Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Bachelor Year 1

4Standaardfuncties

De analyse is niet nuttiger dan de voorraad functies die je beheerst. Aan de verzameling die uit het bovenbouwvolume is overgeërfd — machten, exponentiële functie, logaritme, goniometrische functies — voegt dit hoofdstuk hun inverse functies ( $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ ) en de hyperbolische familie toe. Afgeleiden worden vrijelijk gebruikt zoals ze in het bovenbouwvolume voorkwamen; de theorie achter de inverse functies wordt vervolledigd in Hoofdstukken 13 en 14.

4.1 Exponentiële functie, logaritme, machten

Propositie 4.1 (Herhaling en karakterisering)

$\exp \colon \R \to \intoo{0}{+\infty}$ en $\ln \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ zijn elkaars inverse bijecties, strikt stijgend, met

\exp(x + y) = \exp x \exp y, \qquad \ln(xy) = \ln x + \ln y, \qquad \exp' = \exp, \qquad \ln'(x) = \frac 1x .

Bovendien is $\exp$ de enige afleidbare functie $f \colon \R \to \R$ met $f' = f$ en $f(0) = 1$ .

Bewijs. De herhaling is stof uit het bovenbouwvolume. Voor de uniciteit: zij $f' = f$ en $f(0) = 1$ , en zet $g(x) = f(x)\,\eu^{-x}$ . Dan is $g' = f'\eu^{-x} - f\eu^{-x} = 0$ , zodat $g$ constant gelijk aan $g(0) = 1$ is: $f = \exp$ . ∎

Definitie 4.2 (Algemene machten)

Voor $x > 0$ en $\alpha \in \R$ zet men $\;x^\alpha = \eu^{\alpha \ln x}$ . Voor $a > 0$ met $a \neq 1$ is de logaritme met grondtal $a$ de functie $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ , de inverse van $x \mapsto a^x$ .

Voorbeeld 4.3 (Exponentiële vergelijkingen oplossen)

Los $2^x = 5^{\,x-1}$ op in $\R$ . Beide leden zijn positief, dus neem logaritmen — een omkeerbare stap:

x\ln2 = (x - 1)\ln5 \iff x(\ln2 - \ln5) = -\ln5 \iff x = \frac{\ln5}{\ln5 - \ln2} = \frac{\ln 5}{\ln\frac52} \approx 1.756 .

Los vervolgens $x^{\sqrt2} = 3$ op voor $x > 0$ : verhef tot de macht $\frac1{\sqrt2}$ (dat wil zeggen, pas de inverse bijectie toe): $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$ . Het inzicht: elke vergelijking waarin machten door elkaar lopen ontrolt zich via $\ln$ en $\exp$ , omdat de definitie $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ elk machtsgereken tot rekenen met exponenten herleidt — maar alleen op het domein $x > 0$ waar die definitie leeft.

Voorbeeld 4.4 (Verdubbelingstijden)

Een grootheid groeit met $3\%$ per stap: na $n$ stappen is ze vermenigvuldigd met $(1.03)^n$ . Wanneer verdubbelt ze? Los $(1.03)^n \geq 2$ op:

n\ln(1.03) \geq \ln2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} = \frac{0.6931}{0.02956} \approx 23.4 ,

zodat de eerste verdubbeling bij stap $24$ optreedt. (De “regel van $72$ ” van de financiers, die de verdubbelingstijd schat als $72$ gedeeld door het percentage, is deze berekening met de benadering $\ln(1 + x) \approx x$ , gekwantificeerd in Hoofdstuk 16.) Over exponentiële processen redeneer je het best via hun logaritmen: op die schaal is de groei lineair en worden vragen delingen.

Voorbeeld 4.5 (Hoe lang is $2^{2026}$ ?)

Het aantal decimale cijfers van een geheel getal $N \geq 1$ is $\floor{\log_{10} N} + 1$ (immers, $N$ heeft $d$ cijfers precies wanneer $10^{d-1} \leq N < 10^d$ , oftewel $d - 1 \leq \log_{10}N < d$ ). Voor $N = 2^{2026}$ :

\log_{10} 2^{2026} = 2026\,\log_{10}2 = 2026 \times 0.301030 = 609.887 ,

dus $2^{2026}$ heeft $610$ cijfers. Het decimale deel levert een bonus: $10^{0.887} \approx 7.7$ , zodat het getal met een $7$ begint. Eén vermenigvuldiging beantwoordde een vraag over een getal dat niemand ooit zal uitschrijven — logaritmen persen multiplicatieve grootte samen tot additieve, en dat is hun hele historische bestaansreden (Voorbeeld 7.12 maakt die zin precies).

Propositie 4.6 (Machtsregels en groeivergelijking)

Voor $x, y > 0$ en $\alpha, \beta \in \R$ :

x^{\alpha+\beta} = x^\alpha x^\beta, \quad (x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}, \quad (xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha, \quad (x^\alpha)' = \alpha\, x^{\alpha - 1}.

Groeischaal als $x \to +\infty$ , voor elke $\alpha > 0$ en $\beta > 0$ :

\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} \longrightarrow 0, \qquad \frac{x^\alpha}{\eu^{\beta x}} \longrightarrow 0 .

Bewijs. De identiteiten schrijven die van $\exp$ en $\ln$ over via de definitie. In detail voor de tweede (de minst voor de hand liggende): $x^\alpha > 0$ en $\ln(x^\alpha) = \alpha\ln x$ (pas $\ln$ toe op de definitie), zodat

(x^\alpha)^\beta = \eu^{\beta\ln(x^\alpha)} = \eu^{\beta\alpha\ln x} = x^{\alpha\beta} ;

de eerste en de derde zijn dezelfde ontrollingen van twee regels via $\exp(u + v) = \exp u\exp v$ en $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ . De afgeleide is de kettingregel: $(\eu^{\alpha\ln x})' = \frac{\alpha}{x} \eu^{\alpha\ln x}$ .

Vergelijkingen: uit $\frac{\ln t}{t} \to 0$ (bewezen in het bovenbouwvolume) substitueer je $t = x^{\alpha/\beta}$ , wat $\frac{\ln x}{x^{\alpha/\beta}} \to 0$ geeft, en verhef je tot de macht $\beta$ . Voor de tweede substitueer je $x = \ln u$ in de eerste. ∎

Voorbeeld 4.7 (Twee limieten die elke lezer moet bezitten)

Wat zijn $\lim_{x \to 0^+} x^x$ en $\lim_{x \to +\infty} x^{1/x}$ ? Beide machten zijn via de exponentiële functie gedefinieerd, dus beslecht je eerst de exponent:

x^x = \eu^{x\ln x}, \qquad x\ln x = -\frac{\ln(1/x)}{1/x} \longrightarrow 0 \quad (x \to 0^+), \qquad\text{dus } x^x \longrightarrow \eu^0 = 1 ;

en $x^{1/x} = \eu^{(\ln x)/x} \to \eu^0 = 1$ als $x \to +\infty$ , rechtstreeks door de groeivergelijking. Het inzicht: een onbepaalde macht (van de vorm $0^0$ of $\infty^0$ ) pak je altijd aan door $u^v = \eu^{v\ln u}$ te schrijven en het product $v \ln u$ te analyseren — nooit door base en exponent afzonderlijk te raden. De functie $x \mapsto \frac{\ln x}{x}$ , die beide limieten besliste, wordt uitputtend bestudeerd in de weekendopgave van dit hoofdstuk.

De groeischaal van : bij de rechterrand is x amper voorbij 1.6, terwijl x het kader al verlaten heeft. Elke verhouding (logaritme boven macht, macht boven exponentiële) gaat naar 0 — de tekening suggereert alleen wat de substituties in het bewijs exact maken. — De groeischaal van Propositie 4.6: bij de rechterrand is $\ln x$ amper voorbij $1.6$ , terwijl $\eu^x$ het kader al verlaten heeft. Elke verhouding (logaritme boven macht, macht boven exponentiële) gaat naar $0$ — de tekening suggereert alleen wat de substituties in het bewijs exact maken.

Opmerking 4.8 (Veelgemaakte fouten met machten en logaritmen)

Domeinen. $x^\alpha$ voor irrationale $\alpha$ vergt $x > 0$ ; $(-8)^{1/3}$ vermijd je beter ten gunste van “de reële derdemachtswortel van $-8$ ”, want de regel $(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}$ faalt stilzwijgend op negatieve getallen: $\bigl((-8)^2\bigr)^{1/6} = 2 \neq -2$ .
$\sqrt{x^2} = \abs x$ , niet $x$ : de absolute waarde vergeten is de klassieke bron van zoekgeraakte negatieve oplossingen.
$\ln(xy) = \ln x + \ln y$ vergt $x, y > 0$ . Voor negatieve argumenten kan $\ln(xy)$ gedefinieerd zijn terwijl het rechterlid dat niet is.
Welke functie groeit? In $x^\alpha$ varieert het grondtal; in $a^x$ de exponent. Hun groei verschilt hemelsbreed (Propositie 4.6), en hybride uitdrukkingen als $x^{\ln x}$ of $x^{1/x}$ moeten als $\eu^{(\cdot)}$ herschreven worden vóór elke redenering — zoals in Voorbeeld 4.7.

4.2 Inverse goniometrische functies

Definitie 4.9 ( $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ )

De beperkingen

\sin \colon \intcc{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \cos \colon \intcc{0}{\pi} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \tan \colon \intoo{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \R

zijn strikt monotone bijecties. Hun inverse afbeeldingen worden $\arcsin$ , $\arccos$ en $\arctan$ genoteerd. Zo is bijvoorbeeld $y = \arcsin x$ (met $x \in \intcc{-1}{1}$ ) dé hoek in $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ waarvan de sinus $x$ is.

Van links naar rechts: , , . Elk erft zijn grafiek van de beperkte directe functie door spiegeling in de rechte y = x. — Van links naar rechts: $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ . Elk erft zijn grafiek van de beperkte directe functie door spiegeling in de rechte $y = x$ .

Propositie 4.10 (Afgeleiden)

Op het inwendige van hun domeinen geldt

\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \arccos' x = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \arctan' x = \frac{1}{1 + x^2}.

Bewijs. We lopen op de regel voor de afgeleide van een inverse functie vooruit, die in Hoofdstuk 14 bewezen wordt: is $f$ een afleidbare bijectie met $f' \neq 0$ , dan is $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ . Voor $\arcsin$ geeft dat, met $y = \arcsin x$ ,

\arcsin' x = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},

waarbij $\cos y = +\sqrt{1 - \sin^2 y}$ omdat $y \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ afdwingt dat $\cos y > 0$ . Analoog is $\arccos' x = \frac{1}{-\sin y}$ met $\sin y > 0$ op $\intoo{0}{\pi}$ , en $\arctan' x = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$ met $\tan' = 1 + \tan^2$ . ∎

Voorbeeld 4.11 (Een verborgen constante herkennen)

Bestudeer $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ op $\intoo{-1} {+\infty}$ . De kettingregel en een korte berekening geven

g'(x) = \frac{1}{1 + \bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}\cdot \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2} = \frac{-1}{1 + x^2} ,

want $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$ . Dus $g' = -\arctan'$ : de functie $g + \arctan$ heeft afgeleide nul op het interval $\intoo{-1}{+\infty}$ en is daar dus constant; haar waarde in $x = 0$ is $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$ . Besluit:

\arctan\frac{1 - x}{1 + x} = \frac\pi4 - \arctan x \qquad (x > -1) .

Op $\intoo{-\infty}{-1}$ geldt dezelfde berekening van de afgeleide, maar is de constante een andere ( $-\frac{3\pi}4$ : bereken de limiet voor $x \to -\infty$ ). Het inzicht: “afgeleide nul, dus constant” is een uitspraak per interval — precies de subtiliteit die in Oefening 4.6 en Oefening 4.10 uitgebuit wordt.

Propositie 4.12 (Standaardidentiteiten)

Voor $x \in \intcc{-1}{1}$ : $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ .
Voor $x > 0$ : $\arctan x + \arctan\dfrac 1x = \dfrac{\pi}{2}$ (en $-\frac\pi2$ voor $x < 0$ ).
$\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ ; $\;\tan(\arcsin x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ voor $\abs x < 1$ .

Bewijs. (1) De afgeleide van $x \mapsto \arcsin x + \arccos x$ is nul op $\intoo{-1}{1}$ (Propositie 4.10), zodat de functie daar constant is en gelijk aan haar waarde $\frac\pi2$ in $0$ ; de randwaarden $\pm 1$ ga je rechtstreeks na ( $\frac\pi2 + 0$ en $-\frac\pi2 + \pi$ ).

(2) Dezelfde methode op $\intoo{0}{+\infty}$ : de afgeleide is $\frac{1}{1+x^2} + \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2 + 1} = 0$ , en in $x = 1$ is de som $2\arctan 1 = \frac\pi2$ . Voor $x < 0$ gebruik je dat $\arctan$ oneven is.

(3) Met $y = \arccos x \in \intcc{0}{\pi}$ is $\sin y \geq 0$ , dus $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ ; analoog voor $\cos(\arcsin x)$ , en de formule voor de tangens is het quotiënt. ∎

Opmerking 4.13

$\arcsin(\sin\theta) = \theta$ geldt alleen voor $\theta \in \intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ : zo is $\arcsin(\sin\pi) = 0 \neq \pi$ . De samenstelling in de andere richting, $\sin(\arcsin x) = x$ , is geldig op heel $\intcc{-1}{1}$ .

Voorbeeld 4.14 (Terugvouwen naar het hoofdinterval)

Bereken

\arctan\Bigl(\tan\frac{3\pi}4\Bigr) \qquad\text{en}\qquad \arctan\Bigl(\tan\frac{17\pi}5\Bigr).

Het recept: vervang de hoek door de unieke hoek uit $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ met dezelfde tangens, dat wil zeggen trek het juiste veelvoud van $\pi$ af (de periode van $\tan$ ). Eerst: $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$ , dus het antwoord is $-\frac\pi4$ . Dan: $\frac{17\pi}5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , dus het antwoord is $\frac{2\pi}5$ . De berekening is een vermomde euclidische deling van de hoek door $\pi$ — en de analoge recepten voor $\arcsin$ (vouw terug naar $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , periode $2\pi$ ) en $\arccos$ (vouw terug naar $\intcc0\pi$ ) sturen Oefening 4.1 en het stuksgewijze antwoord van Oefening 4.10.

Voorbeeld 4.15 (Boogtangenten veilig optellen)

We bewijzen

\arctan\frac12 + \arctan\frac15 + \arctan\frac18 = \frac\pi4 .

Twee ingrediënten: de somformule voor de tangens en — de stap die beginners vergeten — een lokalisering van de som. Ten eerste geeft $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$ met $u = \arctan\frac12$ en $v = \arctan\frac15$

\tan(u + v) = \frac{\frac12 + \frac15}{1 - \frac1{10}} = \frac{7/10}{9/10} = \frac79,

en vervolgens

\tan\Bigl(u + v + \arctan\frac18\Bigr) = \frac{\frac79 + \frac18}{1 - \frac7{72}} = \frac{65/72}{65/72} = 1 .

Ten tweede ligt elk van de drie hoeken in $\intoo0{\frac\pi4}$ (hun argumenten zijn kleiner dan $1$ ), zodat de som in $\intoo0{\frac{3\pi}4}$ ligt; de enige hoek daar met tangens $1$ is $\frac\pi4$ . Zonder de lokalisering zou de conclusie “ $\frac\pi4$ op een veelvoud van $\pi$ na” luiden — een half bewijs. Dezelfde tweestapsdiscipline stuurt Oefening 4.8 en Oefening 4.12.

Voorbeeld 4.16 (Een vergelijking met boogtangenten)

Los $\arctan x + \arctan 2x = \dfrac\pi4$ op. Lokaliseer eerst: het linkerlid heeft het teken van $x$ (beide termen hebben dat), dus heeft elke oplossing $x > 0$ , en dan ligt de som in $\intoo0\pi$ . Neem tangenten (injectief op geen enkel interval van lengte $\pi$ , maar in combinatie met de lokalisering volstaat dit): de somformule geeft

\tan\bigl(\arctan x + \arctan 2x\bigr) = \frac{3x}{1 - 2x^2} = 1 \iff 2x^2 + 3x - 1 = 0 \iff x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}4 .

De negatieve wortel valt af door de lokalisering; voor de positieve kandidaat $x_0 = \frac{\sqrt{17} - 3}4 \approx 0.28$ ligt de som in $\intoo0\pi$ met tangens $1$ , en de enige zulke hoek is $\frac\pi4$ (op $\intoo{\frac\pi2}\pi$ is de tangens negatief): $x_0$ is de unieke oplossing. Let op de vorm van het argument: tangenten nemen kan oplossingen creëren, nooit doen verdwijnen, dus los je eerst de veeltermvergelijking op en filter je daarna met de lokalisering — dezelfde controlediscipline achteraf als bij het kwadrateren van een vergelijking.

4.3 Hyperbolische functies

Definitie 4.17 ( $\cosh$ , $\sinh$ , $\tanh$ )

Voor $x \in \R$ :

\cosh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}

(de hyperbolische functies: cosinus, sinus en tangens hyperbolicus). $\cosh$ is even, $\sinh$ en $\tanh$ zijn oneven.

Propositie 4.18 (Basiseigenschappen)

Voor alle $x, y \in \R$ :

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ ;
$\cosh' = \sinh$ , $\;\sinh' = \cosh$ , $\;\tanh' = 1 - \tanh^2 = \dfrac{1}{\cosh^2}$ ;
$\cosh(x+y) = \cosh x\cosh y + \sinh x \sinh y$ en $\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ ;
$\sinh$ is een strikt stijgende bijectie van $\R$ op $\R$ ; $\cosh$ beperkt tot $\R_+$ is een strikt stijgende bijectie op $\intco{1}{+\infty}$ ; $\tanh$ is een strikt stijgende bijectie van $\R$ op $\intoo{-1}{1}$ .

Bewijs. (1) $\bigl(\frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2}\bigr)^2 = \frac{(\eu^{2x} + 2 + \eu^{-2x}) - (\eu^{2x} - 2 + \eu^{-2x})}{4} = 1$ .

(2) Differentieer de definiërende formules; voor $\tanh$ geeft de quotiëntregel $\frac{\cosh^2 - \sinh^2}{\cosh^2}$ , wat volgens (1) zowel $1 - \tanh^2$ als $\frac{1}{\cosh^2}$ is.

(3) Werk de rechterleden uit met de definities. In detail voor de eerste formule:

\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y = \frac{(\eu^x + \eu^{-x})(\eu^y + \eu^{-y}) + (\eu^x - \eu^{-x})(\eu^y - \eu^{-y})}{4} ;

van de acht producten vallen de vier “gemengde” ( $\eu^{x-y}$ , $\eu^{y-x}$ ) twee aan twee weg, terwijl $\eu^{x+y}$ en $\eu^{-(x+y)}$ elk tweemaal voorkomen: het totaal is $\frac{2\eu^{x+y} + 2\eu^{-(x+y)}}{4} = \cosh(x+y)$ . De formule voor de sinus verloopt identiek, met de gemengde termen die nu juist overleven.

(4) $\sinh' = \cosh \geq 1 > 0$ , dus $\sinh$ is strikt stijgend, met limieten $\pm\infty$ (dominante term $\pm\frac{\eu^{\abs x}}{2}$ ); de uitspraak over de bijectie volgt dan uit de tussenwaardestelling (hier gebruikt zoals bekend uit het bovenbouwvolume; systematische behandeling in Hoofdstuk 13). Op $\R_+$ is $\cosh' = \sinh \geq 0$ , alleen nul in $0$ : strikt stijgend van $\cosh 0 = 1$ naar $+\infty$ . En $\tanh' > 0$ met limieten $\pm 1$ in $\pm\infty$ ; in detail:

\tanh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{\eu^x + \eu^{-x}} = \frac{1 - \eu^{-2x}}{1 + \eu^{-2x}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1 ,

na deling van teller en noemer door $\eu^x$ , en wegens de oneven pariteit is de limiet $-1$ in $-\infty$ ; de strikt stijgende functie $\tanh$ beeldt $\R$ dus af op $\intoo{-1}1$ . ∎

Links: en , asymptotisch aan x/2 geplakt (streepjeslijn). Rechts: , stijgend van -1 naar 1. — Links: $\cosh$ en $\sinh$ , asymptotisch aan $\frac{\eu^x}{2}$ geplakt (streepjeslijn). Rechts: $\tanh$ , stijgend van $-1$ naar $1$ .

Opmerking 4.19 (Waarom “hyperbolisch”?)

Het punt $(\cosh t, \sinh t)$ doorloopt de tak $x > 0$ van de hyperbool $x^2 - y^2 = 1$ (wegens Propositie 4.18 (1)), precies zoals $(\cos t, \sin t)$ de cirkel $x^2 + y^2 = 1$ doorloopt. Elke goniometrische identiteit heeft een hyperbolische tegenhanger, met tekenwisselingen die door $\sinh^2 \leftrightarrow -\sin^2$ geregeld worden.

Voorbeeld 4.20 (De somformule voor $\tanh$ )

Delen we de twee somformules van Propositie 4.18 (3) door $\cosh x\cosh y$ , dan volgt

\tanh(x + y) = \frac{\sinh x\cosh y + \cosh x\sinh y} {\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y} = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x\,\tanh y} ,

de hyperbolische tegenhanger van de somformule voor de tangens — met een $+$ waar de goniometrie een $-$ heeft. Een dividend: omdat $\abs{\tanh} < 1$ , is het rechterlid een “optelregel voor snelheden” die $\intoo{-1}1$ nooit verlaat: liggen $u, v$ in $\intoo{-1}1$ , dan ligt ook $\frac{u + v}{1 + uv}$ in $\intoo{-1}1$ (schrijf $u = \tanh a$ en $v = \tanh b$ , wat kan wegens de bijectiviteit, en lees de formule achterstevoren). Dat algebraïsch nagaan, zonder hyperbolische functies, is een licht pijnlijke oefening; parametriseren met $\tanh$ maakt er één regel van — dezelfde strategie die de goniometrische functies voor de eenheidscirkel bieden.

Propositie 4.21 (Inverse hyperbolische functies)

De inversen die Propositie 4.18 (4) oplevert hebben gesloten uitdrukkingen:

\operatorname{arsinh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 + 1}\bigr) \ (x \in \R), \qquad \operatorname{arcosh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr) \ (x \geq 1),

\operatorname{artanh} x = \frac 12 \ln\frac{1 + x}{1 - x} \ (\abs x < 1),

met respectievelijk de afgeleiden $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ , $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ ( $x > 1$ ) en $\frac{1}{1 - x^2}$ .

Bewijs. Voor $\operatorname{arsinh}$ : los $x = \sinh y = \frac{\eu^y - \eu^{-y}}{2}$ op. Met $u = \eu^y > 0$ wordt dat $u^2 - 2xu - 1 = 0$ , dus $u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ (de wortel $x - \sqrt{x^2+1}$ is negatief) en $y = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ . De twee andere zijn identieke berekeningen ( $u^2 - 2xu + 1 = 0$ voor $\operatorname{arcosh}$ , met behoud van de wortel $\geq 1$ ; een herschikking van twee regels voor $\operatorname{artanh}$ ). Afgeleiden: differentieer de logaritmische uitdrukkingen, bijvoorbeeld

\bigl(\ln(x + \sqrt{x^2+1})\bigr)' = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x + \sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} . \qedhere

∎

Voorbeeld 4.22 (Gesloten vormen aan het werk)

De oplossing van $\cosh t = 2$ met $t \geq 0$ is volgens de gesloten vorm $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$ ; de andere oplossing is $-t$ , wegens de even pariteit — en inderdaad is $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$ : de twee wortels $u = \eu^t$ van de vierkantsvergelijking $u^2 - 4u + 1 = 0$ zijn elkaars omgekeerde, zoals hun product $1$ (Vieta) eist. Dit kleine rekenwerk toont het algemene patroon: hyperbolische vergelijkingen gaan over in vierkantsvergelijkingen in $\eu^t$ , en de symmetrie $t \mapsto -t$ verschijnt als de symmetrie $u \mapsto 1/u$ van die vergelijking — het onthouden waard bij het oplossen van Oefening 4.7.

Methode 4.23 (De juiste primitieve vorm kiezen)

De drie patronen van afgeleiden die je voor het integreren (Hoofdstuk 15) uit het hoofd kent:

\int \frac{\dd x}{1 + x^2} = \arctan x + C, \qquad \int \frac{\dd x}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C, \qquad \int \frac{\dd x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C,

en voor een algemene tweedegraadsuitdrukking herleid je tot deze door het kwadraat af te splitsen en te herschalen.

Opmerking 4.24 (Waar dit hoofdstuk gebruikt wordt)

Dit hoofdstuk levert het werkvocabulaire van alle analyse die volgt. De groeischaal van Propositie 4.6 beslist convergentievragen doorheen Hoofdstukken 11 en 17; de formules voor de afgeleiden uit Propositie 4.10 en Propositie 4.21 zijn de primitieven die in Hoofdstuk 15 het vaakst nodig zijn, via Methode 4.23; hyperbolische functies parametriseren de oplossingen van de vergelijking $y'' = y$ in Hoofdstuk 5 precies zoals de goniometrische functies die van $y'' = -y$ parametriseren. De karakterisering van $\exp$ door $f' = f$ en $f(0) = 1$ (Propositie 4.1) is de eendimensionale kiem van de theorie van de lineaire differentiaalvergelijkingen, en de kettinglijn $y = \cosh x$ keert terug bij de vlakke krommen van Hoofdstuk 24.

Opmerking 4.25 (Tussenspel: het programma van de inverse functies)

Dit hoofdstuk voerde viermaal hetzelfde programma uit: beperk een functie tot ze een strikt monotone bijectie is, geef de inverse een naam, en vervoer elke formule daardoorheen. Wat bij elke stap gebruikt werd — dat een continue strikt monotone functie op een interval een bijectie op een interval is, en dat haar inverse continu is en vervolgens afleidbaar buiten de kritieke punten — werd op krediet van het bovenbouwvolume geleend. Die schuld wordt binnen dit volume afgelost: Hoofdstuk 13 bewijst de uitspraak over de bijectie (de stelling over de monotone inverse, steunend op de tussenwaardestelling), en Hoofdstuk 14 bewijst de regel $(f^{-1})' = 1/(f' \circ f^{-1})$ die stilzwijgend elke formule van Propositie 4.10 en Propositie 4.21 produceerde. Die hoofdstukken lezen met $\arcsin$ en $\operatorname{arsinh}$ in gedachten — als de uitgewerkte voorbeelden waarvoor de theorie gebouwd is — is de bedoelde weg rond de schijnbare cirkelredenering.

4.4 Oefeningen

Oefening 4.1 ★

Bereken zonder rekenmachine: $\arcsin\frac{\sqrt 3}{2}$ ; $\;\arccos\bigl(-\frac 12\bigr)$ ; $\;\arctan(-1)$ ; $\;\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$ ; $\;\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.1.

$\arcsin\frac{\sqrt 3}{2} = \frac\pi3$ ; $\;\arccos\bigl(-\frac12\bigr) = \frac{2\pi}{3}$ ; $\;\arctan(-1) = -\frac\pi4$ .

$\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$ : er is $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac12$ , en de hoek uit $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ met sinus $\frac12$ is $\frac\pi6$ (niet $\frac{5\pi}{6}$ ).

$\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$ : er is $\cos\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt 2}{2}$ , en de hoek uit $\intcc{0}{\pi}$ met die cosinus is $\frac\pi4$ .

Oefening 4.2 ★

Geef het definitiegebied van $f(x) = \arcsin(2x - 1)$ en bereken $f'$ waar die bestaat. Dezelfde vragen voor $g(x) = \arctan\sqrt{x}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.2.

$f(x) = \arcsin(2x - 1)$ vergt $-1 \leq 2x - 1 \leq 1$ , oftewel $x \in \intcc{0}{1}$ . Op $\intoo{0}{1}$ geven de kettingregel en Propositie 4.10

f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 4x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x(1 - x)}} .

$g(x) = \arctan\sqrt x$ is gedefinieerd voor $x \geq 0$ , en voor $x > 0$ is

g'(x) = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{1}{2\sqrt x\,(1 + x)} .

Oefening 4.3 ★

Bewijs dat voor alle $x \in \R$ geldt $\cosh x + \sinh x = \eu^x$ , en dat $(\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx$ voor elke $n \in \Z$ (een hyperbolische formule van de Moivre).

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.3.

$\cosh x + \sinh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2} + \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2} = \eu^x$ . Bijgevolg is voor $n \in \Z$

(\cosh x + \sinh x)^n = (\eu^x)^n = \eu^{nx} = \cosh nx + \sinh nx .

Oefening 4.4 ★

Vereenvoudig $\cos(2\arcsin x)$ en $\sin(2\arctan x)$ tot algebraïsche uitdrukkingen in $x$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.4.

Met $y = \arcsin x$ : $\cos 2y = 1 - 2\sin^2 y = 1 - 2x^2$ , dus $\cos(2\arcsin x) = 1 - 2x^2$ .

Met $y = \arctan x$ : $\sin 2y = 2 \sin y \cos y = 2 \tan y \cos^2 y = \frac{2\tan y}{1 + \tan^2 y}$ , dus $\sin(2\arctan x) = \dfrac{2x}{1 + x^2}$ .

Oefening 4.5 ★

Rangschik de functies $x^{100}$ , $\;\eu^{\sqrt x}$ , $\;(\ln x)^{1000}$ , $\;\eu^{x/100}$ , $\;x^{\ln x}$ voor grote $x$ van traagst naar snelst groeiend, met verantwoordingen gebaseerd op Propositie 4.6.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.5.

Van traagst naar snelst:

(\ln x)^{1000} \;\ll\; x^{100} \;\ll\; x^{\ln x} \;\ll\; \eu^{\sqrt x} \;\ll\; \eu^{x/100} .

Verantwoording: $(\ln x)^{1000}/x^{100} \to 0$ volgens Propositie 4.6 (logaritmen verliezen van machten). Verder is $x^{100} = \eu^{100\ln x}$ en $x^{\ln x} = \eu^{(\ln x)^2}$ : omdat $(\ln x)^2 - 100\ln x \to +\infty$ , wint de tweede. Vervolgens is $x^{\ln x} = \eu^{(\ln x)^2} \ll \eu^{\sqrt x}$ omdat $(\ln x)^2/\sqrt x \to 0$ (logaritmen verliezen van de macht $x^{1/4}$ , gekwadrateerd). Ten slotte gaat $\sqrt x - x/100 \to -\infty$ , dus $\eu^{\sqrt x} \ll \eu^{x/100}$ .

Oefening 4.6 ★★

Bestudeer de functie $f(x) = \arctan\dfrac{2x}{1 - x^2}$ op haar domein: bereken $f'$ , vergelijk met $(2\arctan x)'$ , en druk $f(x)$ op elk van de drie intervallen van het domein uit in $\arctan x$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.6.

Domein: $x \neq \pm 1$ , drie intervallen. Op elk ervan is

f'(x) = \frac{\bigl(\frac{2x}{1-x^2}\bigr)'}{1 + \frac{4x^2}{(1-x^2)^2}} = \frac{\frac{2(1-x^2) + 4x^2}{(1-x^2)^2}} {\frac{(1-x^2)^2 + 4x^2}{(1-x^2)^2}} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2}{1 + x^2} = (2\arctan x)' .

Dus is $f(x) - 2\arctan x$ constant op elk interval. Waarden: in $x = 0$ is $f(0) = 0$ , zodat de constante $0$ is op $\intoo{-1}{1}$ . Voor $x \to +\infty$ gaat $\frac{2x}{1-x^2} \to 0^-$ , dus $f \to 0$ , terwijl $2\arctan x \to \pi$ : de constante is $-\pi$ op $\intoo{1}{+\infty}$ . Wegens de oneven pariteit is ze $+\pi$ op $\intoo{-\infty}{-1}$ . Samengevat: $f = 2\arctan x$ op $\intoo{-1}{1}$ , $f = 2\arctan x - \pi$ voor $x > 1$ , en $f = 2\arctan x + \pi$ voor $x < -1$ . (Dit is de dubbelehoekformule voor de tangens, gelezen door $\arctan$ heen.)

Oefening 4.7 ★★

Los op in $\R$ : $\;\cosh x = 2$ ; en vervolgens $5\cosh x - 4 \sinh x = 3$ (druk de oplossingen uit met logaritmen). Aanwijzing voor de tweede: schrijf alles met $u = \eu^x$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.7.

$\cosh x = 2$ : met $u = \eu^x > 0$ wordt dat $u + u^{-1} = 4$ , dus $u^2 - 4u + 1 = 0$ en $u = 2 \pm \sqrt 3$ : $x = \ln(2 + \sqrt 3)$ of $x = \ln(2 - \sqrt 3) = -\ln(2 + \sqrt 3)$ (de twee oplossingen zijn elkaars tegengestelde, want $\cosh$ is even; beide zijn geldig). Equivalent: $x = \pm \operatorname{arcosh} 2$ .

$5\cosh x - 4\sinh x = 3$ : na substitutie van de exponentiële definities wordt dat $\frac{5(u + u^{-1}) - 4(u - u^{-1})}{2} = 3$ , oftewel $u + 9u^{-1} = 6$ , oftewel $u^2 - 6u + 9 = (u - 3)^2 = 0$ : $u = 3$ , met de ene oplossing $x = \ln 3$ .

Oefening 4.8 ★★

Bewijs de identiteit $\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$ , en vervolgens de formule van Machin

4\arctan\frac 15 - \arctan\frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}.

Aanwijzing: bereken de tangens van beide leden met de somformule en beheers in welk interval elk lid ligt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.8.

Zij $\alpha = \arctan\frac12 + \arctan\frac13$ . De somformule geeft

\tan\alpha = \frac{\frac12 + \frac13}{1 - \frac12\cdot\frac13} = \frac{5/6}{5/6} = 1 .

Beide boogtangenten liggen in $\intoo{0}{\frac\pi4}$ (hun argumenten liggen in $\intoo{0}{1}$ ), dus $\alpha \in \intoo{0}{\frac\pi2}$ ; de enige hoek daar met tangens $1$ is $\frac\pi4$ .

Machin: zij $\beta = \arctan\frac15$ . Tweemaal de dubbelehoekformule:

\tan 2\beta = \frac{2/5}{1 - 1/25} = \frac{5}{12}, \qquad \tan 4\beta = \frac{2 \cdot 5/12}{1 - 25/144} = \frac{120}{119}.

Vervolgens is

\tan\Bigl(4\beta - \frac\pi4\Bigr) = \frac{\frac{120}{119} - 1}{1 + \frac{120}{119}} = \frac{1/119}{239/119} = \frac{1}{239}.

Lokalisering: $\beta < \arctan 1 = \frac\pi4$ , en zelfs $4\beta \in \intoo{0}{\frac\pi2}$ met $\tan 4\beta = \frac{120}{119}$ dicht bij $1$ (want $\beta < \frac\pi8$ , aangezien $\tan\frac\pi8 = \sqrt 2 - 1 > \frac15$ ); dus ligt $4\beta - \frac\pi4$ in $\intoo{-\frac\pi4}{\frac\pi4}$ , waar $\arctan$ de tangens inverteert: $4\beta - \frac\pi4 = \arctan\frac{1}{239}$ , en dat is de formule van Machin.

Oefening 4.9 ★★

Bewijs dat voor alle $x \geq 0$ geldt $\;x - \dfrac{x^3}{6} \leq \sin x \leq x$ (bestudeer de opeenvolgende afgeleiden van de verschillen), en leid af dat $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac 16$ aannemelijk is — de limiet zelf wordt in Hoofdstuk 16 vastgelegd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.9.

Zij $f(x) = x - \sin x$ : dan is $f(0) = 0$ en $f'(x) = 1 - \cos x \geq 0$ , dus $f \geq 0$ op $\R_+$ : $\sin x \leq x$ .

Zij $g(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6}$ : dan is $g(0) = 0$ , $g'(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$ , $g'(0) = 0$ en $g''(x) = -\sin x + x = f(x) \geq 0$ op $\R_+$ . Dus is $g'$ stijgend met $g'(0) = 0$ , waardoor $g' \geq 0$ , waardoor $g$ stijgend is met $g(0) = 0$ : $g \geq 0$ , oftewel $x - \frac{x^3}{6} \leq \sin x$ op $\R_+$ .

Bijgevolg is $0 \leq \frac{x - \sin x}{x^3} \leq \frac 16$ voor $x > 0$ : de verhouding zit opgesloten op de schaal van $\frac16$ , en Hoofdstuk 16 toont aan dat haar limiet precies $\frac 16$ is.

Oefening 4.10 ★★★

Zet voor $x \in \intcc{-1}{1}$ $h(x) = \arcsin\bigl(2x\sqrt{1 - x^2}\,\bigr) - 2\arcsin x$ . Je zou uit de identiteit $\sin 2y = 2\sin y\cos y$ verwachten dat $h = 0$ — maar $h$ is niet identiek nul. Bereken $h'$ op de open intervallen waar die bestaat, evalueer $h$ in goedgekozen punten, en geef de volledige stuksgewijs constante beschrijving van $h$ op $\intcc{-1}{1}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.10.

Schrijf $y = \arcsin x$ , zodat $2x\sqrt{1 - x^2} = 2\sin y\cos y = \sin 2y$ en $h(x) = \arcsin(\sin 2y) - 2y$ .

Voor $\abs x \leq \frac{\sqrt 2}{2}$ : dan is $2y \in \intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , dus $\arcsin(\sin 2y) = 2y$ en $h = 0$ .

Voor $x \in \intoc{\frac{\sqrt 2}{2}}{1}$ : dan is $2y \in \intoc{\frac\pi2}{\pi}$ , en de hoek uit $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ met sinus $\sin 2y$ is $\pi - 2y$ : dus $h(x) = \pi - 4\arcsin x$ . (Controle via de afgeleide: daar is $h'(x) = \frac{2(1 - 2x^2)}{\abs{1 - 2x^2}\sqrt{1 - x^2}} - \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-4}{\sqrt{1 - x^2}}$ , de afgeleide van $-4\arcsin x$ ; en in $x = 1$ is $h(1) = \arcsin 0 - 2\cdot\frac\pi2 = -\pi = \pi - 4\cdot\frac\pi2$ .)

Voor $x \in \intco{-1}{-\frac{\sqrt 2}{2}}$ geeft de oneven pariteit van $h$ : $h(x) = -\pi - 4\arcsin x$ .

Oefening 4.11 ★★★

(Gudermann-functie) Zij $g(x) = \arctan(\sinh x)$ voor $x \in \R$ . Bewijs dat $g$ een oneven, strikt stijgende bijectie van $\R$ op $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ is, dat $g'(x) = \frac{1}{\cosh x}$ , en dat $\tan g(x) = \sinh x$ , $\;\sin g(x) = \tanh x$ , $\;\cos g(x) = \frac{1}{\cosh x}$ : de functie $g$ verbindt de goniometrie met de hyperbolische goniometrie zonder complexe getallen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.11.

$g = \arctan \circ \sinh$ is een samenstelling van oneven, strikt stijgende functies, dus zelf oneven en strikt stijgend; voor $x \to +\infty$ gaat $\sinh x \to +\infty$ , dus $g(x) \to \frac\pi2$ , en $g$ is een bijectie op $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (continuïteit plus de tussenwaardestelling). De kettingregel met Propositie 4.18 (1) geeft

g'(x) = \frac{\cosh x}{1 + \sinh^2 x} = \frac{\cosh x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh x} .

Per constructie is $\tan g(x) = \sinh x$ . Omdat $g(x) \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ een positieve cosinus heeft, volgt

\begin{align*} \cos g(x) &= \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 g(x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 x}} = \frac{1}{\cosh x},\\ \sin g(x) &= \tan g(x) \cos g(x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x . \end{align*}

Oefening 4.12 ★★

Bewijs dat

\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi .

Aanwijzing: bereken eerst $\arctan 2 + \arctan 3$ en lokaliseer de som als in Voorbeeld 4.15; let erop dat de noemer van de somformule hier negatief is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.12.

Zet $u = \arctan 2$ en $v = \arctan 3$ ; beide liggen in $\intoo{\frac\pi4}{\frac\pi2}$ (hun argumenten zijn groter dan $1$ ), dus $u + v \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ . De somformule geeft

\tan(u + v) = \frac{2 + 3}{1 - 6} = -1 ,

en de unieke hoek uit $\intoo{\frac\pi2}{\pi}$ met tangens $-1$ is $\frac{3\pi}4$ : dus $\arctan 2 + \arctan 3 = \frac{3\pi}4$ . (Blindelings $\arctan$ op de tangens toepassen zou $-\frac\pi4$ geven, een $\pi$ ernaast — de lokalisering redt de berekening, en de negatieve noemer $1 - 6$ is juist het signaal dat de som $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ verlaten heeft.) Optellen van $\arctan 1 = \frac\pi4$ geeft

\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \frac\pi4 + \frac{3\pi}4 = \pi .

4.5 Opgave: de vergelijking $x^y = y^x$

Probleem 4.1

Welke paren positieve getallen voldoen aan $x^y = y^x$ ? Iedereen kent één toevallig ogend voorbeeld, $2^4 = 4^2 = 16$ ; deze opgave laat zien dat daar niets toevalligs aan is. De hele vergelijking wordt geregeerd door het verloop van de ene functie

f(t) = \frac{\ln t}{t} \qquad (t > 0),

waarvan de studie het volgende oplevert: de volledige oplossingsverzameling (een diagonaal plus één gekromde tak door $(\eu, \eu)$ ), een rationale parametrisering van die tak, het feit dat $(2, 4)$ haar enige geheeltallige punt is, en de classificatie van al haar rationale punten — plus, als dividend, de vergelijking van $\eu^\pi$ met $\pi^\eu$ en de monotone convergentie van $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ naar $\eu$ .

Deel I — De functie $f(t) = \ln t / t$ .

Verantwoord dat $f$ afleidbaar is op $\intoo0{+\infty}$ , bereken $f'$ en stel de verlooptabel op: $f$ stijgt strikt op $\intoc0\eu$ , daalt strikt op $\intco\eu{+\infty}$ , met maximum $f(\eu) = \frac1\eu$ .
Bepaal de limieten van $f$ in $0^+$ en $+\infty$ (Propositie 4.6), het teken van $f$ (negatief op $\intoo01$ , nul in $1$ , positief daarna), en schets de grafiek.
Ga door rechtstreeks rekenen na dat $f(2) = f(4)$ . (Houd die gelijkheid in gedachten: de hele opgave komt eruit voort.)
Zij $c \in \R$ . Bespreek, naar de waarde van $c$ , het aantal oplossingen van $f(t) = c$ : precies één voor $c \leq 0$ ; precies twee (één in $\intoo1\eu$ , één in $\intoo\eu{+\infty}$ ) voor $0 < c < \frac1\eu$ ; precies één voor $c = \frac1\eu$ ; geen voor $c > \frac1\eu$ .
Leid af dat $\eu^x > x^\eu$ voor elke $x > 0$ met $x \neq \eu$ , en beslis in het bijzonder welke van $\eu^\pi$ en $\pi^\eu$ de grootste is.

Deel II — De vergelijking en haar kromme. In dit deel is $x, y > 0$ .

Toon aan dat $x^y = y^x \iff f(x) = f(y)$ .
Leid de structuur van de oplossingsverzameling af: alle diagonale paren $(x, x)$ ; en de niet-triviale paren ( $x \neq y$ ), waarvoor geldt dat beide coördinaten $> 1$ zijn en dat de ene in $\intoo1\eu$ ligt terwijl de andere in $\intoo\eu{+\infty}$ ligt.
Parametriseer de niet-triviale paren: toon aan dat, met $y = tx$ voor $t > 0$ en $t \neq 1$ , de vergelijking $x^y = y^x$ afdwingt dat

$x(t) = t^{\frac1{t-1}}, \qquad y(t) = t\,x(t) = t^{\frac{t}{t-1}},$

en dat omgekeerd elk zo’n paar een oplossing is.
Ga na dat $t = 2$ het paar $(2, 4)$ geeft, en bewijs de symmetrie $x(1/t) = y(t)$ , $y(1/t) = x(t)$ : de parameter omkeren verwisselt de twee coördinaten.
Bepaal de limieten van $x(t)$ en $y(t)$ voor $t \to 1$ (beide gaan naar $\eu$ ), voor $t \to +\infty$ ( $x \to 1$ , $y \to +\infty$ ) en voor $t \to 0^+$ ( $x \to +\infty$ , $y \to 1$ ). Beschrijf de resulterende tak: een kromme met de rechten $x = 1$ en $y = 1$ als asymptoten, die de diagonaal snijdt in $(\eu, \eu)$ .
Toon aan dat $t \mapsto x(t)$ strikt dalend is op $\intoo1{+\infty}$ . (Bestudeer $h(t) = 1 - \frac1t - \ln t$ , waarvan het teken de afgeleide van $\ln x(t) = \frac{\ln t}{t - 1}$ regelt.)
Besluit dat de niet-triviale oplossingen een strikt dalende bijectie $\varphi \colon \intoo1\eu \to \intoo\eu{+\infty}$ definiëren met $x^{\varphi(x)} = \varphi(x)^x$ , en dat $\varphi$ een involutie van de tak is: $\varphi(\varphi(x)) = x$ overal waar beide leden gedefinieerd zijn.

Deel III — Geheeltallige en rationale punten.

Bewijs dat $(2, 4)$ en $(4, 2)$ de enige niet-triviale geheeltallige oplossingen van $x^y = y^x$ zijn.
Pas voor $n \in \N^*$ de parametrisering toe met $t = 1 + \frac1n$ en toon aan dat

$x_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n}, \qquad y_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n+1}$

voor elke $n$ een niet-triviale rationale oplossing is, met $(x_1, y_1) = (2, 4)$ .
Zij omgekeerd $(x, y)$ een niet-triviale rationale oplossing met $y > x$ , en schrijf $t = y/x = 1 + \frac rs$ onvereenvoudigbaar ( $r, s \in \N^*$ ). Toon met $x = t^{s/r}$ en met de aangenomen uniciteit van de priemontbinding (vertrouwd van school; bewezen in Hoofdstuk 6) aan dat $x$ rationaal afdwingt dat zowel $s$ als $s + r$ een $r$ -de macht van een geheel getal is.
Toon met het binomium aan dat $a^r - b^r = r$ geen geheeltallige oplossingen $a > b \geq 1$ heeft wanneer $r \geq 2$ , en besluit: de rationale oplossingen van $x^y = y^x$ zijn precies de paren $(x_n, y_n)$ van vraag 14 (en hun verwisselingen).
Ga het geval $n = 2$ numeriek na: bereken $f(9/4)$ en $f(27/8)$ tot op vier decimalen en controleer dat ze overeenstemmen.

Deel IV — Dividenden.

Bewijs met de vragen 7 en 11, zonder verder rekenwerk, dat de rij $x_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ strikt stijgend is met $x_n < \eu$ , dat $y_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^{n+1}$ strikt dalend is met $y_n > \eu$ , en dat beide naar $\eu$ convergeren. (De parameter $t_n = 1 + \frac1n$ daalt naar $1$ .)
Stel de algemene vergelijkingsregel op voor $1 < a < b$ : is $\eu \leq a$ , dan $a^b > b^a$ ; is $b \leq \eu$ , dan $a^b < b^a$ ; en toon met de twee voorbeelden $(2, 3)$ en $(2, 5)$ aan dat in het gemengde geval $a < \eu < b$ beide uitkomsten werkelijk voorkomen.
Neem aan dat de involutie $\varphi$ van vraag 12 afleidbaar is in $\eu$ (dat is ze). Differentieer de identiteit $\varphi(\varphi(x)) = x$ in $x = \eu$ en leid af dat $\varphi'(\eu) = -1$ : de tak snijdt de diagonaal loodrecht.
Vind het unieke oplossingspaar met $y = 3x$ in gesloten vorm, en ga het numeriek na tot op vier decimalen met behulp van $f$ .
Bepaal onder de getallen $\sqrt2$ , $\sqrt[3]3$ , $\sqrt[4]4$ , $\sqrt[5]5$ de grootste en wijs de twee aan die gelijk zijn. (Vergelijk $n^{1/n} = \eu^{f(n)}$ .)

Deel V — Synthese.

Beschrijf de volledige oplossingsverzameling van $x^y = y^x$ in het kwadrant $x, y > 0$ — diagonaal plus tak, hun snijpunt $(\eu, \eu)$ , de asymptoten, het geheeltallige punt $(2, 4)$ , de rationale punten die zich ophopen bij $(\eu, \eu)$ — in een vorm die je uit het hoofd zou kunnen schetsen.
Waar precies gebruikte de opgave: (i) de groeivergelijkingen van Propositie 4.6; (ii) de tussenwaardestelling (via de uitspraken over bijecties); (iii) de aangenomen uniciteit van de priemontbinding? Eén zin per onderdeel.
Moraal, in een korte alinea: één verlooptabel loste een vergelijking in twee onbekenden op, classificeerde haar rationale punten en bewees de monotone convergentie van $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ — becommentarieer die zuinigheid en noem waar elke draad later in het volume geïndustrialiseerd wordt (Hoofdstuk 11 voor de rij, Hoofdstuk 14 voor verlooptabellen, Hoofdstuk 16 voor de precisie die de tabel mist).

Oplossing

Oplossing van Probleem 4.1.

1. $f$ is een quotiënt van afleidbare functies met een noemer die niet nul wordt op $\intoo0{+\infty}$ , en

f'(t) = \frac{\frac1t \cdot t - \ln t}{t^2} = \frac{1 - \ln t}{t^2} ,

positief voor $t < \eu$ , nul in $t = \eu$ , negatief voor $t > \eu$ : $f$ stijgt strikt op $\intoc0\eu$ en daalt strikt op $\intco\eu{+\infty}$ , met maximum $f(\eu) = \frac1\eu$ .

2. Voor $t \to 0^+$ gaat $\ln t \to -\infty$ en $\frac1t \to +\infty$ , dus $f(t) \to -\infty$ . Voor $t \to +\infty$ gaat $f(t) \to 0$ wegens de groeivergelijking van Propositie 4.6 ( $\beta = \alpha = 1$ ). Teken: dat van $\ln t$ , dus $f < 0$ op $\intoo01$ , $f(1) = 0$ en $f > 0$ op $\intoo1{+\infty}$ . De grafiek klimt vanuit $-\infty$ , snijdt de as in $1$ , piekt in $(\eu, \frac1\eu)$ en zakt daarna naar $0^+$ .

3. $f(4) = \frac{\ln 4}4 = \frac{2\ln 2}4 = \frac{\ln 2}2 = f(2)$ .

4. Met de verlooptabel en de tussenwaardestelling (hier gebruikt zoals bekend uit het bovenbouwvolume; geformaliseerd in Hoofdstuk 13). Voor $c < 0$ bestaan er alleen oplossingen waar $f < 0$ , dat wil zeggen in $\intoo01$ , waar $f$ een strikt stijgende bijectie op $\intoo{-\infty}0$ is: precies één. Voor $c = 0$ : alleen $t = 1$ . Voor $0 < c < \frac1\eu$ : op $\intoo1\eu$ stijgt $f$ van $0$ naar $\frac1\eu$ , wat één oplossing geeft; op $\intoo\eu{+\infty}$ daalt $f$ van $\frac1\eu$ naar $0$ , wat er nog één geeft; samen twee. Voor $c = \frac1\eu$ : alleen het maximumpunt $t = \eu$ . Voor $c > \frac1\eu$ : geen.

5. Voor $x \neq \eu$ geeft de strikte maximaliteit $f(x) < f(\eu)$ , oftewel $\frac{\ln x}x < \frac1\eu$ , oftewel $\eu\ln x < x$ , oftewel $\ln(x^\eu) < \ln(\eu^x)$ : $x^\eu < \eu^x$ . Met $x = \pi$ volgt $\eu^\pi > \pi^\eu$ (numeriek $23.14 > 22.46$ ).

6. Voor $x, y > 0$ zijn beide leden positief, dus

x^y = y^x \iff y\ln x = x\ln y \iff \frac{\ln x}x = \frac{\ln y}y \iff f(x) = f(y) ,

na deling door $xy > 0$ .

7. Zij $f(x) = f(y) = c$ met $x \neq y$ . Is $c \leq 0$ of $c = \frac1\eu$ , dan zegt vraag 4 dat de vergelijking $f = c$ één enkele oplossing heeft: onmogelijk. Dus $0 < c < \frac1\eu$ , en opnieuw volgens vraag 4 zijn de twee oplossingen één punt van $\intoo1\eu$ en één van $\intoo\eu{+\infty}$ : beide coördinaten zijn groter dan $1$ en ze liggen aan weerszijden van $\eu$ .

8. Substitutie van $y = tx$ in $y\ln x = x\ln y$ geeft

tx\ln x = x(\ln t + \ln x) \iff (t - 1)\ln x = \ln t \iff \ln x = \frac{\ln t}{t - 1} ,

dus $x = t^{1/(t-1)}$ en $y = tx = t^{1 + \frac1{t-1}} = t^{t/(t-1)}$ . Omgekeerd is voor die waarden $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} = t\ln x$ en $y = tx$ , zodat $\frac{\ln y}y = \frac{t\ln x}{tx} = \frac{\ln x}x$ : een oplossing. Elke niet-triviale oplossing heeft een zekere verhouding $t = y/x \in \intoo0{+\infty} \setminus \{1\}$ , zodat de parametrisering volledig is.

9. $t = 2$ : $x = 2^{1/1} = 2$ en $y = 2^{2/1} = 4$ . En

x(1/t) = (1/t)^{\frac1{\frac1t - 1}} = (t^{-1})^{\frac{t}{1 - t}} = t^{\frac{t}{t - 1}} = y(t) ,

waarna $y(1/t) = \frac1t\,x(1/t) = \frac{y(t)}t = x(t)$ : de parameterwissel $t \mapsto 1/t$ verwisselt de coördinaten, zoals de symmetrie van de vergelijking eist.

10. Voor $t \to 1$ gaat $\frac{\ln t}{t-1} \to 1$ (het is het differentiequotiënt van $\ln$ in $1$ ), dus $x \to \eu^1 = \eu$ en $y = tx \to \eu$ . Voor $t \to +\infty$ gaat $\ln x = \frac{\ln t}{t-1} \to 0$ , dus $x \to 1$ , terwijl $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} \to +\infty$ , dus $y \to +\infty$ . Voor $t \to 0^+$ gaat $\ln x = \frac{\ln t}{t-1} \to \frac{-\infty}{-1} = +\infty$ , dus $x \to +\infty$ , terwijl $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} \to \frac{0}{-1} = 0$ , dus $y \to 1$ (met $t\ln t \to 0$ , Voorbeeld 4.7). De tak loopt dus van de asymptoot $y = 1$ (uiterst rechts) omhoog door $(\eu, \eu)$ op de diagonaal en weg langs de asymptoot $x = 1$ (uiterst boven) — symmetrisch om de diagonaal wegens vraag 9.

11. Er is $\ln x(t) = g(t) = \frac{\ln t}{t-1}$ en

g'(t) = \frac{\frac{t-1}t - \ln t}{(t-1)^2} = \frac{h(t)}{(t-1)^2}, \qquad h(t) = 1 - \frac1t - \ln t .

Er geldt $h(1) = 0$ en $h'(t) = \frac1{t^2} - \frac1t = \frac{1 - t}{t^2} < 0$ voor $t > 1$ : dus $h < 0$ op $\intoo1{+\infty}$ , waardoor $g' < 0$ en $x = \eu^g$ daar strikt dalend is (van $\eu$ naar $1$ , wegens vraag 10).

12. Volgens vraag 11 is $t \mapsto x(t)$ een strikt dalende bijectie van $\intoo1{+\infty}$ op $\intoo1\eu$ ; noteer $t(x)$ voor haar inverse (eveneens strikt dalend) en zet $\varphi(x) = y(t(x))$ . Merk op dat $h < 0$ ook op $\intoo01$ (daar is $h' > 0$ en $h(1) = 0$ ), zodat $x(\cdot)$ ook op $\intoo01$ dalend is; bijgevolg is $y(t) = x(1/t)$ (vraag 9) stijgend in $t$ op $\intoo1{+\infty}$ , van $\eu$ naar $+\infty$ . Samenstellen geeft: $\varphi = y \circ t(\cdot)$ is strikt dalend van $\intoo1\eu$ op $\intoo\eu{+\infty}$ , en $x^{\varphi(x)} = \varphi(x)^x$ volgens vraag 8. Ten slotte is voor een gemeenschappelijke waarde $c = f(x) \in \intoo0{\frac1\eu}$ het paar $\{x, \varphi(x)\}$ dé oplossingsverzameling met twee elementen van $f = c$ (vraag 4); breid je $\varphi$ uit tot $\intoo\eu{+\infty}$ als de inverse afbeelding, dan keert $\varphi(\varphi(x))$ terug naar het andere (dus oorspronkelijke) element: $\varphi \circ \varphi = \mathrm{id}$ .

13. Is $(x, y)$ een niet-triviale geheeltallige oplossing met $x < y$ , dan legt vraag 7 $x$ in $\intoo1\eu$ : het enige gehele getal daar is $x = 2$ . Dan is $f(y) = f(2) = \frac{\ln2}2$ met $y > \eu$ ; volgens vraag 4 heeft de vergelijking $f = \frac{\ln2}2$ precies één oplossing voorbij $\eu$ , en vraag 3 wijst haar aan: $y = 4$ . Dus zijn $(2, 4)$ en zijn verwisseling de enige.

14. $t = 1 + \frac1n = \frac{n+1}n$ geeft $\frac1{t - 1} = n$ en $\frac t{t-1} = n + 1$ , dus

x_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n}, \qquad y_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n+1},

klaarblijkelijk rationaal en verschillend ( $y_n = t\,x_n \neq x_n$ ), en $n = 1$ geeft $x_1 = 2$ en $y_1 = 4$ .

15. $t = y/x$ is rationaal en $> 1$ ; schrijf $t - 1 = \frac rs$ onvereenvoudigbaar, zodat $t = \frac{s + r}s$ met $\gcd(s + r, s) = \gcd(r, s) = 1$ . Vraag 8 geeft $x = t^{s/r}$ , dus

x^r = t^s = \frac{(s+r)^s}{s^s} ,

een onvereenvoudigbare breuk (geen enkel priemgetal deelt zowel $s + r$ als $s$ ). Schrijven we $x = \frac pq$ onvereenvoudigbaar, dan is $x^r = \frac{p^r}{q^r}$ eveneens onvereenvoudigbaar, en wegens de uniciteit van die schrijfwijze is $p^r = (s+r)^s$ en $q^r = s^s$ . Vergelijk de exponent van een willekeurig priemgetal $\ell$ in $q^r = s^s$ : $r \cdot v_\ell(q) = s \cdot v_\ell(s)$ , dus $r$ deelt $s\,v_\ell(s)$ ; omdat $\gcd(r, s) = 1$ , deelt $r$ het getal $v_\ell(s)$ voor elk priemgetal $\ell$ (uniciteit van de priemontbinding, aangenomen; bewezen in Hoofdstuk 6), zodat $s = b^r$ voor een geheel getal $b$ . Hetzelfde argument op $p^r = (s+r)^s$ geeft $s + r = a^r$ .

16. Stel $a^r - b^r = r$ met gehele getallen $a > b \geq 1$ en $r \geq 2$ . Dan is $a \geq b + 1$ , zodat het binomium geeft

a^r - b^r \geq (b+1)^r - b^r = \sum_{k=0}^{r-1}\binom rk b^k \geq \binom r0 + \binom r{r-1} b^{r-1} \geq 1 + r > r ,

een tegenspraak. Volgens vraag 15 dwingt $a^r - b^r = (s + r) - s = r$ dus af dat $r = 1$ : $t = 1 + \frac1s$ , en de oplossing is het paar $(x_s, y_s)$ van vraag 14. Samen met de verwisselde paren is de classificatie volledig.

17. $f\bigl(\tfrac94\bigr) = \frac{\ln 2.25}{2.25} = \frac{0.81093}{2.25} = 0.3604$ en $f\bigl(\tfrac{27}8\bigr) = \frac{\ln 3.375}{3.375} = \frac{1.21640}{3.375} = 0.3604$ (vier decimalen): gelijk, zoals de constructie belooft — dus $\bigl(\tfrac94\bigr)^{27/8} = \bigl(\tfrac{27}8\bigr)^{9/4}$ .

18. De parameters $t_n = 1 + \frac1n$ dalen strikt naar $1$ . Omdat $x(\cdot)$ strikt dalend is op $\intoo1{+\infty}$ (vraag 11), is $x_n = x(t_n)$ strikt stijgend; omdat $y(\cdot)$ daar strikt stijgend is (vraag 12), is $y_n = y(t_n)$ strikt dalend. Volgens vraag 7 is $x_n \in \intoo1\eu$ en $y_n \in \intoo\eu{+\infty}$ : dus $x_n < \eu < y_n$ voor elke $n$ . Ten slotte geven $t_n \to 1$ en vraag 10 dat $x_n \to \eu$ en $y_n \to \eu$ . De klassieke monotone convergentie van $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ valt zo uit de meetkunde van de tak, en er kwam geen enkele nieuwe ongelijkheid aan te pas.

19. Is $\eu \leq a < b$ , dan geeft $f$ strikt dalend op $\intco\eu{+\infty}$ dat $f(a) > f(b)$ , oftewel $b\ln a > a\ln b$ , oftewel $a^b > b^a$ . Is $1 < a < b \leq \eu$ , dan geeft $f$ strikt stijgend dat $f(a) < f(b)$ , dus $a^b < b^a$ . Gemengd geval: $2 < \eu < 3$ met $2^3 = 8 < 9 = 3^2$ , maar $2 < \eu < 5$ met $2^5 = 32 > 25 = 5^2$ : beide uitkomsten komen voor, beslist door aan welke kant van de tak het punt $(a, b)$ valt.

20. De tak snijdt de diagonaal in $\eu$ en $\varphi$ zet zich daar continu voort met $\varphi(\eu) = \eu$ . Differentiëren van $\varphi(\varphi(x)) = x$ in $x = \eu$ met de kettingregel geeft $\varphi'(\varphi(\eu))\,\varphi'(\eu) = \varphi'(\eu)^2 = 1$ , dus $\varphi'(\eu) = \pm1$ ; omdat $\varphi$ dalend is, is $\varphi'(\eu) = -1$ . De tak snijdt de diagonaal met richtingscoëfficiënt $-1$ : loodrecht.

21. $y = 3x$ is het geval $t = 3$ : $x = 3^{1/2} = \sqrt3$ en $y = 3^{3/2} = 3\sqrt3$ . Controle: $f(\sqrt3) = \frac{0.54931}{1.73205} = 0.3171$ en $f(3\sqrt3) = \frac{\ln 5.19615}{5.19615} = \frac{1.64792}{5.19615} = 0.3171$ : gelijk tot op vier decimalen, dus $(\sqrt3)^{3\sqrt3} = (3\sqrt3)^{\sqrt3}$ .

22. Er is $n^{1/n} = \eu^{f(n)}$ , en $\exp$ is stijgend, zodat de rangschikking die van $f(n)$ is: $f(3) = \frac{\ln3}3 \approx 0.3662$ overtreft $f(2) = f(4) = \frac{\ln2}2 \approx 0.3466$ (vraag 3) en $f(5) \approx 0.3219$ . De grootste is $\sqrt[3]3$ , en het gelijke paar is $\sqrt2 = \sqrt[4]4$ — het geheeltallige paar $(2, 4)$ in weer een andere vermomming.

23. De oplossingsverzameling is de vereniging van de diagonaal $\{(x, x) : x > 0\}$ en één enkele tak, symmetrisch om de diagonaal, strikt dalend van de asymptoot $x = 1$ (waar $y \to +\infty$ ) naar de asymptoot $y = 1$ (waar $x \to +\infty$ ), die de diagonaal precies één keer snijdt, in $(\eu, \eu)$ , daar met richtingscoëfficiënt $-1$ . Op de tak liggen de geheeltallige punten $(2, 4)$ en $(4, 2)$ — de enige — en de rationale punten $(x_n, y_n)$ , die monotoon langs de tak naar $(\eu, \eu)$ marcheren zonder het ooit te bereiken ( $\eu$ is irrationaal; de rationale punten van de tak hopen zich op bij een irrationale hoek).

24. (i) De groeivergelijkingen leverden de limieten van $f$ in $+\infty$ (vraag 2) en $t\ln t \to 0$ (vraag 10), en bepaalden zo zowel de verlooptabel als de asymptoten. (ii) De tussenwaardestelling zette, via de uitspraken over bijecties, de verlooptabel om in exacte aantallen oplossingen (vraag 4) en in het bestaan van de inverse afbeelding $t(x)$ (vraag 12). (iii) De uniciteit van de priemontbinding dreef de twee identificaties van onvereenvoudigbare breuken in vraag 15 aan, het rekenkundige hart van de classificatie van de rationale punten.

25. Eén berekening van een afgeleide — het teken van $1 - \ln t$ — bracht alles voort: het aantal oplossingen voor elk niveau $c$ , de vorm en de asymptoten van de tak, de extremale ongelijkheid $\eu^x \geq x^\eu$ , de classificatie van de geheeltallige en rationale oplossingen, en de monotone convergentie van $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ . Dat is de zuinigheid van het denken met verlooptabellen: een eendimensionale studie beslecht een vergelijking in twee onbekenden omdat de vergelijking door één enkele functie heen factoriseert. Hoofdstuk 11 zal de convergentie van $(x_n)$ overdoen met de algemene theorie van monotone rijen; Hoofdstuk 14 fundeert verlooptabellen streng op de middelwaardestelling; en Hoofdstuk 16 levert wat de tabel niet kan — de snelheid van de convergentie $x_n \to \eu$ (ze is van de orde $1/n$ ).

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst

4.1 Exponentiële functie, logaritme, machten

4.2 Inverse goniometrische functies

4.3 Hyperbolische functies

4.4 Oefeningen

4.5 Opgave: de vergelijking xy=yxx^y = y^xxy=yx

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

4.5 Opgave: de vergelijking $x^y = y^x$