Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Bachelor Year 1

3Complexe getallen

Complexe getallen kwamen in het deel Middelbaar onderwijs aan bod als een rekenkundig hulpmiddel voor kwadratische vergelijkingen. Dit hoofdstuk behandelt ze als een centraal object: de exponentiële vorm en haar gevolgen (de Moivre, $n$ -de wortels, eenheidswortels), de systematische vertaling tussen $\C$ en de vlakke meetkunde, en het gebruik van $\eu^{\iu\theta}$ als een machine om trigonometrische identiteiten te bewijzen.

3.1 Het lichaam $\C$ , modulus en toegevoegde

Definitie 3.1 (Het complexe lichaam)

$\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\}$ met de gebruikelijke optelling en de vermenigvuldiging bepaald door $\iu^2 = -1$ . Elke $z = a + \iu b \neq 0$ heeft een inverse: $z^{-1} = \frac{a - \iu b}{a^2 + b^2}$ — in de taal van Hoofdstuk 7 is $\C$ een lichaam. Men schrijft $a = \Re(z)$ , $b = \Im(z)$ , $\conj{z} = a - \iu b$ (de toegevoegde) en $\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (de modulus).

Propositie 3.2 (Regels voor toegevoegde en modulus)

Voor $z, w \in \C$ :

$\conj{z + w} = \conj z + \conj w$ , $\conj{zw} = \conj z\, \conj w$ , $\conj{\conj z} = z$ ;
$z \conj z = \abs z^2$ ; $\;\Re(z) = \frac{z + \conj z}{2}$ , $\Im(z) = \frac{z - \conj z}{2\iu}$ ;
$\abs{zw} = \abs z\, \abs w$ , en $\abs{z^{-1}} = \abs{z}^{-1}$ voor $z \neq 0$ ;
(driehoeksongelijkheid) $\abs{z + w} \leq \abs z + \abs w$ , met gelijkheid dan en slechts dan als $z$ en $w$ op een gemeenschappelijke halfrechte vanuit $0$ liggen ( $w = \lambda z$ of $z = \lambda w$ met $\lambda \geq 0$ );
(omgekeerde driehoeksongelijkheid) $\bigl|\abs z - \abs w\bigr| \leq \abs{z - w}$ .

Bewijs. (1) en (2) zijn directe berekeningen op reële en imaginaire delen. (3): $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ , neem dan vierkantswortels; pas dit toe op $z \cdot z^{-1} = 1$ voor de inverse.

(4) Beide leden zijn niet-negatief, dus vergelijk kwadraten:

\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\,\Re(z \conj w),

en $\Re(z\conj w) \leq \abs{z \conj w} = \abs z \abs w$ geeft $\abs{z+w}^2 \leq (\abs z + \abs w)^2$ . Gelijkheid dwingt $\Re(z \conj w) = \abs{z \conj w}$ af, d.w.z. $z \conj w \in \R_+$ ; als $w \neq 0$ geeft dit $z = \frac{z\conj w}{\abs w^2}\, w = \lambda w$ met $\lambda \geq 0$ (en het geval $w = 0$ is triviaal).

(5) $\abs z = \abs{(z - w) + w} \leq \abs{z-w} + \abs w$ geeft $\abs z - \abs w \leq \abs{z - w}$ ; verwissel $z$ en $w$ voor het andere teken. ∎

Voorbeeld 3.3 (Een volledige oefening met modulus en argument)

Schrijf $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ in algebraïsche vorm en bereken haar modulus tweemaal. Vermenigvuldigen met de toegevoegde van de noemer:

w = \frac{(3 + 4\iu)(1 + 2\iu)}{(1 - 2\iu)(1 + 2\iu)} = \frac{3 + 6\iu + 4\iu - 8}{1 + 4} = \frac{-5 + 10\iu}{5} = -1 + 2\iu .

Rechtstreeks: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$ . Via de quotiëntregel (Propositie 3.2 (3)): $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — hetzelfde antwoord, geen algebraïsche vorm nodig. De les veralgemeent: moduli en argumenten reizen goed door producten en quotiënten, reële en imaginaire delen reizen goed door sommen. Kies de voorstelling die past bij de bewerkingen die voorhanden zijn, en zet alleen om wanneer je gedwongen wordt.

Voorbeeld 3.4 (Vergelijkingen met de toegevoegde)

Los op in $\C$ : $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$ . Een vergelijking die $z$ en $\conj z$ mengt, is geen veelterm in $z$ ; de betrouwbare zet is haar op te splitsen in reële coördinaten. Met $z = x + \iu y$ :

z + 2\conj z = 3x - \iu y ,

dus de vergelijking luidt $3x = 6$ en $-y = 2$ : de enige oplossing is $z = 2 - 2\iu$ . (Controle: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$ .) Als alternatief kun je de hele vergelijking toevoegen om $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ te krijgen en het lineaire stelsel in de onbekenden $z, \conj z$ op te lossen — hetzelfde antwoord, en een nuttige truc wanneer de coëfficiënten complex zijn. Vergelijkingen in $z$ en $\conj z$ zijn in werkelijkheid stelsels van twee reële vergelijkingen; verwachten dat “graad $1$ , één oplossing” is hier veilig, maar $z\conj z = -1$ (geen oplossing) toont dat de veelterm-intuïtie faalt zodra er producten opduiken.

3.2 Exponentiële vorm

Definitie 3.5 (Complexe exponentiële van een imaginair argument)

Voor $\theta \in \R$ definieert men

\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu \sin\theta .

Elke $z \neq 0$ kan geschreven worden als $z = r\,\eu^{\iu\theta}$ met $r = \abs z > 0$ ; $\theta$ is een argument van $z$ , bepaald op een veelvoud van $2\pi$ na. De waarde in $\intoc{-\pi}{\pi}$ is het hoofdargument, geschreven $\arg z$ .

Voorbeeld 3.6 (Eerste waarden, en één beroemde identiteit)

De definitie aflezen bij de kardinale hoeken:

\eu^{\iu\pi/2} = \iu, \qquad \eu^{\iu\pi} = -1, \qquad \eu^{2\iu\pi} = 1, \qquad \eu^{\iu\pi/4} = \frac{\sqrt2}2\,(1 + \iu) .

De tweede, herschikt als $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$ , is Eulers gevierde identiteit die $\eu$ , $\iu$ , $\pi$ , $1$ en $0$ verbindt; in dit stadium van het boek is het eerder een definitie die zich ontrolt dan een stelling, en de echte inhoud ervan — waarom de analytische exponentiële functie van Hoofdstuk 4, uitgebreid tot imaginaire argumenten, dezelfde naam verdient — wordt vastgelegd door de machtreeksen van Hoofdstuk 17. Intussen is de bovenstaande weergave het waard om uit het hoofd te leren als een omzettingstabel: ze wordt stil gebruikt telkens wanneer een argument van een tekening wordt afgelezen.

Stelling 3.7 (De functionaalvergelijking)

Voor alle $\theta, \varphi \in \R$ :

\eu^{\iu\theta}\, \eu^{\iu\varphi} = \eu^{\iu(\theta + \varphi)}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta} = (\eu^{\iu\theta})^{-1}.

Bijgevolg draagt $\abs{zw} = \abs z \abs w$ ook de argumenten: $\arg(zw) \equiv \arg z + \arg w \pmod{2\pi}$ .

Bewijs. Ontwikkel het product en gebruik de somformules:

(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\varphi + \iu\sin\varphi) = (\cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi) + \iu\,(\sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi),

wat $\cos(\theta+\varphi) + \iu\sin(\theta+\varphi)$ is. De modulus is $\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1$ , en de formule voor de toegevoegde is de pariteit van cosinus en sinus; ze inverteert $\eu^{\iu\theta}$ aangezien $\eu^{\iu\theta}\eu^{-\iu\theta} = \eu^0 = 1$ . ∎

Gevolg 3.8 (Formule van de Moivre)

Voor $\theta \in \R$ en $n \in \Z$ : $\;(\cos\theta + \iu\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + \iu\sin(n\theta)$ .

Bewijs. Voor $n \geq 0$ , inductie. Het geval $n = 0$ luidt $1 = 1$ . Als de formule geldt voor $n$ , dan geeft de functionaalvergelijking (Stelling 3.7)

\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n+1} = \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu n\theta}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu(n+1)\theta} ,

wat de formule op rang $n + 1$ is. Voor $n < 0$ , schrijf $n = -m$ met $m > 0$ : aangezien $\eu^{\iu m\theta}$ de inverse $\eu^{-\iu m\theta}$ heeft (Stelling 3.7 opnieuw),

\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{-m} = \bigl(\eu^{\iu m\theta}\bigr)^{-1} = \eu^{\iu(-m)\theta} . \qedhere

∎

Voorbeeld 3.9 ( $\cos 3\theta$ ontwikkelen met de Moivre)

Schrijf $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ . De Moivre en het binomium van Newton geven

\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta = (c + \iu s)^3 = c^3 - 3cs^2 + \iu\,(3c^2 s - s^3),

en door de reële delen te identificeren en vervolgens $s^2 = 1 - c^2$ te substitueren:

\cos 3\theta = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta .

Het imaginaire deel levert gratis $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ op: één complexe identiteit draagt altijd twee reële met zich mee. Achterstevoren gelezen is de omkaderde identiteit de sleutel tot de klassieke driedelingsvergelijking: $\cos(\theta/3)$ construeren uit $\cos\theta$ betekent de derdegraadsvergelijking $4x^3 - 3x = \cos\theta$ oplossen, en daar neemt de algebra van Hoofdstuk 8 het over.

Propositie 3.10 (Formules van Euler)

\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}.

Bewijs. Tel op, respectievelijk trek af, $\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta$ en $\eu^{-\iu\theta} = \cos\theta - \iu\sin\theta$ . ∎

Methode 3.11 (Trigonometrie via exponentiëlen)

Lineariseer $\cos^p\theta \sin^q\theta$ (zet machten om in een som van $\cos k\theta$ , $\sin k\theta$ ): substitueer de formules van Euler, ontwikkel met het binomium van Newton (Stelling 2.16), hergroepeer toegevoegde termen.
Ontwikkel $\cos n\theta$ als een veelterm in $\cos\theta$ : schrijf $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr)$ , ontwikkel, en zet even machten van $\sin$ om via $\sin^2 = 1 - \cos^2$ .
Sommeer trigonometrische reeksen zoals $\sum_k \cos k\theta$ : herken het reële deel van een meetkundige som $\sum_k (\eu^{\iu\theta})^k$ .
De halvehoekontbinding: voor alle $p, q$ ,

$\eu^{\iu p} + \eu^{\iu q} = 2 \cos\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}}, \qquad \eu^{\iu p} - \eu^{\iu q} = 2\iu \sin\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}} .$

Voorbeeld 3.12 (Linearisatie)

\cos^3\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\Bigr)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}.

Deze vorm integreert onmiddellijk — precies de reden waarom linearisatie ertoe doet in Hoofdstuk 15. Een gemengd product werkt op dezelfde manier, alleen met beide formules van Euler tegelijk:

\sin^2\theta\cos^2\theta = \Bigl(\frac{\sin2\theta}2\Bigr)^{\!2} = \frac{1}{4}\cdot \Bigl(\frac{\eu^{2\iu\theta} - \eu^{-2\iu\theta}}{2\iu} \Bigr)^{\!2} = \frac{2 - \eu^{4\iu\theta} - \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{1 - \cos4\theta}{8} ,

waarbij de dubbelehoek-verkorting in de eerste stap één binomiale ontwikkeling bespaarde — daar loont het altijd om naar uit te kijken vooraleer je gaat mechaniseren.

Voorbeeld 3.13 (Een binomiale trigonometrische som)

Voor $n \in \N$ en $\theta \in \R$ , bereken $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$ . Herken het reële deel van een binomiale ontwikkeling:

S = \Re\sum_{k=0}^n \binom nk \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^k = \Re\bigl(1 + \eu^{\iu\theta}\bigr)^n ,

ontbind dan de halve hoek (Methode 3.11 (4)): $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$ , dus

S = \Re\Bigl(2^n\cos^n\frac\theta2\;\eu^{\iu n\theta/2}\Bigr) = 2^n \cos^n\frac\theta2\,\cos\frac{n\theta}2 .

Het imaginaire deel levert gratis $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$ op. Controles: $\theta = 0$ herwint $\sum\binom nk = 2^n$ , en $\theta = \pi$ geeft $S = 0$ voor $n \geq 1$ (elke factor $\cos\frac\pi2$ verdwijnt), d.w.z. de alternerende rijsom van Voorbeeld 2.17. De methode — “zie de cosinus- som als de schaduw van een complexe macht, ontbind dan halve hoeken” — is precies die van Oefening 3.6, met het binomium van Newton dat de meetkundige reeks vervangt.

3.3 Wortels van complexe getallen

Stelling 3.14 ( $n$ -de wortels)

Zij $a = r\,\eu^{\iu\alpha} \neq 0$ en $n \in \N^*$ . De vergelijking $z^n = a$ heeft precies $n$ oplossingen:

z_k = r^{1/n}\, \eu^{\iu\left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1 .

Bewijs. Schrijf $z = \rho\,\eu^{\iu\theta}$ ( $\rho > 0$ ). Dan geldt $z^n = \rho^n \eu^{\iu n\theta} = r \eu^{\iu\alpha}$ dan en slechts dan als $\rho^n = r$ (moduli) en $n\theta \equiv \alpha \pmod{2\pi}$ (argumenten), d.w.z. $\rho = r^{1/n}$ en $\theta = \frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}$ voor zekere $k \in \Z$ . Het blijft na te gaan wanneer twee gehele getallen $k, k'$ hetzelfde getal opleveren: dit gebeurt precies wanneer de hoeken verschillen door een veelvoud van $2\pi$ ,

\frac{2k\pi}n - \frac{2k'\pi}n \in 2\pi\Z \iff \frac{k - k'}n \in \Z \iff n \mid k - k' .

Door euclidische deling is elke $k \in \Z$ congruent mod $n$ met precies één element van $\{0, 1, \dots, n-1\}$ , dus dit bereik somt elke oplossing eenmaal op en het aantal is precies $n$ . (Hetzelfde argument, uitgevoerd binnen $\mathbb U_n$ , toont aan dat de wortels een regelmatige $n$ -hoek vormen: opeenvolgende waarden van $k$ roteren over de vaste hoek $\frac{2\pi}n$ .) ∎

Voorbeeld 3.15 (Derdemachtswortels van $-27$ )

Los $z^3 = -27$ op. Exponentiële vorm van het rechterlid: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$ , dus de drie wortels zijn

z_k = 3\,\eu^{\iu(\frac\pi3 + \frac{2k\pi}3)}, \quad k = 0, 1, 2 : \qquad z_0 = 3\eu^{\iu\pi/3} = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2\,\iu, \quad z_1 = -3, \quad z_2 = \conj{z_0} .

Twee controles. Ten eerste is de reële wortel $-3$ de voor de hand liggende, en de andere twee zijn zijn rotaties over $\pm\frac{2\pi}3$ — equivalent $-3j$ en $-3j^2$ . Ten tweede bevestigt de algebra: $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$ , en de kwadratische heeft discriminant $9 - 36 = -27 < 0$ met wortels $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$ . Het inzicht: voor reële rechterleden komen de niet-reële wortels altijd in toegevoegde paren, zodat een tekening van de oplossingsverzameling symmetrisch is om de reële as — een voorproefje van de reële factorisatiestelling van Hoofdstuk 8.

Voorbeeld 3.16 (Een niet-reëel rechterlid)

Los $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$ op. Exponentiële vorm van het rechterlid: modulus $\sqrt{64 + 192} = 16$ , argument $\theta$ met $\cos\theta = -\frac12$ , $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$ , d.w.z. $\theta = \frac{2\pi}3$ . De vier wortels zijn

z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,

z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .

(Controle: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$ , dus $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$ .) Zodra één wortel gevonden is, komen de andere drie gratis: het zijn zijn opeenvolgende rotaties over $\frac\pi2$ , d.w.z. zijn producten met de vierde eenheidswortels — de algemene structuur achter Stelling 3.14, het waard om te benutten vooraleer je elke wortel opnieuw van nul af aan berekent. Geen toegevoegde symmetrie deze keer: het rechterlid is niet reëel.

Definitie 3.17 (Eenheidswortels)

De $n$ -de eenheidswortels zijn de oplossingen van $z^n = 1$ :

\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.

Ze vormen een groep onder de vermenigvuldiging (Hoofdstuk 7) en liggen op de hoekpunten van een regelmatige $n$ -hoek ingeschreven in de eenheidscirkel.

De vijfde eenheidswortels, = 2 π/5: een regelmatige vijfhoek op de eenheidscirkel. — De vijfde eenheidswortels, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : een regelmatige vijfhoek op de eenheidscirkel.

Propositie 3.18 (Som van de eenheidswortels)

Voor $n \geq 2$ sommeren de $n$ -de eenheidswortels tot nul: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 0$ .

Bewijs. Meetkundige som met reden $\omega \neq 1$ : $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0$ aangezien $\omega^n = 1$ . ∎

Voorbeeld 3.19 (Reële en imaginaire delen aflezen)

Het opsplitsen van $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = 0$ in reële en imaginaire delen levert gratis twee trigonometrische identiteiten op:

\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}n = 0, \qquad \sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k\pi}n = 0 \qquad (n \geq 2).

Meetkundig: het zwaartepunt van een regelmatige $n$ -hoek ingeschreven in de eenheidscirkel is haar middelpunt — de hoekpunten heffen elkaar precies op. Voor $n = 5$ geeft de eerste identiteit $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 + 2\cos\frac{4\pi}5 = 0$ (door $k$ met $n - k$ te paren), het uitgangs- punt van de berekening van $\cos\frac{2\pi}5$ in Oefening 3.8.

Voorbeeld 3.20 (Vierkantswortels in algebraïsche vorm)

Om $z^2 = 3 + 4\iu$ zonder trigonometrie op te lossen, stel $z = x + \iu y$ :

x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .

Optellen van de eerste en de laatste: $x^2 = 4$ , dus $x = \pm 2$ , dan $y = 2/x = \pm 1$ met dezelfde tekenparing ( $xy = 2 > 0$ ): $z = \pm(2 + \iu)$ . Gecombineerd met de gebruikelijke formule lost dit elke kwadratische vergelijking met complexe coëfficiënten op (Oefening 3.7).

3.4 Complexe getallen en vlakke meetkunde

Propositie 3.21 (Meetkundig woordenboek)

Identificeer het punt $M(x, y)$ van het vlak met zijn affix $z = x + \iu y$ . Voor verschillende punten $A, B, C$ met affixen $a, b, c$ :

$\abs{b - a}$ is de afstand $AB$ ;
$\arg\dfrac{c - a}{b - a}$ is de hoek tussen de vectoren $\vect{AB}$ en $\vect{AC}$ (mod $2\pi$ );
$A, B, C$ liggen op één rechte dan en slechts dan als $\dfrac{c - a}{b - a} \in \R$ ; de rechten $AB$ en $AC$ staan loodrecht dan en slechts dan als $\dfrac{c - a}{b - a} \in \iu\R$ .

Bewijs. (1) is de definitie van de modulus toegepast op $b - a$ , de affix van $\vect{AB}$ . (2): schrijf $b - a = r\eu^{\iu\theta}$ , $c - a = s\eu^{\iu\varphi}$ ; dan heeft $\frac{c-a}{b-a} = \frac sr \eu^{\iu(\varphi - \theta)}$ argument $\varphi - \theta$ , de hoek van $\vect{AB}$ naar $\vect{AC}$ . (3): op één rechte liggen betekent hoek $0$ of $\pi$ , d.w.z. argument in $\pi\Z$ , d.w.z. het quotiënt is reëel; loodrechtheid betekent hoek $\pm\frac\pi2$ , d.w.z. het quotiënt is zuiver imaginair. (Het quotiënt is verschillend van nul aangezien $C \neq A$ .) ∎

Opmerking 3.22 (Intermezzo: $\C$ is het vlak met een vermenigvuldiging)

Het is de moeite waard even stil te staan bij wat dit hoofdstuk überhaupt mogelijk maakt: het vlak $\R^2$ draagt optellingen in elke richting, maar geen door de hemel gegeven vermenigvuldiging — en $\C$ is het vlak uitgerust met één, waarin vermenigvuldigen met een vast getal roteert en schaalt. Deze ene structuur zal in dit deel nog drie keer uitgemolken worden. In Hoofdstuk 21 duikt vermenigvuldiging met $a + \iu b$ opnieuw op als de $2 \times 2$ -matrix met rijen $(a, -b)$ en $(b, a)$ : de complexe rekenkunde is een eerste, volledig concrete familie van matrixproducten. In Hoofdstuk 23 blijkt de formule $\Re(\conj z\,w)$ het inwendig product te zijn, en $\abs z$ de euclidische norm: de driehoeksongelijkheid die hier bewezen is is het model voor het verhaal van Cauchy–Schwarz daar. En in Hoofdstuk 24 wordt een bewegend punt het best geschreven als $t \mapsto z(t)$ , zodat snelheid en versnelling complexwaardige afgeleiden worden — de cirkelbeweging bijvoorbeeld is eenvoudigweg $z(t) = R\,\eu^{\iu\omega t}$ . Eén goede vermenigvuldiging, vier hoofdstukken dividend.

Propositie 3.23 (Afbeeldingen $z \mapsto az + b$ )

Zij $a \in \C^*$ , $b \in \C$ . De transformatie $f(z) = az + b$ van het vlak:

is een translatie als $a = 1$ ;
heeft anders een uniek vast punt $\zeta = \frac{b}{1-a}$ , en $f(z) - \zeta = a\,(z - \zeta)$ : $f$ is de rotatie met middelpunt $\zeta$ en hoek $\arg a$ , samengesteld met de schaling met middelpunt $\zeta$ en verhouding $\abs a$ .

In het bijzonder is $z \mapsto \eu^{\iu\theta} z$ de rotatie over hoek $\theta$ om de oorsprong, en $\conj z$ de spiegeling in de reële as.

Bewijs. Als $a = 1$ translateert $f(z) = z + b$ over de vector met affix $b$ . Als $a \neq 1$ heeft de vastpuntvergelijking $z = az + b$ de unieke oplossing $\zeta = \frac{b}{1-a}$ , en dan $f(z) - \zeta = az + b - (a\zeta + b) = a(z - \zeta)$ . Schrijf $a = \abs a\, \eu^{\iu\arg a}$ ; vermenigvuldiging met $a$ schaalt afstanden tot $\zeta$ met $\abs a$ en telt $\arg a$ op bij hoeken in $\zeta$ , wat de aangekondigde samenstelling is. ∎

Voorbeeld 3.24 (Een afbeelding $z \mapsto az+b$ classificeren)

Neem $f(z) = \iu z + 1$ . Hier is $a = \iu \neq 1$ : het vaste punt is

\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{1 - \iu} = \frac{1 + \iu}{2},

en aangezien $\abs a = 1$ is er helemaal geen schaling: $f$ is de zuivere rotatie met middelpunt $\frac{1+\iu}2$ en hoek $\arg \iu = \frac\pi2$ . Controle: $f(\zeta) = \iu\,\frac{1+\iu}2 + 1 = \frac{\iu - 1}2 + 1 = \frac{1 + \iu}2 = \zeta$ , en $f(0) = 1$ , $f(1) = 1 + \iu$ , $f(1 + \iu) = \iu\,(1 + \iu) + 1 = \iu$ : de vier punten $0, 1, 1+\iu, \iu$ van het eenheidsvierkant draaien rond hun middelpunt $\zeta$ , telkens een kwart- slag — precies wat een rotatie over $\frac\pi2$ om het middelpunt van het vierkant moet doen.

$De afbeelding f(z) = z + 1 van : een kwartslag-rotatie om het vaste punt = 1+ 2. De hoekpunten van het eenheids- vierkant doorlopen de cyclus 0 1 1+ 0; geen enkel punt beweegt langs een rechte lijn, en toch wordt het hele vierkant star gedraaid.$

De afbeelding

f(z) = \iu z + 1

van Voorbeeld 3.24: een kwartslag-rotatie om het vaste punt

\zeta = \frac{1+\iu}2

. De hoekpunten van het eenheids- vierkant doorlopen de cyclus

0 \to 1 \to 1{+}\iu \to \iu \to 0

; geen enkel punt beweegt langs een rechte lijn, en toch wordt het hele vierkant star gedraaid.

Opmerking 3.25 (Veelvoorkomende valkuilen met moduli en argumenten)

Geen ongelijkheden in $\C$ . $z \leq w$ schrijven voor niet-reële getallen is betekenisloos; alleen moduli, reële delen en imaginaire delen kunnen vergeleken worden.
$\sqrt{\phantom z}$ is voorbehouden voor $\R_+$ . Elk complex getal verschillend van nul heeft twee vierkantswortels en geen van beide is bevoorrecht: schrijf “zij $\delta$ een vierkants- wortel van $\Delta$ ” (berekend zoals in Voorbeeld 3.20), nooit $\sqrt\Delta$ — de regel $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ faalt al bij $a = b = -1$ .
Argumenten leven modulo $2\pi$ . Uit $\eu^{\iu\alpha} = \eu^{\iu\beta}$ besluit je $\alpha \equiv \beta \pmod{2\pi}$ , niet $\alpha = \beta$ ; de $2k\pi$ vergeten is hoe oplossingsverzamelingen van $z^n = a$ $n - 1$ van hun $n$ elementen verliezen.
$\abs{z + w}$ is niet $\abs z + \abs w$ . Gelijkheid in de driehoeksongelijkheid is het uitzonderlijke uitgelijnde geval (Propositie 3.2 (4)); in het algemeen moet de modulus van een som geschat worden, niet berekend.

Voorbeeld 3.26

$A, B, C$ (affixen $a, b, c$ , paarsgewijs verschillend) vormen een gelijkzijdige driehoek met de hoekpunten in directe (tegenwijzerzin) volgorde dan en slechts dan als $\frac{c - a}{b - a} = \eu^{\iu\pi/3}$ : de rotatie met middelpunt $A$ en hoek $\frac\pi3$ stuurt $B$ naar $C$ . Beide oriëntaties samen worden gevat door de symmetrische vergelijking $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ (Oefening 3.10).

Opmerking 3.27 (Waar dit hoofdstuk gebruikt wordt)

De exponentiële vorm is verreweg het meest hergebruikte rekenkundige hulpmiddel van het deel. Eenheidswortels worden het standaardvoorbeeld van een cyclische groep in Hoofdstuk 7 en drijven de factorisatie van $X^n - 1$ in Hoofdstuk 8; het groeperen van toegevoegde wortels daar produceert de reële factorisaties die door de partiële breuken in Hoofdstuk 9 gebruikt worden. Linearisatie (Methode 3.11) is de standaardvoorbereiding voor het integreren van trigonometrische machten in Hoofdstuk 15, en de karakteristieke vergelijkingen van Hoofdstuk 5 hebben complexe wortels waarvan de reële en imaginaire delen de oscillerende oplossingen $\eu^{\lambda t}\cos\omega t$ produceren. Het meetkundige woordenboek keert terug in matrixgewaad: rotaties en gelijkvormigheden worden de orthogonale matrices van Hoofdstukken 21 en 23, en geparametriseerde krommen in Hoofdstuk 24 worden vaak het best geschreven als afbeeldingen $t \mapsto z(t) \in \C$ .

3.5 Oefeningen

Oefening 3.1 ★

Zet in exponentiële vorm: $1 + \iu$ ; $\;\sqrt 3 - \iu$ ; $\;-5$ ; $\;\dfrac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu}$ . Leid $\cos\frac{5\pi}{12}$ en $\sin\frac{5\pi}{12}$ af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.1.

$1 + \iu = \sqrt 2\, \eu^{\iu\pi/4}$ ; $\;\sqrt 3 - \iu = 2\, \eu^{-\iu\pi/6}$ ; $\;-5 = 5\, \eu^{\iu\pi}$ ;

\frac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{\iu(\pi/4 + \pi/6)} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{5\iu\pi/12}.

Hetzelfde quotiënt algebraïsch berekenen (vermenigvuldig met de toegevoegde):

\frac{(1 + \iu)(\sqrt 3 + \iu)}{4} = \frac{(\sqrt 3 - 1) + \iu(\sqrt 3 + 1)}{4}.

Identificeren met $\frac{\sqrt 2}{2}(\cos\frac{5\pi}{12} + \iu\sin\frac{5\pi}{12})$ :

\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}, \qquad \sin\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}.

Oefening 3.2 ★

Bereken $(1 + \iu)^{20}$ . Voor welke $n \in \N$ is $(1 + \iu)^n$ een reëel getal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.2.

$(1+\iu)^2 = 2\iu$ , dus $(1+\iu)^{20} = (2\iu)^{10} = 2^{10}\,\iu^{10} = 1024 \times (-1) = -1024$ .

In exponentiële vorm $(1+\iu)^n = 2^{n/2}\, \eu^{\iu n\pi/4}$ , reëel dan en slechts dan als $\sin\frac{n\pi}{4} = 0$ , d.w.z. $4 \mid n$ . Dus $(1+\iu)^n \in \R$ precies voor de veelvouden van $4$ (waarde $(-4)^{n/4}$ ).

Oefening 3.3 ★

Beschrijf meetkundig de verzameling van $z \in \C$ zodat: $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ ; $\;\abs{z - 1} = 2$ ; $\;\dfrac{z - 1}{z + 1} \in \iu\R$ (voor $z \neq -1$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.3.

$\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ : gelijke afstand tot de punten $2$ en $-\iu$ — de middelloodlijn van het lijnstuk dat $(2, 0)$ en $(0, -1)$ verbindt.

$\abs{z - 1} = 2$ : de cirkel met middelpunt $1$ en straal $2$ .

$\frac{z-1}{z+1} \in \iu\R$ : volgens Propositie 3.21 (3) voldoen de punten $M(z)$ , $A(1)$ , $B(-1)$ aan: rechten $MA$ en $MB$ loodrecht (of $z = 1$ , waar het quotiënt $0 \in \iu\R$ is). De verzameling is de cirkel met middellijn $[-1, 1]$ (de eenheidscirkel), min het punt $-1$ waar het quotiënt ongedefinieerd is. Controle door berekening: $z = \eu^{\iu\theta}$ geeft $\frac{z-1}{z+1} = \frac{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2})}{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} + \eu^{-\iu\theta/2})} = \iu\tan\frac\theta2 \in \iu\R$ .

Oefening 3.4 ★

Lineariseer $\sin^4\theta$ , en ontwikkel $\cos 4\theta$ als een veelterm in $\cos\theta$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.4.

Linearisatie:

\sin^4\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}\Bigr)^{\!4} = \frac{\eu^{4\iu\theta} - 4\eu^{2\iu\theta} + 6 - 4\eu^{-2\iu\theta} + \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{\cos 4\theta - 4\cos 2\theta + 3}{8}.

Ontwikkeling: door de Moivre, $\cos 4\theta = \Re\bigl((c + \iu s)^4\bigr) = c^4 - 6c^2 s^2 + s^4$ met $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ ; door $s^2 = 1 - c^2$ te substitueren:

\cos 4\theta = c^4 - 6c^2(1 - c^2) + (1 - c^2)^2 = 8c^4 - 8c^2 + 1 .

Oefening 3.5 ★

Los $z^3 = 8\iu$ op en plaats de oplossingen op een tekening. Los $z^4 = -4$ op en factoriseer $X^4 + 4$ in twee reële kwadratische veeltermen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.5.

$8\iu = 8\,\eu^{\iu\pi/2}$ , dus de derdemachtswortels zijn $2\,\eu^{\iu(\pi/6 + 2k\pi/3)}$ , $k = 0, 1, 2$ :

z_0 = 2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt 3 + \iu,\quad z_1 = 2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt 3 + \iu,\quad z_2 = 2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu :

een gelijkzijdige driehoek op de cirkel met straal $2$ .

$-4 = 4\eu^{\iu\pi}$ , dus $z^4 = -4$ heeft oplossingen $\sqrt 2\, \eu^{\iu(\pi/4 + k\pi/2)}$ : $\;1 + \iu$ , $-1 + \iu$ , $-1 - \iu$ , $1 - \iu$ . Toegevoegde wortels paren:

X^4 + 4 = \bigl(X^2 - 2X + 2\bigr)\bigl(X^2 + 2X + 2\bigr),

aangezien $(X - (1+\iu))(X - (1-\iu)) = X^2 - 2X + 2$ en analoog voor het andere paar. (Ontwikkel ter controle.)

Oefening 3.6 ★★

Voor $\theta \in \R$ met $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ en $n \in \N$ , bereken

C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos k\theta \qquad\text{en}\qquad S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin k\theta

door de meetkundige reeks $\sum_k \eu^{\iu k\theta}$ te sommeren en de halvehoekontbinding te gebruiken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.6.

$C_n + \iu S_n = \sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}$ (meetkundige som, reden $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ ). Halvehoekontbinding (Methode 3.11 (4)) op teller en noemer:

\frac{2\iu\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\, \eu^{\iu(n+1)\theta/2}} {2\iu\sin\frac{\theta}{2}\, \eu^{\iu\theta/2}} = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \eu^{\iu n\theta/2}.

Reële en imaginaire delen nemen:

C_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}, \qquad S_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \sin\frac{n\theta}{2}.

Oefening 3.7 ★★

Los op in $\C$ : $z^2 - (3 + 4\iu) z + (-1 + 5\iu) = 0$ . (Bereken de discriminant, trek zijn vierkantswortels zoals in Voorbeeld 3.20.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.7.

Discriminant: $\Delta = (3 + 4\iu)^2 - 4(-1 + 5\iu) = 9 + 24\iu - 16 + 4 - 20\iu = -3 + 4\iu$ . Vierkantswortels van $-3 + 4\iu$ : los $x^2 - y^2 = -3$ , $2xy = 4$ , $x^2 + y^2 = 5$ op; dan $x^2 = 1$ , $y = 2/x$ , dezelfde tekens: $\delta = \pm(1 + 2\iu)$ . Bijgevolg

z = \frac{(3 + 4\iu) \pm (1 + 2\iu)}{2} \in \{\, 2 + 3\iu,\; 1 + \iu \,\}.

Controle: som $= 3 + 4\iu$ en product $(2+3\iu)(1+\iu) = -1 + 5\iu$ , zoals vereist door de coëfficiënten.

Oefening 3.8 ★★

Zij $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ .

Verantwoord $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ .
Stel $u = \omega + \omega^4$ en $v = \omega^2 + \omega^3$ . Bereken $u + v$ en $uv$ , en leid af dat $u$ en $v$ de wortels zijn van $X^2 + X - 1$ .
Besluit dat $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.8.

Propositie 3.18 met $n = 5$ .
$u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ door (1). Voor het product, ontwikkel en reduceer de exponenten modulo $5$ :

$uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .$

Dus $u$ en $v$ hebben som $-1$ en product $-1$ : het zijn de twee wortels van $X^2 + X - 1$ .
$u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (de hoek is scherp), en de positieve wortel van $X^2 + X - 1$ is $\frac{-1 + \sqrt 5}{2}$ . Bijgevolg $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ .

Oefening 3.9 ★★

Bewijs dat voor alle $z, w \in \C$ (parallellogramidentiteit):

\abs{z + w}^2 + \abs{z - w}^2 = 2\abs z^2 + 2\abs w^2 ,

en interpreteer haar meetkundig in het parallellogram met hoekpunten $0, z, w, z + w$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.9.

Ontwikkel beide kwadraten zoals in het bewijs van Propositie 3.2 (4):

\abs{z + w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Re(z\conj w), \qquad \abs{z - w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 - 2\Re(z\conj w),

en tel op. Meetkundig zijn $\abs{z+w}$ en $\abs{z-w}$ de lengten van de twee diagonalen van het parallellogram met hoekpunten $0, z, z+w, w$ , terwijl $\abs z$ en $\abs w$ de zijdelengten zijn: de som van de kwadraten van de diagonalen is gelijk aan de som van de kwadraten van de vier zijden.

Oefening 3.10 ★★★

Bewijs dat drie paarsgewijs verschillende punten met affixen $a, b, c$ een gelijkzijdige driehoek (beide oriëntaties) vormen dan en slechts dan als

a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca .

Hint: het directe geval is $\frac{c-a}{b-a} = -j^2$ en het indirecte geval $\frac{c-a}{b-a} = -j$ , waarbij $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ voldoet aan $j^2 + j + 1 = 0$ ; of factoriseer $a + jb + j^2c$ en $a + j^2 b + jc$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.10.

Zij $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ , zodat $j^2 + j + 1 = 0$ en $\eu^{\iu\pi/3} = -j^2$ , $\eu^{-\iu\pi/3} = -j$ . De driehoek is gelijkzijdig direct d.e.s.d.a. $c - a = -j^2 (b - a)$ , indirect d.e.s.d.a. $c - a = -j(b - a)$ (Voorbeeld 3.26).

Beschouw $P = a + jb + j^2 c$ en $Q = a + j^2 b + jc$ . Met behulp van $1 + j^2 = -j$ en $j^3 = 1$ :

c - a + j^2(b - a) = c + j^2 b - (1 + j^2)\,a = c + j^2 b + ja = j\,(a + jb + j^2 c) = jP,

dus het directe geval luidt $jP = 0 \iff P = 0$ ; dezelfde berekening met $j$ in plaats van $j^2$ geeft $c - a + j(b - a) = j^2 Q$ , dus het indirecte geval luidt $Q = 0$ . Bijgevolg: gelijkzijdig (beide oriëntaties) $\iff PQ = 0$ . Uitwerken, met $j + j^2 = -1$ :

PQ = a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca).

Dus de driehoek is gelijkzijdig dan en slechts dan als $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ .

Oefening 3.11 ★★★

Voor $n \in \N^*$ , bereken $P = \prod_{k=1}^{n-1} \bigl(1 - \omega^k\bigr)$ waarbij $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ . Hint: $X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k)$ ; deel door $X - 1$ en evalueer in $X = 1$ . Leid $\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \dfrac{n}{2^{n-1}}$ af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.11.

Aangezien de $\omega^k$ , $k = 0, \dots, n-1$ , precies de $n$ wortels van $X^n - 1$ zijn (Stelling 3.14), en de veelterm monisch is:

X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k) = (X - 1) \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k).

Delen door $X - 1$ : $\;1 + X + \dots + X^{n-1} = \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k)$ . Evalueren in $X = 1$ geeft $P = n$ .

Nu $1 - \omega^k = -\eu^{\iu k\pi/n}\bigl(\eu^{\iu k\pi/n} - \eu^{-\iu k\pi/n}\bigr) = -2\iu\,\eu^{\iu k\pi/n} \sin\frac{k\pi}{n}$ , dus door moduli te nemen in $P = n$ (elke $\sin\frac{k\pi}n > 0$ voor $1 \leq k \leq n-1$ ):

n = \abs P = \prod_{k=1}^{n-1} 2\sin\frac{k\pi}{n} = 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n}, \qquad\text{dus}\qquad \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} .

Oefening 3.12 ★★

Zij $n \geq 2$ . Los de vergelijking $(z + 1)^n = (z - 1)^n$ op in $\C$ : toon dat ze precies $n - 1$ oplossingen heeft, alle zuiver imaginair, namelijk

z_k = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}}, \qquad k = 1, \dots, n - 1 .

Hint: $z = 1$ is geen oplossing, dus deel en gebruik de eenheids- wortels; pas dan de halvehoekontbinding van Methode 3.11 toe.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.12.

$z = 1$ is geen oplossing ( $2^n \neq 0$ ), dus de vergelijking is equivalent met $\bigl(\frac{z+1}{z-1}\bigr)^n = 1$ , d.w.z. $\frac{z+1}{z-1} = \omega^k$ met $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ en $k \in \{0, \dots, n-1\}$ . De waarde $k = 0$ is uitgesloten ( $z + 1 = z - 1$ is onmogelijk). Voor $1 \leq k \leq n - 1$ geeft het oplossen van $z + 1 = \omega^k(z - 1)$ dat $z(1 - \omega^k) = -1 - \omega^k$ , dus met $\varphi = \frac{2k\pi}{n}$ en de halvehoek- ontbindingen $1 + \eu^{\iu\varphi} = 2\cos\frac\varphi2\, \eu^{\iu\varphi/2}$ , $\eu^{\iu\varphi} - 1 = 2\iu\sin\frac\varphi2 \,\eu^{\iu\varphi/2}$ :

z_k = \frac{1 + \omega^k}{\omega^k - 1} = \frac{2\cos\frac{k\pi}{n}}{2\iu\,\sin\frac{k\pi}{n}} = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}} ,

zuiver imaginair zoals beweerd. De afbeelding $t \mapsto \cos t/\sin t$ is injectief op $\intoo0\pi$ (ze is strikt dalend), dus de $n - 1$ waarden $z_k$ zijn paarsgewijs verschillend: de vergelijking, van graad $n - 1$ eenmaal uitgewerkt (de $z^n$ -termen heffen elkaar op), heeft precies deze $n - 1$ oplossingen.

3.6 Probleem: de stelling van Napoleon

Probleem 3.1

Richt op elke zijde van een willekeurige driehoek een gelijkzijdige driehoek naar buiten op: de drie middelpunten van die driehoeken vormen altijd een gelijkzijdige driehoek. Dit is de stelling van Napoleon — een uitspraak zonder zichtbare reden om waar te zijn, die de algebra van $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ bewijst in drie regels berekening. Dit probleem bouwt de volledige gereedschapskist (rotaties, directe gelijkvormigheden, het $j$ -criterium van Oefening 3.10), bewijst de stelling van Napoleon binnen en buiten, lokaliseert het ontaarde geval, en sluit af met een tweede juweel van dezelfde school: de stelling van van Schooten over gelijkzijdige driehoeken en de ongelijkheid van Ptolemaeus. Overal worden punten van het vlak geïdentificeerd met hun affixen.

Deel I — Het getal $j$ en rotaties.

Bereken de algebraïsche vorm van $j$ , dan $j^2$ , $j^3$ , $1 + j + j^2$ , $\conj j$ en $j^{-1}$ . Plaats $1$ , $j$ , $j^2$ op een schets van de eenheidscirkel.
Toon dat de rotatie met middelpunt $a$ en hoek $\theta$ $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ is, en dat de samenstelling van twee rotaties, met hoeken $\theta$ en $\theta'$ , een rotatie met hoek $\theta + \theta'$ is als $\theta + \theta' \notin 2\pi\Z$ , en anders een translatie. (Gebruik Propositie 3.23.)
Zij $b \neq c$ . Toon dat er precies twee punten $p$ zijn die $(b, c, p)$ gelijkzijdig maken, namelijk $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ . Ga voor een directe driehoek $(a, b, c)$ op het voorbeeld $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ na dat de keuze $\eu^{-\iu\pi/3}$ diegene is die aan de overkant van de rechte $BC$ ligt ten opzichte van $a$ — de naar buiten gerichte top.
Uit de oplossing van Oefening 3.10 is $(a, b, c)$ direct gelijkzijdig d.e.s.d.a. $a + jb + j^2c = 0$ . Bewijs de twee rotatie-identiteiten

$b + jc + j^2a = j^2\,(a + jb + j^2c), \qquad c + ja + j^2b = j\,(a + jb + j^2c),$

en leid af dat het criterium invariant is onder cyclische permutatie van $(a, b, c)$ .
Toon dat als $a + jb + j^2c = 0$ en twee van de drie punten samenvallen, dan alle drie samenvallen. (Dus het criterium karakteriseert precies: directe gelijkzijdige driehoek, of één enkel punt.)

Deel II — Directe gelijkvormigheden.

Toon dat de afbeeldingen $f(z) = az + b$ met $a \in \C^*$ (directe gelijkvormigheden) stabiel zijn onder samenstelling en inversie: de samenstelling van twee ervan, en de inverse van elke ervan, is opnieuw van deze vorm. (In de taal van Hoofdstuk 7: ze vormen een groep.)
Gegeven $z_1 \neq z_2$ en $w_1 \neq w_2$ , toon dat er een unieke directe gelijkvormigheid $f$ bestaat met $f(z_1) = w_1$ en $f(z_2) = w_2$ , en geef $a$ en $b$ expliciet.
Toon dat een directe gelijkvormigheid $f(z) = az + b$ alle afstanden vermenigvuldigt met $\abs a$ en de vorm $\frac{c - a'}{b' - a'}$ van elke driehoek $(a', b', c')$ bewaart (teller en noemer worden beide vermenigvuldigd met $a$ ). Leid af dat twee driehoeken direct gelijkvormig zijn precies wanneer hun vormen gelijk zijn.
Bepaal volledig de directe gelijkvormigheid met $f(0) = 1$ en $f(1) = \iu$ : geef $a$ , $b$ , het vaste punt, de verhouding en de hoek.
Zij $\alpha + \beta = 1$ . Toon dat het “gewogen punt” $g(a', b') = \alpha a' + \beta b'$ commuteert met elke directe gelijkvormigheid: $f(\alpha a' + \beta b') = \alpha f(a') + \beta f(b')$ . Leid af dat zwaartepunten, middens en de hieronder gedefinieerde Napoleon-middelpunten allemaal getransporteerd worden door gelijkvormigheden — de algebraïsche vrijbrief achter elk “zonder verlies van algemeenheid, plaats de omgeschreven cirkel op de eenheidscirkel”- argument.

Deel III — De stelling van Napoleon. Zij $(a, b, c)$ een directe driehoek. Richt op elke zijde de naar buiten gerichte gelijkzijdige driehoek op (vraag 3) en zij $n_a$ , $n_b$ , $n_c$ de middelpunten (zwaartepunten) van de driehoeken opgericht op respectievelijk $[b, c]$ , $[c, a]$ , $[a, b]$ .

Toon dat

$n_a = \alpha b + \beta c, \qquad n_b = \alpha c + \beta a, \qquad n_c = \alpha a + \beta b, \qquad\text{met}\quad \alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}{6},\ \beta = \conj\alpha .$
Controleer $\alpha + \beta = 1$ , en leid af dat de driehoek $(n_a, n_b, n_c)$ hetzelfde zwaartepunt heeft als $(a, b, c)$ .
Toon met behulp van de identiteiten van vraag 4 dat

$n_a + j\,n_b + j^2 n_c = (\alpha j^2 + \beta j)\,(a + jb + j^2c) .$
Bereken $\alpha j + \beta$ en besluit: $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , dus $n_a + j n_b + j^2 n_c = 0$ voor elke driehoek: de uitwendige Napoleon- driehoek is direct gelijkzijdig (of een punt). De stelling van Napoleon is bewezen.
Richt de gelijkzijdige driehoeken in plaats daarvan naar binnen op (keuze $\eu^{+\iu\pi/3}$ in vraag 3) en zij $m_a, m_b, m_c$ hun middelpunten. Toon $m_a = \beta b + \alpha c$ (en cyclisch), bewijs dan $m_a + j^2 m_b + j\,m_c = 0$ : de inwendige Napoleon-driehoek is ook gelijkzijdig, met de tegengestelde oriëntatie.
Lokaliseer de ontaarding: toon dat $n_a = n_b = n_c$ zich precies voordoet wanneer $a + j^2 b + jc = 0$ , d.w.z. wanneer $(a, b, c)$ een indirecte gelijkzijdige driehoek is. (Twee punten onder $n_a, n_b, n_c$ vallen samen d.e.s.d.a. alle drie samenvallen, volgens vraag 5; gebruik dan $n_a + j^2 n_b + j n_c = j(\alpha + \beta j)(a + j^2b + jc)$ en controleer $\alpha + \beta j \neq 0$ .)
Voer de hele berekening uit op de driehoek $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ : geef $n_a, n_b, n_c$ exact, en verifieer door directe berekening van de drie gekwadrateerde zijdelengten dat de driehoek gelijkzijdig is, met gekwadrateerde zijde $\frac{2 + \sqrt3}{3}$ .

Deel IV — Ptolemaeus en van Schooten.

Bewijs de identiteit, geldig voor alle complexe $a, b, c, d$ :

$(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) .$
Leid de ongelijkheid van Ptolemaeus af: voor elke vier punten $A, B, C, D$ ,

$AC \cdot BD \;\leq\; AB \cdot CD + AD \cdot BC ,$

met gelijkheid dan en slechts dan als $(a-b)(c-d)$ en $(a-d)(b-c)$ op een gemeenschappelijke halfrechte vanuit $0$ liggen.
Toon dat voor $\theta, \varphi \in \R$ , $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ .
(stelling van van Schooten) Zij $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ — volgens Deel II verliest dit geen algemeenheid onder de directe gelijkzijdige driehoeken — en zij $p = \eu^{\iu\theta}$ met $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$ , een punt van de omgeschreven cirkel op de boog $BC$ die $A$ niet bevat. Bewijs

$PA = PB + PC .$

(Druk de drie afstanden uit met vraag 20 en gebruik een som-naar-product-formule.)
Verifieer bij $p = -1$ dat dit precies het gelijkheidsgeval is van de ongelijkheid van Ptolemaeus voor de cyclische volgorde $A, B, P, C$ : bereken $(a - b)(p - c)$ en $(a - c)(b - p)$ en controleer dat hun verhouding een positief reëel getal is.

Deel V — Synthese.

Bereken de uitwendige Napoleon-driehoek van de gelijkzijdige driehoek $(1, j, j^2)$ zelf, en beschrijf het resultaat meetkundig.
Waar precies gebruikte het probleem: (i) vermenigvuldiging als rotatie; (ii) de groepsstructuur van gelijkvormigheden en de vorminvariant; (iii) de halvehoekontbinding van Methode 3.11? Eén zin elk.
Formuleer in een korte paragraaf de moraal van het probleem: wat koopt het woordenboek tussen vlakke meetkunde en de algebra van $\C$ je op, wat kost het, en welke van de twee bewijsstappen — de identiteit $\alpha j + \beta = 0$ of de klassieke tekening — verklaart de stelling van Napoleon naar jouw mening beter? Vermeld één plaats waar het woordenboek later in dit deel in matrixvorm zal terugkeren.

Oplossing

Oplossing van Probleem 3.1.

1. $j = \cos\frac{2\pi}3 + \iu\sin\frac{2\pi}3 = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2$ ; $j^2 = \eu^{4\iu\pi/3} = -\frac12 - \iu\frac{\sqrt3}2 = \conj j$ ; $j^3 = 1$ ; $1 + j + j^2 = 0$ (som van de derdemachtswortels van de eenheid, Propositie 3.18); $j^{-1} = j^2$ (aangezien $j \cdot j^2 = 1$ ). Op de eenheidscirkel zijn $1$ , $j$ , $j^2$ de hoekpunten van een directe gelijkzijdige driehoek.

2. De rotatie met middelpunt $a$ en hoek $\theta$ houdt $a$ vast en draait elke vector die uit $a$ vertrekt over $\theta$ : $r(z) - a = \eu^{\iu\theta}(z - a)$ , d.w.z. $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ . Samenstellen van $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z-a)$ en $r'(z) = a' + \eu^{\iu\theta'}(z-a')$ :

r' \circ r\,(z) = \eu^{\iu(\theta + \theta')} z + \text{constante},

een afbeelding van de vorm $Az + B$ met $A = \eu^{\iu(\theta+\theta')}$ van modulus $1$ . Volgens Propositie 3.23 is het een rotatie met hoek $\arg A = \theta + \theta'$ als $A \neq 1$ , en een translatie als $A = 1$ , d.w.z. als $\theta + \theta' \in 2\pi\Z$ .

3. $(b, c, p)$ is gelijkzijdig d.e.s.d.a. $\abs{p - b} = \abs{c - b} = \abs{p - c}$ . Schrijf $q = \frac{p - b}{c - b}$ ; de eerste gelijkheid zegt $\abs q = 1$ en de tweede $\abs{q - 1} = 1$ ; samen, $q = \eu^{\pm\iu\pi/3}$ (de twee snijpunten van de cirkels $\abs q = 1$ en $\abs{q - 1} = 1$ zijn $\frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}2$ ). Bijgevolg $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ . Voor $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ (een directe driehoek): de keuze $\eu^{-\iu\pi/3}$ geeft

p = 1 + \Bigl(\tfrac12 - \iu\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)(\iu - 1) = \tfrac{1 + \sqrt3}2\,(1 + \iu) \approx 1.37 + 1.37\,\iu ,

wat aan de overkant van de rechte $BC$ ( $x + y = 1$ ) ligt ten opzichte van $a = 0$ : naar buiten. De keuze $\eu^{+\iu\pi/3}$ geeft $p \approx -0.37 - 0.37\,\iu$ , aan dezelfde kant als $a$ : naar binnen.

4. Vermenigvuldig $P = a + jb + j^2c$ met $j^2$ : $j^2 P = j^2 a + j^3 b + j^4 c = b + jc + j^2 a$ (met $j^3 = 1$ , $j^4 = j$ ); en met $j$ : $jP = ja + j^2 b + c$ . Dit zijn de twee identiteiten. Als $P = 0$ dan $j^2 P = jP = 0$ : het criterium geldt ook voor $(b, c, a)$ en $(c, a, b)$ — cyclische invariantie (zoals het moet: een gelijkzijdige driehoek geeft er niet om welk hoekpunt eerst genoemd wordt).

5. Als $a = b$ : $0 = a(1 + j) + j^2 c = -j^2 a + j^2 c$ (met $1 + j = -j^2$ ), dus $c = a$ . Als $b = c$ : $0 = a + b(j + j^2) = a - b$ , dus $a = b$ . Als $a = c$ : $0 = a(1 + j^2) + jb = -ja + jb$ , dus $a = b$ . In elk geval vallen alle drie de punten samen.

6. $(a'z + b') \circ (az + b) = a'a\,z + (a'b + b')$ met $a'a \neq 0$ : dezelfde vorm. De inverse van $z \mapsto az + b$ is $z \mapsto \frac1a z - \frac ba$ , opnieuw van dezelfde vorm. Met de identieke afbeelding als neutraal element vormen de directe gelijkvormigheden een groep onder samenstelling.

7. $f(z) = az + b$ voldoet aan $f(z_1) = w_1$ , $f(z_2) = w_2$ d.e.s.d.a. $a z_1 + b = w_1$ en $a z_2 + b = w_2$ ; door af te trekken, $a(z_2 - z_1) = w_2 - w_1$ , dus

a = \frac{w_2 - w_1}{z_2 - z_1} \;(\neq 0), \qquad b = w_1 - a z_1

zijn afgedwongen, en omgekeerd werkt deze keuze: bestaan en uniciteit.

8. $\abs{f(z) - f(w)} = \abs{a(z - w)} = \abs a\,\abs{z - w}$ : alle afstanden worden vermenigvuldigd met $\abs a$ . Voor de vorm:

\frac{f(c') - f(a')}{f(b') - f(a')} = \frac{a(c' - a')}{a(b' - a')} = \frac{c' - a'}{b' - a'} .

Als twee driehoeken $(a', b', c')$ en $(a'', b'', c'')$ gelijke vormen hebben, zij $f$ de unieke directe gelijkvormigheid met $f(a') = a''$ en $f(b') = b''$ (vraag 7); dan is de vorm van $(a'', b'', f(c'))$ gelijk aan die van $(a', b', c')$ , dus aan die van $(a'', b'', c'')$ , en de vorm bepaalt het derde hoekpunt uit de eerste twee: $f(c') = c''$ . Omgekeerd volgen gelijke vormen uit de weergegeven invariantie.

9. $b = f(0) = 1$ ; $a + b = f(1) = \iu$ geeft $a = \iu - 1$ . Verhouding $\abs a = \sqrt2$ , hoek $\arg(\iu - 1) = \frac{3\pi}4$ . Vast punt:

\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{2 - \iu} = \frac{2 + \iu}5 .

Dus $f$ is de directe gelijkvormigheid met middelpunt $\frac{2+\iu}5$ , verhouding $\sqrt2$ en hoek $\frac{3\pi}4$ .

10. Met $\alpha + \beta = 1$ en $f(z) = az + b$ :

f(\alpha a' + \beta b') = a\alpha a' + a\beta b' + b = \alpha(a a' + b) + \beta(a b' + b) = \alpha f(a') + \beta f(b') ,

waarbij de sleutel $b = (\alpha + \beta)b$ is. Middens ( $\alpha = \beta = \frac12$ ), zwaartepunten (itereer), en de Napoleon-middelpunten $\alpha b + \beta c$ hieronder zijn daarom equivariant: de driehoek transformeren transformeert ze dienovereenkomstig. Bijgevolg bewijst het bewijzen van een gelijkvormigheidsinvariante uitspraak voor één goed geplaatste driehoek haar voor alle — de vrijbrief gebruikt in vraag 21.

11. De naar buiten gerichte top op $[b, c]$ is $p_a = b + \eu^{-\iu\pi/3}(c - b)$ (vraag 3), dus het middelpunt is

n_a = \frac{b + c + p_a}3 = \frac{2b + c + \frac{1 - \iu\sqrt3}2\,(c - b)}3 = \frac{(3 + \iu\sqrt3)\,b + (3 - \iu\sqrt3)\,c}6 = \alpha b + \beta c ,

met $\alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}6$ en $\beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 = \conj\alpha$ . Dezelfde berekening op de zijden $[c, a]$ en $[a, b]$ geeft $n_b = \alpha c + \beta a$ en $n_c = \alpha a + \beta b$ (cyclische verschuiving van de rollen).

12. $\alpha + \beta = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 3 - \iu\sqrt3}6 = 1$ . Bijgevolg

\frac{n_a + n_b + n_c}3 = \frac{(\alpha + \beta)(a + b + c)}3 = \frac{a + b + c}3 :

de twee driehoeken delen hun zwaartepunt.

13. Groepeer volgens $\alpha$ en $\beta$ en pas de identiteiten van vraag 4 toe op $P = a + jb + j^2c$ :

n_a + j n_b + j^2 n_c = \alpha\,(b + jc + j^2 a) + \beta\,(c + ja + j^2 b) = \alpha\,j^2 P + \beta\,j P = (\alpha j^2 + \beta j)\,P .

14. Met $j = \frac{-1 + \iu\sqrt3}2$ :

\alpha j = \frac{(3 + \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 - \iu\sqrt3 - 3}{12} = \frac{-3 + \iu\sqrt3}6 = -\beta ,

dus $\alpha j + \beta = 0$ , bijgevolg $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , en vraag 13 geeft $n_a + jn_b + j^2n_c = 0$ voor elke driehoek $(a, b, c)$ . Volgens het criterium (vragen 4–5) vormen de middelpunten een directe gelijkzijdige driehoek of één enkel punt: de stelling van Napoleon.

15. De naar binnen gerichte top is $b + \eu^{+\iu\pi/3}(c - b)$ , en de berekening van vraag 11 met $\eu^{+\iu\pi/3} = \frac{1 + \iu\sqrt3}2$ verwisselt $\alpha$ en $\beta$ : $m_a = \beta b + \alpha c$ , $m_b = \beta c + \alpha a$ , $m_c = \beta a + \alpha b$ . Met behulp van de analoge identiteiten $b + j^2c + ja = j\,Q$ en $c + j^2a + jb = j^2 Q$ voor $Q = a + j^2b + jc$ :

m_a + j^2 m_b + j m_c = \beta(b + j^2 c + ja) + \alpha(c + j^2 a + jb) = (\beta j + \alpha j^2)\, Q = j(\beta + \alpha j)\,Q = 0 ,

aangezien $\alpha j = -\beta$ (vraag 14). Dus de inwendige middelpunten voldoen aan het indirecte gelijkzijdige criterium: gelijkzijdig met de tegengestelde oriëntatie (of een punt).

16. Volgens vraag 5 toegepast op het drietal $(n_a, n_b, n_c)$ (dat aan het directe criterium voldoet) vallen twee middelpunten samen d.e.s.d.a. alle drie samenvallen; en alle drie vallen samen d.e.s.d.a. beide criteria gelden, d.w.z. d.e.s.d.a. bovendien $n_a + j^2 n_b + j n_c = 0$ . Bereken zoals in vraag 13, met de identiteiten $b + j^2c + ja = jQ$ , $c + j^2a + jb = j^2Q$ :

n_a + j^2 n_b + j n_c = \alpha\,jQ + \beta\,j^2 Q = j(\alpha + \beta j)\,Q .

Rechtstreeks: $\beta j = \frac{(3 - \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 + \iu\sqrt3 + 3}{12} = \frac{\iu\sqrt3}3$ , dus $\alpha + \beta j = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 2\iu\sqrt3}6 = \frac{1 + \iu\sqrt3}2 \neq 0$ . Bijgevolg ontaardt de uitwendige Napoleon-driehoek d.e.s.d.a. $Q = a + j^2b + jc = 0$ , d.w.z. d.e.s.d.a. $(a, b, c)$ een indirecte gelijkzijdige driehoek is — in dat geval wijzen de “naar buiten gerichte” constructies allemaal in het omgeschreven gebied van de driehoek en delen ze één middelpunt.

17. Met $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ :

n_a = \alpha + \beta\iu = \frac{(3 + \sqrt3)(1 + \iu)}6, \qquad n_b = \alpha\iu = \frac{-\sqrt3 + 3\iu}6, \qquad n_c = \beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 .

Gekwadrateerde zijden: $n_a - n_b = \frac{(3 + 2\sqrt3) + \iu\sqrt3}6$ geeft $\abs{n_a - n_b}^2 = \frac{(3 + 2\sqrt3)^2 + 3}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36} = \frac{2 + \sqrt3}3$ ; $n_b - n_c = \frac{(3 + \sqrt3)(-1 + \iu)}6$ geeft $\abs{n_b - n_c}^2 = \frac{2(3 + \sqrt3)^2}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36}$ ; $n_c - n_a = \frac{-\sqrt3 - \iu(3 + 2\sqrt3)}6$ geeft opnieuw dezelfde waarde. Alle drie de gekwadrateerde zijden zijn gelijk aan $\frac{2 + \sqrt3}3$ : gelijkzijdig, zoals beloofd.

18. Uitwerken:

(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (ac - ad - bc + bd) + (ab - ac - bd + cd) = ab - ad - bc + cd ,

en $(a - c)(b - d) = ab - ad - bc + cd$ : gelijk.

19. Neem moduli in vraag 18 en pas de driehoeks- ongelijkheid toe (Propositie 3.2 (4)):

AC \cdot BD = \abs{(a-b)(c-d) + (a-d)(b-c)} \leq \abs{a-b}\,\abs{c-d} + \abs{a-d}\,\abs{b-c} = AB \cdot CD + AD \cdot BC ,

met gelijkheid d.e.s.d.a. de twee sommanden op een gemeenschappelijke halfrechte vanuit $0$ liggen (het gelijkheidsgeval van de driehoeksongelijkheid).

20. Halvehoekontbinding (Methode 3.11 (4)): $\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi} = 2\iu\,\sin\frac{\theta - \varphi}2\;\eu^{\iu(\theta + \varphi)/2}$ , en moduli nemen doodt de unimodulaire factoren: $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ .

21. Met $p = \eu^{\iu\theta}$ , $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$ , geeft vraag 20

PA = 2\,\abs{\sin\tfrac\theta2}, \quad PB = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac\pi3\bigr)}, \quad PC = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac{2\pi}3\bigr)} .

Op de boog, $\frac\theta2 \in \intoo{\pi/3}{2\pi/3}$ : dan $\sin\frac\theta2 > 0$ ; $\frac\theta2 - \frac\pi3 \in \intoo0{\pi/3}$ , dus de tweede sinus is positief; $\frac\theta2 - \frac{2\pi}3 \in \intoo{-\pi/3}0$ , dus de derde is negatief en $PC = 2\sin\bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\bigr)$ . Som naar product:

\sin\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi3\Bigr) + \sin\Bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\Bigr) = 2\,\sin\frac\pi6\,\cos\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi2\Bigr) = \sin\frac\theta2 ,

dus $PB + PC = 2\sin\frac\theta2 = PA$ : de stelling van van Schooten.

22. Bij $p = -1$ : $PA = 2$ , $PB = PC = 1$ en alle zijden van de gelijkzijdige driehoek hebben lengte $\sqrt3$ , dus beide leden van Ptolemaeus luiden $2\sqrt3$ . Algebraïsch, met $-1 - j^2 = j$ en $1 + j = -j^2$ :

(a - b)(p - c) = (1 - j)\,(-1 - j^2) = (1 - j)j = j - j^2 = \iu\sqrt3 ,

(a - c)(b - p) = (1 - j^2)(j + 1) = 1 + j - j^2 - j^3 = j - j^2 = \iu\sqrt3 .

De twee termen zijn gelijk, dus hun verhouding is $1 \in \R_{>0}$ : het gelijkheidsgeval van vraag 19, dat exact overeenkomt met $PA \cdot BC = PB \cdot AC + PC \cdot AB$ .

23. Voor $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ : $n_a = \alpha j + \beta j^2 = -\beta + \beta j^2$ (vraag 14) $= \beta(j^2 - 1)$ ; numeriek $\beta(j^2 - 1) = \frac{(3 - \iu\sqrt3)}6 \cdot \bigl(-\frac32 - \iu\frac{\sqrt3}2\bigr) = -1$ . Evenzo $n_b = \alpha j^2 + \beta = -j$ en $n_c = \alpha + \beta j = -j^2$ . De uitwendige Napoleon-driehoek van $(1, j, j^2)$ is $(-1, -j, -j^2)$ : de oorspronkelijke driehoek gespiegeld door zijn zwaartepunt $0$ — dezelfde grootte, over een halve slag gedraaid. Een gelijkzijdige driehoek is een vaste vorm van de Napoleon-constructie, geen krimpende limiet.

24. (i) Vermenigvuldiging met een unimodulair getal als rotatie bouwde de toppen en middelpunten (vragen 2–3, 11) en zette cirkelafstanden om in sinussen (vraag 20). (ii) De groeps- structuur en de vorminvariant verantwoordden het normaliseren van de omgeschreven cirkel tot de eenheidscirkel en de driehoek tot $(1, j, j^2)$ in vraag 21, via de equivariantie van vraag 10. (iii) De halvehoekontbinding dreef zowel vraag 20 als de som-naar-product-stap die van Schooten afrondt.

25. Het woordenboek zet meetkundige uitspraken om in polynomiale identiteiten waarin elke hypothese een vergelijking is: wat het je oplevert is mechanisatie — de stelling van Napoleon herleid tot $\alpha j + \beta = 0$ , één regel rekenkunde in $\Q(\iu\sqrt3)$ ; wat het kost is meetkundige zichtbaarheid — de berekening certificeert maar toont niet waarom de middelpunten zich sluiten tot een gelijkzijdige driehoek. Een eerlijk antwoord is dat de identiteit de onvermijdelijkheid van de stelling verklaart (ze geldt identiek in $a, b, c$ , dus er is geen vernuft van configuratie bij betrokken), terwijl de tekening haar inhoud verklaart. Hetzelfde woordenboek keert terug in matrixvorm wanneer rotaties de orthogonale $2 \times 2$ -matrices van Hoofdstuk 21 en Hoofdstuk 23 worden, waar “vermenigvuldiging met $\eu^{\iu\theta}$ ” het prototype is van een lineaire isometrie.

3.1 Het lichaam C\CC, modulus en toegevoegde

3.2 Exponentiële vorm

3.3 Wortels van complexe getallen

3.4 Complexe getallen en vlakke meetkunde

3.5 Oefeningen

3.6 Probleem: de stelling van Napoleon

3.1 Het lichaam $\C$ , modulus en toegevoegde