\abs{\langle u_n, x\rangle}^2$ . Toon $m_pm_{p+2} \geq m_{p+1}^2$ (Cauchy–Schwarz), concludeer de keten

$R(x) \;\leq\; \frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x, Ax\rangle} \;\leq\; R(Ax) \;\leq\; \mu_1,$

en bewijs dat als $\langle u_1, x\rangle \neq 0$ , dan $R(A^kx) \to \mu_1$ : de operator itereren op elke generieke vector berekent de top-eigenwaarde — de machtsmethode van de numerieke analyse, gecertificeerd.
(Weyl-stabiliteit) Voor compacte zelftoegevoegde positieve $A, B$ , concludeer uit Oefening 15.8 dat

$\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \;\leq\; \vertiii{A - B} \qquad\text{voor elke } n :$

het volledige spectrum is $1$ -Lipschitz in de operatornorm — eigenwaarden van grote symmetrische systemen kunnen berekend worden uit benaderingen met gegarandeerde fout.
Pas de Rayleigh-grens toe op $G$ met de testfunctie $u(x) = x(1-x)$ : los $-w'' = u$ , $w(0) = w(1) = 0$ op om $Gu = w = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12}$ te krijgen, bereken

$\norm u_2^2 = \frac1{30}, \qquad \langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17}{168},$

en concludeer de rigoureuze grens $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$ , d.w.z. $\pi \leq \sqrt{168/17} < 3.1437$ .
Eén stap van de keten van vraag 11, op dezelfde testfunctie: met $\int_0^1(x - x^2)^4\dd x = \frac1{630}$ , bereken

$\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac{31}{90720}, \qquad \frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31}{306},$

en concludeer $\pi \leq \sqrt{306/31} < 3.1419$ : twee integralen, vier correcte cijfers. (Elke verdere iteratie kwadrateert ruwweg de nauwkeurigheid: de eigenvector-kloof $\lambda_1/\lambda_2 = 4$ drijft meetkundige convergentie.)

Deel VI — Het spoor van $G^2$ , en $\zeta(4)$ .

Toon dat $\sum_n\lambda_n^2 = \iint_{\intcc01^2}g(x,y)^2\,\dd x\,\dd y$ (ontwikkel $g$ op de productbasis $(e_m(x)e_n(y))_{m,n}$ van $L^2(\intcc01^2)$ — een Hilbert-basis, cf. Oefening 15.5 — en pas Parseval toe op het vierkant; vraag 7 identificeert de coëfficiënten).
Bereken de dubbele integraal:

$\iint g^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\Bigl(\int_0^x y^2\,\dd y\Bigr)\dd x = \frac23\int_0^1x^3(1-x)^2\,\dd x = \frac1{90} .$
Concludeer $\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}$ ; leg uit, zonder berekening, hoe sporen van hogere machten $G^k$ $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\,\Q$ produceren voor alle $k \geq 1$ , en waarom de oneven waarden $\zeta(3), \zeta(5), \dots$ structureel buiten bereik van deze machine liggen.
( $\pi$ van onderen) Uit $\lambda_1^2 \leq \sum_n\lambda_n^2 = \frac1{90}$ concludeer $\pi \geq 90^{1/4} > 3.080$ , en stel met vraag 14 het tweezijdige oordeel samen

$3.080 \;<\; \pi \;<\; 3.1419,$

geheel verkregen uit de rekenkunde van de trillende snaar. Welke zijde convergeert sneller als men hogere sporen $(\operatorname{tr}G^{2k})^{-1/4k}$ gebruikt, en waarom?

Deel VII — Forcering en resonantie. Fixeer $\nu \in \R$ en beschouw de geforceerde snaar $-u'' - \nu u = f$ , $u(0) = u(1) = 0$ , met $f \in L^2$ en $c_n = \langle e_n, f\rangle$ .

Veronderstel $\nu \notin \{n^2\pi^2 : n \geq 1\}$ . Toon dat

$u = \sum_{n\geq1}\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}\,e_n$

convergeert in $L^2$ en uniform op $\intcc01$ (Cauchy–Schwarz tussen $(c_n)$ en de staarten van $\sum n^{-4}$ , met $\norm{e_n}_\infty = \sqrt2$ ), en dat ze voldoet aan $u = Gf + \nu Gu$ — de expliciete-coördinaten-vorm van het alternatief van Fredholm (Stelling 15.8), met uniciteit.
Veronderstel $\nu = m^2\pi^2$ . Toon dat $u = Gf + \nu Gu$ een oplossing heeft desda $c_m = 0$ , uniek op toevoegen van veelvouden van $e_m$ na. Fysische lezing: een schommel duwen precies op haar eigen frequentie.
Voor $\nu < \pi^2$ , toon dat de oplossingsoperator $R_\nu\colon f \mapsto u$ begrensd is op $L^2$ met norm $\frac1{\pi^2 - \nu}$ , compact, zelftoegevoegd, en positief: de hele spectrale analyse herstart, verschoven met $\nu$ .
(Synthese) Stel het woordenboek van dit probleem samen: eigenwaarde $\leftrightarrow$ gekwadrateerde frequentie (harmonischen); spoor $\leftrightarrow$ $\zeta(2)$ ; Hilbert–Schmidt- norm $\leftrightarrow$ $\zeta(4)$ ; alternatief van Fredholm $\leftrightarrow$ resonantie; min–max $\leftrightarrow$ variationele grenzen ( $\pi < 3.1437$ uit één polynoom). Eén integraaloperator, vijf hoofdstukken analyse verzilverd.

Deel VIII — Drie laatste echo’s.

( $\zeta(6)$ , gratis) De Parseval-identiteit van vraag 6 gaf $\sum_{n\text{ oneven}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$ . Splits $\zeta(6)$ in oneven en even $n$ en concludeer

$\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},$

zonder nieuwe integraal: de machine van vraag 17 (sporen van $G^3$ ) zou dezelfde waarde hebben geproduceerd ten koste van een geïtereerde kern — Parseval op één goed gekozen functie is hier de goedkopere route.
(De grondtoestand is positief) Zij $A$ een compacte zelftoegevoegde positieve operator op $L^2(\intcc01)$ gegeven door een continue symmetrische kern $k > 0$ op $\intoo01^2$ , met grootste eigenwaarde $\mu_1$ . Toon: (a) elke maximizer van het Rayleigh-quotiënt is een $\mu_1$ -eigenfunctie; (b) als $u$ er één is, dan $\langle\abs u, A\abs u\rangle \geq \langle u, Au\rangle$ , met strikte ongelijkheid als $u$ beide tekens aanneemt op verzamelingen van positieve maat — dus $u$ heeft a.e. constant teken, en $u = \mu_1^{-1}Au$ verdwijnt nooit op $\intoo01$ ; (c) $\mu_1$ is een eenvoudige eigenwaarde. Verifieer elke claim op $G$ : $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x) > 0$ , en elke $e_n$ , $n \geq 2$ , orthogonaal op $e_1$ , moet van teken wisselen (ze doet: $n - 1$ inwendige nulpunten).
(Afstand tot het spectrum, en de prijs van resonantie) Voor $\nu \notin \{n^2\pi^2\}$ , toon dat de oplossingsoperator $R_\nu$ van vraag 19 begrensd, zelftoegevoegd, compact is, met

$\vertiii{R_\nu} = \frac1{\min_{n\geq1}\,\abs{n^2\pi^2 - \nu}} = \frac1{\operatorname{dist}\bigl(\nu, \{n^2\pi^2\}\bigr)},$

de norm bereikt op de dichtstbijzijnde modus. Kwantificeer dan de schommel van vraag 20: forceren met $f = e_1$ bij $\nu = (1 - \varepsilon)\pi^2$ produceert $u = \frac{1}{\varepsilon\pi^2}\,e_1$ , een versterking met $\frac1\varepsilon$ van de statische respons $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ — op één procent onder de grondtoon ( $\varepsilon = 10^{-2}$ ) antwoordt de snaar honderd keer luider.

Oplossing

Oplossing van Probleem 15.1.

1. Continuïteit: $\min$ en $\max$ zijn continu; symmetrie: $x, y$ verwisselen verwisselt noch $\min(x,y)$ noch $1 - \max(x,y)$ . Grenzen: $0 \leq g$ , en $g(x,y) \leq \max\cdot(1-\max)$ -type grenzen geven $g \leq \frac14$ (voor $u = \max$ : $\min \leq u$ dus $g \leq u(1-u) \leq \frac14$ ). $g \in L^2(\square)$ : Hilbert–Schmidt, dus $G$ compact (Oefening 15.4); de kern is reëel symmetrisch: $G$ zelftoegevoegd.

2. Splitsen in $y = x$ :

u(x) = (1 - x)\int_0^x y\,f(y)\,\dd y + x\int_x^1(1 - y)\,f(y)\,\dd y .

Voor continue $f$ , differentieer (product en fundamentele stelling):

u'(x) = -\int_0^xyf + \int_x^1(1-y)f \qquad\text{(de randtermen cancelen)},

en $u''(x) = -xf(x) - (1 - x)f(x) = -f(x)$ ; duidelijk $u(0) = u(1) = 0$ . Omgekeerd als $u \in \mathcal C^2$ in beide einden verdwijnt, $w = u - G(-u'')$ voldoet aan $w'' = 0$ , $w(0) = w(1) = 0$ : $w$ is affien en verdwijnt tweemaal, dus $w = 0$ .

3. Zij $Gf = 0$ , $f \in L^2$ . Voor $\psi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo01)$ : $\psi = G(-\psi'')$ via vraag 2, dus

\langle f, \psi\rangle = \langle f, G(-\psi'')\rangle = \langle Gf, -\psi''\rangle = 0

( $G$ zelftoegevoegd): via het fundamentele lemma (Gevolg 12.11), $f = 0$ a.e. Positiviteit: voor continue $f$ , met $u = Gf$ ,

\langle f, Gf\rangle = \int_0^1 fu = \int_0^1(-u'')u = \bigl[-u'u\bigr]_0^1 + \int_0^1(u')^2 = \int_0^1(u')^2 \geq 0 ;

voor $f \in L^2$ , benader in $L^2$ door continue $f_n$ : beide zijden gaan naar de limiet ( $G$ begrensd).

4. Als $Gu = \lambda u$ , $\lambda \neq 0$ : $Gu$ is continu ( $\abs{Gu(x) - Gu(x')} \leq \norm{g(x,\cdot) - g(x',\cdot)}_2\norm u_2$ , en de kern is uniform continu), dus $u$ heeft een continue representant; dan tonen de formules van vraag 2 $Gu \in \mathcal C^2$ , dus $u = \frac1\lambda Gu \in \mathcal C^2$ met $-\lambda u'' = -(Gu)'' = u$ en $u(0) = u(1) = 0$ .

5. $-\lambda u'' = u$ , $u(0) = 0$ : $u = A\sin(x/\sqrt \lambda)$ (positieve $\lambda$ : via vraag 3, $\lambda = \langle u, Gu\rangle/\norm u^2 > 0$ op eigenvectoren). $u(1) = 0$ forceert $\frac1{\sqrt\lambda} = n\pi$ : $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ , eigenfuncties $\sin(n\pi x)$ , genormaliseerd $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ ( $\int_0^12\sin^2(n\pi x)\dd x = 1$ ). Orthogonaliteitscontrole: $2\sin(m\pi x)\sin(n\pi x) = \cos((m-n)\pi x) - \cos((m+n)\pi x)$ integreert tot $0$ voor $m \neq n$ .

6. $\ker G = \{0\}$ (vraag 3), dus Stelling 15.7(1) geeft $H = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ : de sinussen zijn een Hilbert-basis van $L^2(\intcc01)$ . Voor $f(x) = x(1 - x)$ :

c_n = \sqrt2\int_0^1x(1-x)\sin(n\pi x)\,\dd x = \sqrt2\;\frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{n^3\pi^3} = \begin{cases}\dfrac{4\sqrt2}{n^3\pi^3} & n \text{ oneven},\\ 0 & n \text{ even},\end{cases}

(twee partiële integraties). Parseval: $\int_0^1x^2(1-x)^2\dd x = \frac1{30} = \sum_{n \text{ oneven}}\frac{32}{n^6\pi^6}$ , d.w.z. $\sum_{n\text{ oneven}}n^{-6} = \frac{\pi^6}{960}$ .

7. $\langle e_n, Ge_n\rangle = \lambda_n\norm{e_n}^2 = \lambda_n$ . Voor vaste $x$ , de coëfficiënten van $g(x, \cdot)$ : $\langle e_n, g(x,\cdot)\rangle = (Ge_n)(x) = \lambda_ne_n(x)$ , dus $g(x,\cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)\,e_n$ in $L^2$ . De expliciete reeks $\sum_n\lambda_ne_n(x)e_n(y) = \sum_n\frac{2\sin(n\pi x)\sin(n\pi y)}{n^2\pi^2}$ convergeert normaal op het vierkant ( $\abs{\text{term}} \leq \frac2{n^2\pi^2}$ ): haar som is continu, en voor elke $x$ heeft ze dezelfde $L^2(\dd y)$ -coëfficiënten als $g(x, \cdot)$ : de twee continue functies stemmen overeen voor elke $(x, y)$ . Stellen $y = x$ en integreren (normale convergentie staat term-voor-term-integratie toe):

\int_0^1g(x,x)\,\dd x = \sum_n\lambda_n\int_0^1e_n(x)^2\dd x = \sum_n\lambda_n .

8. $\int_0^1g(x,x)\dd x = \int_0^1x(1 - x)\dd x = \frac16$ , dus $\sum_{n\geq1}\frac1{n^2\pi^2} = \frac16$ :

\zeta(2) = \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .

9. Voor $f = \mathbf 1$ : $c_n = \sqrt2\int_0^1\sin(n\pi x)\dd x = \sqrt2\,\frac{1 - (-1)^n}{n\pi}$ : $c_n = \frac{2\sqrt2}{n\pi}$ voor oneven $n$ , $0$ voor even. Parseval: $1 = \sum_{n\text{ oneven}}\frac{8}{n^2\pi^2}$ , dus $\sum_{n\text{ oneven}}n^{-2} = \frac{\pi^2}8$ , en $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8\cdot\frac{1}{1 - \frac14} = \frac{\pi^2}6$ (even termen zijn $\frac14\zeta(2)$ ). Vergelijking: Parseval voor één $f$ sommeert $\abs{\langle e_n, f\rangle}^2$ ; de spoorformule integreert de diagonaal van de kern, wat neerkomt op Parseval sommeren over een hele orthonormale familie tegelijk — $\sum_n\langle e_n, Ge_n\rangle$ — en is daarom blind voor elke bijzondere keuze van testfunctie.

10. $\abs{c_n\cos(n\pi t)} \leq \abs{c_n}$ met $\sum\abs{c_n}^2 < \infty$ : voor elke $t$ convergeert de reeks in $L^2$ (orthonormale ontwikkeling, Stelling 13.7(3)); de staartgrens $\norm{u(t) - u_N(t)}_2^2 \leq \sum_{n>N}\abs{c_n}^2$ is uniform in $t$ , en elke deelsom is continu in $t$ (eindig veel cosinussen): $t \mapsto u(t,\cdot)$ is continu in $L^2$ . Voor $f = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ : elke modus $\cos(n\pi t)\sin(n\pi x)$ voldoet aan $\partial_t^2 = -n^2\pi^2 = \partial_x^2$ erop toegepast, verdwijnt in $x = 0, 1$ , heeft waarde $\sin(n\pi x)$ en tijdsafgeleide $0$ in $t = 0$ : de eindige som lost alles op. Muzikaal: de beweging van de snaar is een superpositie van staande golven $e_n$ , wier frequenties $n\pi$ de grondtoon en haar boventonen zijn; de spectraalstelling zegt dat elke beginvorm uniek ontbindt in deze pure tonen, de coëfficiënten $c_n$ zijnde het timbre. Een snaar horen is een orthonormale ontwikkeling berekenen.

11. Met $a_n = \abs{\langle u_n, x\rangle}^2$ : $m_{p+1} = \sum_n\mu_n^{p+1}a_n = \sum_n\bigl(\mu_n^{p/2} \sqrt{a_n}\bigr)\bigl(\mu_n^{p/2+1}\sqrt{a_n}\bigr) \leq \sqrt{m_p\,m_{p+2}}$ (Cauchy–Schwarz in $\ell^2$ ). Vandaar zijn de verhoudingen $m_{p+1}/m_p$ niet-dalend in $p$ ; omdat $R(x) = \frac{m_1}{m_0}$ , $\frac{\langle Ax, Ax\rangle}{\langle x, Ax\rangle} = \frac{m_2}{m_1}$ en $R(Ax) = \frac{m_3}{m_2}$ , volgt de keten, elke term $\leq \mu_1$ omdat $m_{p+1} \leq \mu_1m_p$ termwijs. Convergentie: als $a_1 > 0$ (het totale gewicht van de top-eigenwaarde schrijvend als $a_1$ ), dan

\mu_1 \geq R(A^kx) = \frac{m_{2k+1}}{m_{2k}} = \mu_1\,\frac{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k+1} a_n}{a_1 + \sum_{\mu_n<\mu_1}(\mu_n/\mu_1)^{2k}a_n} \longrightarrow \mu_1,

via gedomineerde convergentie van de sommen (verhoudingen $< 1$ ): de machtsmethode convergeert voor elke startvector niet orthogonaal op de top-eigenruimte.

12. Puntsgewijs, $\abs{\langle x, (A - B)x\rangle} \leq \vertiii{A - B}\,\norm x^2$ , dus $R_A(x) \leq R_B(x) + \vertiii{A - B}$ voor elke $x$ . Dit voeden in de max–min-formule van Oefening 15.8: $\mu_n(A) \leq \mu_n(B) + \vertiii{A - B}$ , en symmetrisch in $A, B$ : $\abs{\mu_n(A) - \mu_n(B)} \leq \vertiii{A - B}$ voor alle $n$ tegelijk.

13. $-w'' = x - x^2$ integreert tot $w = -\frac{x^3}6 + \frac{x^4}{12} + cx$ (met $w(0) = 0$ ), en $w(1) = 0$ geeft $c = \frac1{12}$ :

w = \frac{x^4 - 2x^3 + x}{12} = \frac{x(1-x)(1 + x - x^2)}{12} = Gu .

Dan $\norm u_2^2 = \int_0^1x^2(1-x)^2 = \frac1{30}$ , en met $\int_0^1x^3(1-x)^3 = B(4,4) = \frac1{140}$ :

\langle u, Gu\rangle = \frac1{12}\Bigl(\frac1{30} + \frac1{140}\Bigr) = \frac{17}{5040}, \qquad R(u) = \frac{17/5040}{1/30} = \frac{17}{168} .

Dus $\frac1{\pi^2} = \lambda_1 \geq \frac{17}{168}$ , d.w.z. $\pi^2 \leq \frac{168}{17} = 9.8824$ : $\pi \leq 3.14364 < 3.1437$ (ware waarde $\pi^2 = 9.8696$ ). Een polynoom, een integraal, een cijfer.

14. Schrijf $u = x - x^2$ , dus $Gu = \frac{u(1 + u)}{12}$ en, met $\int u^2 = \frac1{30}$ , $\int u^3 = \frac1{140}$ , $\int u^4 = B(5,5) = \frac{4!\,4!}{9!} = \frac1{630}$ :

\norm{Gu}_2^2 = \frac1{144}\int u^2(1+u)^2 = \frac1{144}\Bigl(\frac1{30} + \frac2{140} + \frac1{630}\Bigr) = \frac1{144}\cdot\frac{62}{1260} = \frac{31}{90720} .

Vandaar $\frac{\langle Gu, Gu\rangle}{\langle u, Gu\rangle} = \frac{31/90720}{17/5040} = \frac{31}{306}$ , en via vraag 11 is dit nog steeds $\leq \mu_1 = \frac1{\pi^2}$ : $\pi^2 \leq \frac{306}{31} = 9.87097$ , d.w.z. $\pi \leq 3.14181 < 3.1419$ — vier cijfers (en de volgende iteratie zou ongeveer acht geven, de fout samentrekkend met $(\lambda_2/\lambda_1)^2 = \frac1{16}$ per stap).

15. De familie $(e_m \otimes e_n)(x,y) = e_m(x)e_n(y)$ is een Hilbert-basis van $L^2(\intcc01^2)$ (orthonormaliteit via Tonelli; totaliteit zoals in Oefening 15.5). Via vraag 7, voor vaste $x$ : $g(x, \cdot) = \sum_n\lambda_ne_n(x)e_n$ , dus de coëfficiënt van $g$ op $e_m\otimes e_n$ is

\langle e_m\otimes e_n,\ g\rangle = \int_0^1 e_m(x)\,\lambda_n e_n(x)\,\dd x = \lambda_n\,\delta_{mn} .

Parseval op het vierkant:

\iint g^2 = \sum_{m,n}\abs{\langle e_m\otimes e_n, g\rangle}^2 = \sum_n\lambda_n^2 .

16. Via symmetrie van $g$ ,

\iint g^2 = 2\iint_{y<x}y^2(1-x)^2 = 2\int_0^1(1-x)^2\,\frac{x^3}3\,\dd x = \frac23\,B(4, 3) = \frac23\cdot\frac{3!\,2!}{6!} = \frac23\cdot\frac1{60} = \frac1{90} .

17. Combineren: $\sum_n\frac1{n^4\pi^4} = \frac1{90}$ , d.w.z. $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ . In het algemeen is $\operatorname{tr}(G^k) = \sum\lambda_n^k = \frac{\zeta(2k)}{\pi^{2k}}$ gelijk aan een geïtereerde integraal van producten van de rationaal-polynomiale kern $g$ over de $k$ -kubus: een rationaal getal. Vandaar $\zeta(2k) \in \pi^{2k}\Q$ voor elke $k$ . De machine bereikt alleen even argumenten omdat eigenwaarden via hun machten binnenkomen — $\sum\lambda_n^k$ — en $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ : geen combinatie van sporen produceert $\sum n^{-3}$ ; de rekenkundige aard van $\zeta(3)$ (irrationaal via Apéry, transcendentie open) ligt voorbij spectrale boekhouding.

18. De topterm van een som van positieve termen is hoogstens de som: $\lambda_1^2 \leq \sum\lambda_n^2 = \frac1{90}$ , dus $\frac1{\pi^2} \leq \frac1{\sqrt{90}}$ en $\pi \geq 90^{1/4} = 3.0801\ldots$ Met vraag 14: $3.080 < \pi < 3.1419$ , door snaarrekenkunde alleen. Hogere sporen scherpen de ondergrens meetkundig: $\lambda_1 \leq (\operatorname{tr}G^{2k})^{1/2k} = \lambda_1\bigl(1 + \sum_{n\geq2}(\lambda_n/\lambda_1)^{2k} \bigr)^{1/2k}$ , en de parasitaire factor sterft als $\bigl(\tfrac14\bigr)^{2k}\cdot\frac1{2k}$ -snel — hetzelfde spectraal-kloof-mechanisme als de convergentie van de machtsmethode (vraag 11), van de spoorkant gezien.

19. $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \delta > 0$ voor alle $n$ (de rij $n^2\pi^2 \to \infty$ vermijdt $\nu$ met een marge), en $\abs{n^2\pi^2 - \nu} \geq \frac{n^2\pi^2}2$ voor grote $n$ . $L^2$ -convergentie: de coëfficiënten $\frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu}$ zijn kwadratisch sommeerbaar (gedomineerd door $\frac{\abs{c_n}}\delta$ ). Uniforme convergentie: de staart-sup-normen zijn begrensd door $\sqrt2\sum_{n>N} \frac{\abs{c_n}}{\abs{n^2\pi^2 - \nu}} \leq \frac{2\sqrt2}{\pi^2}\bigl(\sum\abs{c_n}^2\bigr)^{1/2} \bigl(\sum_{n>N}n^{-4}\bigr)^{1/2} \to 0$ (Cauchy–Schwarz). Verificatie: $Gf + \nu Gu$ heeft $e_n$ -coëfficiënt

\lambda_nc_n + \frac{\nu\lambda_nc_n}{n^2\pi^2 - \nu} = \frac{c_n}{n^2\pi^2}\Bigl(1 + \frac{\nu}{n^2\pi^2 - \nu}\Bigr) = \frac{c_n}{n^2\pi^2 - \nu} :

precies de coëfficiënten van $u$ , dus $u = Gf + \nu Gu$ ; uniciteit omdat een verschil $v$ van oplossingen voldoet aan $v = \nu Gv$ , d.w.z. $\langle e_n, v\rangle(n^2\pi^2 - \nu) = 0$ voor alle $n$ : $v = 0$ .

20. Zoals in vraag 19 is de vergelijking $u = Gf + \nu Gu$ equivalent met de familie van coëfficiëntvergelijkingen $(n^2\pi^2 - \nu)\,\langle e_n, u\rangle = c_n$ , $n \geq 1$ . Voor $n = m$ is de linkerkant $0$ : oplosbaarheid forceert $c_m = 0$ , en dan is $\langle e_m, u\rangle$ vrij terwijl alle andere coëfficiënten bepaald zijn: oplossingen vormen de lijn $u_0 + \R e_m$ . Resonantie: een forcering met een component op de eigenmodus pompt er zonder grens energie in — de schommel geduwd op haar eigen frequentie.

21. Uit de formule van vraag 19, $\norm{R_\nu f}_2^2 = \sum\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac{\norm f^2}{(\pi^2 - \nu)^2}$ (voor $\nu < \pi^2$ is de dichtstbijzijnde eigenwaarde $\pi^2$ ), met gelijkheid benaderd op $f = e_1$ : operatornorm $\frac1{\pi^2 - \nu}$ . Compactheid: $R_\nu$ is de normlimiet van haar eindig-rang-afknottingen (de staartcoëfficiënten $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} \to 0$ ); zelftoegevoegdheid en positiviteit worden afgelezen van de diagonaalvorm (alle coëfficiënten $\frac1{n^2\pi^2 - \nu} > 0$ ). $R_\nu$ heeft eigenwaarden $\frac1{n^2\pi^2 - \nu}$ : de analyse van Delen I–VI herstart woordelijk.

22. Het woordenboek: eigenwaarde $\lambda_n = \frac1{n^2\pi^2}$ $\leftrightarrow$ gekwadrateerde frequentie $n^2\pi^2$ van de $n$ -de harmonische; spoor $\sum \lambda_n = \frac16$ $\leftrightarrow$ $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ; Hilbert–Schmidt-norm $\iint g^2 = \frac1{90}$ $\leftrightarrow$ $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ ; alternatief van Fredholm $\leftrightarrow$ resonantie van de geforceerde snaar; min–max $\leftrightarrow$ variationele schattingen, tot $\pi < 3.1437$ uit één polynoom. Achter elke koppeling hetzelfde object: één compacte zelftoegevoegde operator, eens gediagonaliseerd, op vijf manieren uitgebuit.

23. Splitsen over pariteit en substitueren $n = 2m$ in het even deel,

\zeta(6) = \sum_{n\text{ oneven}}\frac1{n^6} + \sum_{m\geq1}\frac1{(2m)^6} = \frac{\pi^6}{960} + \frac{\zeta(6)}{64},

dus $\frac{63}{64}\zeta(6) = \frac{\pi^6}{960}$ en $\zeta(6) = \frac{64\,\pi^6}{63\cdot960} = \frac{\pi^6}{945}$ . De spoorroute zou $\operatorname{tr}G^3 = \sum\lambda_n^3 = \zeta(6)/\pi^6$ berekenen als $\iint g\,g_2$ met de geïtereerde kern $g_2(x,y) = \int_0^1g(x,z)g(z,y)\dd z$ — drie integraties van stuksgewijze polynomen; Parseval op $x(1-x)$ had er maar één nodig.

24. (a) Diagonaliseer: $v = \sum_na_nu_n$ (plus een mogelijke kerncomponent, waarop $\langle v, Av\rangle$ niets wint en $\norm v^2$ groeit, dus een maximizer heeft er geen). Dan $\langle v, Av\rangle = \sum\mu_na_n^2 \leq \mu_1\sum a_n^2$ , met gelijkheid desda $a_n = 0$ wanneer $\mu_n < \mu_1$ : een maximizer ligt in de $\mu_1$ -eigenruimte. (b) Voor willekeurige $u$ ,

\langle\abs u, A\abs u\rangle - \langle u, Au\rangle = \iint k(x,y)\,\bigl(\abs{u(x)}\abs{u(y)} - u(x)u(y)\bigr)\dd x\,\dd y \;\geq\; 0,

de integrand puntsgewijs niet-negatief. Als $P = \{u > 0\}$ en $N = \{u < 0\}$ beide positieve maat hebben, dan is op $P\times N$ de integrand gelijk aan $2k\abs{u(x)}\abs{u(y)} > 0$ op een verzameling van positieve maat: strikte ongelijkheid. Een $\mu_1$ -eigenfunctie $u$ maximaliseert het Rayleigh-quotiënt, en $\abs u$ heeft dezelfde norm, dus strikt zou $R(\abs u) > \mu_1$ vertonen — onmogelijk; dus $u$ heeft a.e. constant teken, zeg $u \geq 0$ . Dan $u(x) = \mu_1^{-1}(Au)(x) = \mu_1^{-1}\int k(x,y)u(y)\dd y > 0$ voor elke $x \in \intoo01$ ( $k(x,\cdot) > 0$ en $u \neq 0$ ). (c) Als de eigenruimte dimensie $\geq 2$ had, zou ze twee orthogonale eigenfuncties $u, v$ bevatten, elk van constant teken en inwendig-niet-verdwijnend via (b); maar dan $\abs{\langle u, v\rangle} = \int\abs u\,\abs v > 0$ — tegenspraak. Op de snaar: $k = g > 0$ op het open vierkant, $\mu_1 = \lambda_1 = \frac1{\pi^2}$ is inderdaad eenvoudig, $e_1 = \sqrt2\sin(\pi x)$ is positief op $\intoo01$ ; en elke $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ , $n \geq 2$ , orthogonaal op de positieve $e_1$ , moet ertegen tot nul integreren, dus van teken wisselen — zoals haar $n - 1$ inwendige nulpunten $\frac kn$ bevestigen.

25. Omdat $n^2\pi^2 \to \infty$ , wordt het minimum $d = \min_n\abs{n^2\pi^2 - \nu}$ bereikt, in zekere modus $m$ , en $d > 0$ omdat $\nu$ het spectrum vermijdt. De diagonaalformule van vraag 19 geeft

\norm{R_\nu f}_2^2 = \sum_n\frac{\abs{c_n}^2}{(n^2\pi^2 - \nu)^2} \leq \frac1{d^2}\,\norm f_2^2,

met gelijkheid voor $f = e_m$ : $\vertiii{R_\nu} = \frac1d$ , de reciproke van de afstand van $\nu$ tot het spectrum — het algemene resolventprincipe, hier in expliciete coördinaten. Zelftoegevoegdheid wordt afgelezen van de reële diagonaalcoëfficiënten; compactheid volgt zoals in vraag 21 (de coëfficiënten gaan naar $0$ , dus eindig-rang-afknottingen convergeren in norm). Resonantieprijs: voor $f = e_1$ en $\nu = (1-\varepsilon)\pi^2$ geeft de formule $u = \frac{c_1}{\pi^2 - \nu}e_1 = \frac1{\varepsilon\pi^2}e_1$ , tegen de statische respons $Ge_1 = \frac1{\pi^2}e_1$ : versterking $\frac1\varepsilon$ . Bij $\varepsilon = 10^{-2}$ is de respons $100$ keer de statische — en ze divergeert als $\varepsilon \to 0$ , wat het alternatief van vraag 20 is van de begrensde kant gezien: hoe dichter de forceerfrequentie bij een natuurlijke, hoe minder begrensd de inverse.

15.1 Compacte operatoren

15.2 Zelftoegevoegde operatoren

15.3 De spectraalstelling

15.4 Oefeningen

15.5 Probleem: de trillende snaar en ζ(2)\zeta(2)ζ(2)

15.5 Probleem: de trillende snaar en $\zeta(2)$