Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

2Lineaire algebra

De lineaire algebra van het Bachelor jaar 1-volume werkte over $\R$ of $\C$ in eindige dimensie, en liet de algemene determinant toe. Dit hoofdstuk heft alle drie de beperkingen op: de theorie wordt geformuleerd over een willekeurig lichaam $K$ , het samenspel tussen een ruimte en haar duale wordt systematisch ontwikkeld (duale bases, annihilatoren, getransponeerden), en de determinant wordt eindelijk geconstrueerd uit alternerende multilineaire vormen en de signatuur van Hoofdstuk 1 — elke toelating van Jaar 1 wordt ingelost.

Overal is $K$ een lichaam ( $\Q$ , $\R$ , $\C$ , of $\Z/p\Z$ — de theorie geeft er niet om) en zijn, tenzij anders vermeld, ruimten eindigdimensionaal over $K$ . De resultaten van Jaar 1 (bases, dimensie, rang–nulheid, matrices) dragen letterlijk over: hun bewijzen gebruikten nooit iets anders dan de lichaamaxioma’s.

2.1 Duale ruimte

Definitie 2.1 (Duale ruimte, duale basis)

De duale van $E$ is $E^* = \mathcal{L}(E, K)$ , de ruimte van lineaire vormen. Als $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ een basis van $E$ is, vormen de coördinaatvormen $e_1^*, \dots, e_n^*$ gedefinieerd door $e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$ (Kronecker: $1$ als $i = j$ , anders $0$ ) de duale basis $\mathcal{B}^*$ van $E^*$ ; in het bijzonder $\dim E^* = \dim E$ , en

x = \sum_{i=1}^{n} e_i^*(x)\, e_i \quad (x \in E), \qquad \varphi = \sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i)\, e_i^* \quad (\varphi \in E^*).

Bewijs dat $\mathcal{B}^*$ een basis is. Vrij: een nulle combinatie $\sum \lambda_i e_i^* = 0$ toepassen op $e_j$ geeft $\lambda_j = 0$ . Voortbrengend: voor $\varphi \in E^*$ doodt de vorm $\varphi - \sum_i \varphi(e_i) e_i^*$ elke $e_j$ , dus is ze nul (een lineaire afbeelding die verdwijnt op een basis verdwijnt). De twee weergaveformules zijn dezelfde berekeningen vooruit gelezen. ∎

Voorbeeld 2.2

Op $K_n[X]$ met basis $(1, X, \dots, X^n)$ : de duale basis is $P \mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ (Taylorcoëfficiënten). Een andere basis van de duale: de evaluaties $P \mapsto P(x_i)$ in $n + 1$ verschillende punten — haar “pre-duale” basis in $K_n[X]$ is precies de familie van Lagrangeveeltermen $L_i$ (Bachelor jaar 1-volume), omdat $L_i(x_j) = \delta_{ij}$ . Interpolatie is dualiteit.

Methode 2.3 (Duale en anteduale bases in de praktijk)

Om een vorm $\varphi$ te ontwikkelen op een basis $(e_i)$ van $E$ : de coördinaten zijn de waarden $\varphi(e_i)$ — geen stelsel op te lossen. Om de basis $(u_j)$ van $E$ te vinden waarvan de duale een gegeven basis $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ van $E^*$ is (de anteduale): los de $n$ lineaire stelsels

\varphi_i(u_j) = \delta_{ij} \qquad (1 \leq i \leq n),

één kolom $u_j$ tegelijk op; in matrixtermen, als de rijen van $M$ de coëfficiënten van de $\varphi_i$ in een bekende basis van $E^*$ opsommen, zijn de kolommen van $M^{-1}$ de $u_j$ . Bestaan en uniciteit van de anteduale worden bewezen in het weekendprobleem van dit hoofdstuk; de berekening is altijd deze inversie.

Voorbeeld 2.4 (Een duale basis van $\R^2$ , volledig berekend)

Voor de basis $b_1 = (1, 1)$ , $b_2 = (1, -1)$ van $\R^2$ : de duale basis $(b_1^*, b_2^*)$ moet voldoen aan $b_i^*(b_j) = \delta_{ij}$ . Schrijvend $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$ , geven de voorwaarden $\alpha + \beta = 1$ en $\alpha - \beta = 0$

b_1^*(x, y) = \frac{x + y}{2}, \qquad\text{en evenzo}\qquad b_2^*(x, y) = \frac{x - y}{2} .

Saniteitscontroles: $b_1^*$ is niet $e_1^* + e_2^*$ naïef geëvalueerd — de duale basis hangt af van de hele basis, niet van elke vector afzonderlijk (vervanging van $b_2$ door $(0, 1)$ verandert $b_1^*$ in $x \mapsto x$ ). En de ontwikkelingsformule werkt: $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$ , de even/oneven-ontbinding van een paar — duale bases zijn coördinaatextractors, en deze extraheert symmetrische en antisymmetrische delen.

Definitie 2.5 (Annihilator)

Voor een deelruimte $F \subseteq E$ is de annihilator

F^{\circ} = \{\varphi \in E^* : \varphi|_F = 0\},

een deelruimte van $E^*$ .

Stelling 2.6 (Dimensie van de annihilator)

$\dim F^{\circ} = \dim E - \dim F$ . Bovendien keert $F \mapsto F^\circ$ inclusies om, en wordt $F$ teruggewonnen uit haar annihilator:

F = \{x \in E : \forall\varphi \in F^\circ,\ \varphi(x) = 0\}.

Bijgevolg is elke deelruimte van dimensie $p$ in dimensie $n$ de oplossingsverzameling van $n - p$ onafhankelijke lineaire vergelijkingen — en omgekeerd.

Bewijs. Kies een basis $(e_1, \dots, e_p)$ van $F$ aangevuld tot een basis van $E$ . Een vorm $\varphi = \sum \varphi(e_i) e_i^*$ annihileert $F$ desda haar eerste $p$ coëfficiënten verdwijnen: $F^\circ = \operatorname{Vect}(e_{p+1}^*, \dots, e_n^*)$ , van dimensie $n - p$ . Inclusie-omkering is onmiddellijk. Voor de terugwinning: de rechterkant bevat $F$ ; omgekeerd, als $x \notin F$ , vul een basis van $F$ aan met $x$ en verdere vectoren; de coördinaatvorm van $x$ in deze basis annihilateert $F$ maar niet $x$ . De “vergelijkingen”-lezing neemt een basis $(\varphi_1, \dots, \varphi_{n-p})$ van $F^\circ$ : dan $F = \bigcap \ker\varphi_j$ , een doorsnede van $n - p$ onafhankelijke hypervlakken. ∎

Voorbeeld 2.7 (Een annihilator, beide richtingen)

Zij $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr) \subseteq \R^3$ . Een vorm $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* + c\,e_3^*$ annihilateert $F$ desda

a + 2b + c = 0 \qquad\text{en}\qquad a - c = 0 ,

d.w.z. $c = a$ en $b = -a$ : $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* + e_3^*)$ , van dimensie $3 - 2 = 1$ zoals Stelling 2.6 eist. Achterstevoren gelezen: $F = \{(x, y, z) : x - y + z = 0\}$ — het vlak teruggewonnen als de kern van de enkele vorm die $F^\circ$ opspant. Van een voortbrengende familie naar vergelijkingen is een annihilator berekenen; van vergelijkingen naar een parametrisatie is een pre-annihilator berekenen. (Controle: beide voortbrengende vectoren voldoen aan $x - y + z = 0$ .)

Definitie 2.8 (Getransponeerde afbeelding)

Voor $u \in \mathcal{L}(E, F)$ is de getransponeerde $u^{\mathsf T} \in \mathcal{L}(F^*, E^*)$

u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u .

Ze voldoet aan $(v \circ u)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T} \circ v^{\mathsf T}$ , en in duale bases is de matrix van $u^{\mathsf T}$ de getransponeerde matrix van $u$ — wat eindelijk de transpositie van Jaar 1 verklaart.

Voorbeeld 2.9 (De getransponeerde, entry voor entry)

Zij $u \colon \R^2 \to \R^3$ matrix $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ in de canonieke bases. Voor $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$ , bereken $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ op de basis van $\R^2$ :

(\psi \circ u)(e_1) = \psi(1, 0, 3) = b_1 + 3b_3, \qquad (\psi \circ u)(e_2) = \psi(2, 1, 0) = 2b_1 + b_2 .

Dus $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$ , en in de duale bases is de matrix van $u^{\mathsf T}$

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix} = A^{\mathsf T} :

de abstracte getransponeerde is de omgeklapte matrix, zonder berekening die op geloof moet. Merk het mechanisme op: de $j$ -de kolom van $A$ werd de $j$ -de rij van de nieuwe matrix omdat $\psi \circ u$ de uitgangen van $u$ leest door de coëfficiënten van $\psi$ .

Propositie 2.10

$\ker u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^{\circ}$ en $\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker u)^{\circ}$ . Bijgevolg $\operatorname{rk}(u^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(u)$ : rijrang is gelijk aan kolomrang, structureel bewezen.

Bewijs. $\psi \in \ker u^{\mathsf T} \iff \psi \circ u = 0 \iff \psi$ doodt $\operatorname{im} u$ : de eerste identiteit. Voor de tweede: $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ doodt $\ker u$ altijd, dus $\operatorname{im} u^{\mathsf T} \subseteq (\ker u)^\circ$ ; dimensies matchen door rang–nulheid en Stelling 2.6:

\operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \dim F^* - \dim\ker u^{\mathsf T} = \dim F - \bigl(\dim F - \operatorname{rk} u\bigr) = \operatorname{rk} u = \dim (\ker u)^{\circ} . \qedhere

∎

Voorbeeld 2.11 (Rang gelezen aan beide kanten)

Zij

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} .

Kolomrang: de derde rij is de som van de eerste twee, dus $\operatorname{rk} A \leq 2$ ; kolommen $1$ en $2$ zijn vrij: $\operatorname{rk} A = 2$ . De kern van de getransponeerde: $A^{\mathsf T}y = 0$ oplossen geeft $y \in \R\,(1, 1, -1)$ , dus $\ker A^{\mathsf T}$ heeft dimensie $1 = 3 - 2$ : precies $(\operatorname{im} A)^\circ$ onder de identificatie van $(\R^3)^*$ met rijvectoren, zoals Propositie 2.10 beweert — de enkele relatie “rij $_3$ = rij $_1$ + rij $_2$ ” is de annihilator van de kolomruimte. Rijrang ( $2$ vrije rijen) en kolomrang stemmen niet per toeval overeen maar omdat beide gelijk zijn aan $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$ .

Voorbeeld 2.12 (Dualiteit leest een kwadratuurregel)

Waarom bestaat een regel als die van Simpson (Oefening 2.4) en waarom is ze uniek? Dualiteit antwoordt voor elke berekening. Op $E = \R_2[X]$ is de integraal $P \mapsto \int_0^1 P$ één specifieke vector van de driedimensionale duale $E^*$ ; de evaluaties in $0$ , $\frac12$ , $1$ vormen een basis van $E^*$ ; dus ontwikkelt de integraal zich uniek daarop — die ontwikkeling is de regel van Simpson, coëfficiënten inbegrepen. Een dimensietelling kalibreert ook verwachtingen: op $\R_3[X]$ kunnen vier dimensies van vormen in het algemeen niet worden opgespannen door drie evaluaties, dus is exactheid op derdegraadsveeltermen niet door dualiteit verschuldigd; dat Simpson derdegraads toch exact integreert is een bonus-symmetrie (oneven-graad-cancellatie rond $\frac12$ ), met de hand te controleren. Regels met $n + 1$ knopen zijn ontwikkelingen van de integratievorm in een evaluatiebasis van $\R_n[X]^*$ : bestaan en uniciteit kosten één duale-basis-stelling; alleen de bonusgraden kosten werk.

2.2 Multilineaire alternerende vormen

Definitie 2.13

Een afbeelding $f \colon E^n \to K$ is $n$ -lineair wanneer ze lineair is in elke variabele, en alternerend wanneer ze verdwijnt zodra twee argumenten gelijk zijn. Alternerend impliceert antisymmetrisch: twee argumenten verwisselen verandert het teken (ontwikkel $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$ ); algemener, voor $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ ,

f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),

door $\sigma$ in transposities te ontbinden (Stelling 1.21).

Stelling 2.14 (De fundamentele stelling van determinanten)

Zij $\dim E = n$ en $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ een basis. De ruimte van alternerende $n$ -lineaire vormen op $E$ heeft dimensie $1$ : elke zulke vorm is een veelvoud van

\det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i}, \qquad x_j = \sum_{i} a_{ij} e_i ,

en $\det_{\mathcal{B}}$ is de unieke die de waarde $1$ aanneemt op $\mathcal{B}$ .

Bewijs. Zij $f$ alternerend $n$ -lineair. Elke argument op $\mathcal{B}$ ontwikkelend door multilineariteit,

f(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i_1, \dots, i_n} a_{i_1,1}\cdots a_{i_n,n}\, f(e_{i_1}, \dots, e_{i_n}).

Termen met een herhaalde index verdwijnen (alternerend); de overlevende tupels $(i_1, \dots, i_n)$ zijn de injectieve, d.w.z. $i_k = \sigma(k)$ voor een permutatie $\sigma$ , en antisymmetrie herordent $f(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma) f(e_1, \dots, e_n)$ . Dus

f = f(e_1, \dots, e_n) \cdot \det{}_{\mathcal{B}} :

elke alternerende vorm is dat veelvoud, mits $\det_{\mathcal{B}}$ zelf (de weergegeven som) is alternerend $n$ -lineair en waarde $1$ aanneemt op $\mathcal B$ . Multilineariteit is duidelijk (elke term is lineair in elke kolom). Waarde op $\mathcal B$ : de enige niet-nulle term is $\sigma = \mathrm{id}$ . Alternerend: stel $x_j = x_k$ ( $j \neq k$ ), zodat de coördinaatkolommen $a_{i j} = a_{i k}$ voor alle $i$ voldoen. Paar elke $\sigma$ met $\sigma' = \sigma\circ(j\,k)$ — een involutie zonder vaste punten op $\mathfrak{S}_n$ . De gepaarde producten vallen samen:

\prod_i a_{\sigma'(i),\,i} = a_{\sigma(k),\,j}\; a_{\sigma(j),\,k} \prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i} = a_{\sigma(k),\,k}\; a_{\sigma(j),\,j} \prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i} = \prod_i a_{\sigma(i),\,i},

gebruikend de gelijkheid van de kolommen $j$ en $k$ ; terwijl $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$ . Elk paar draagt nul bij: de som verdwijnt. ∎

Voorbeeld 2.15 (Sarrus, afgeleid en gesloopt)

Voor $n = 3$ heeft de permutatieformule precies $3! = 6$ termen. Opsommend $\mathfrak{S}_3$ op signatuur — $\mathrm{id}$ , $(1\,2\,3)$ , $(1\,3\,2)$ even; $(1\,2)$ , $(1\,3)$ , $(2\,3)$ oneven — krijgt men

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{32}a_{23} :

precies de “diagonalen”-regel van Sarrus die op school wordt geleerd — nu een stelling, met de mysterieuze tekens geïdentificeerd als signaturen. De sloop: voor $n = 4$ zijn er $24$ permutaties, waarvan slechts $8$ door enig diagonaal-teken-schema worden opgepikt; Sarrus heeft geen graad- $4$ -versie, en cofactorontwikkeling (Stelling 2.17 (4)) neemt over. Termen tellen is ook een waarschuwing: de permutatieformule heeft $n!$ sommanden, dus is ze een definitie, geen algoritme — rijreductie berekent $\det$ in $O(n^3)$ operaties in plaats daarvan.

Definitie 2.16 (Determinanten)

De determinant van een familie in een basis is $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$ ; de determinant van een matrix $A$ is de determinant van haar kolommen in de canonieke basis — de permutatieformule hierboven; de determinant van een endomorfisme $u$ is de scalair $\det u$ zodanig dat

\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr) = \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) \quad \text{voor alle } x_i

(de linkerkant is alternerend $n$ -lineair, dus een veelvoud van $\det_\mathcal{B}$ door Stelling 2.14; de factor hangt niet af van $\mathcal{B}$ ).

Stelling 2.17 (De determinantcalculus, bewezen)

$\det(uv) = \det u\,\det v$ ; $\;\det(AB) = \det A \det B$ .
$u$ is inverteerbaar $\iff \det u \neq 0$ ; een familie is een basis $\iff$ haar determinant in zekere basis niet-nul is.
$\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ .
Cofactorontwikkeling langs elke rij of kolom, zoals gesteld in het Bachelor jaar 1-volume, geldt; gelijkvormige matrices delen hun determinant.

Bewijs. (1) Pas de definiërende relatie tweemaal toe: $\det_{\mathcal B}(uv(x_i)) = \det u \cdot \det_{\mathcal B}(v(x_i)) = \det u \det v \cdot \det_{\mathcal B}(x_i)$ .

(2) Als $u$ inverteerbaar is, $\det u \det u^{-1} = \det \mathrm{id} = 1 \neq 0$ . Zo niet, zijn de beelden $u(e_i)$ afhankelijk; één uitdrukkend door de anderen en ontwikkelend, $\det_{\mathcal B}(u(e_i)) = 0$ (alternerend doodt herhaalde richtingen), dus $\det u = 0$ . Het basiscriterium is dezelfde uitspraak voor families.

(3) In de permutatieformule, herindexeer elk product door $j = \sigma(i)$ , d.w.z. $i = \tau(j)$ met $\tau = \sigma^{-1}$ : de factoren zijn dezelfde getallen in andere volgorde, dus

\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i} = \prod_{j=1}^{n} a_{j,\,\tau(j)} ,

en $\varepsilon(\tau) = \varepsilon(\sigma)^{-1} = \varepsilon(\sigma)$ (waarden zijn $\pm1$ ; $\varepsilon$ is een morfisme). Sommeren over $\sigma$ is hetzelfde als sommeren over $\tau$ (inversie is een bijectie van $\mathfrak{S}_n$ ):

\det A = \sum_{\tau}\varepsilon(\tau)\prod_j a_{j,\tau(j)} = \det(A^{\mathsf T}),

de laatste som is de permutatieformule toegepast op de getransponeerde entries $(A^{\mathsf T})_{ij} = a_{ji}$ .

(4) Fixeer kolom $j$ en splits $x_j = \sum_i a_{ij} e_i$ door lineariteit: $\det A = \sum_i a_{ij}\, \det(\dots, e_i, \dots)$ , en $e_i$ naar de laatste positie verplaatsen ( $n - i$ transposities van rijen, $n - j$ van kolommen, via (3)) identificeert $\det(\dots, e_i, \dots) = (-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ met de minor: precies de cofactorregel van Jaar 1. Gelijkvormigheid: $\det(P^{-1}AP) = \det P^{-1}\det A \det P = \det A$ door (1). ∎

Voorbeeld 2.18 (Cofactorontwikkeling, uitgevoerd)

Bereken

\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 4 & 1\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

langs de eerste kolom (twee nullen waard luiheid: één). Tekens volgen het schaakbord $(-1)^{i+j}$ :

2\,\det\begin{pmatrix}4 & 1\\ 2 & 0\end{pmatrix} - 0 + 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\ 4 & 1\end{pmatrix} = 2(0 - 2) + (1 - 12) = -15 .

Kruiscontrole door Sarrus (Voorbeeld 2.15): $0 + 1 + 0 - 12 - 0 - 4 = -15$ . Strategie, geen doctrine: ontwikkel langs de lijn met de meeste nullen, en wanneer geen er een heeft, maak er eerst wat door rijoperaties — één ronde eliminatie kost minder dan twee cofactorlagen.

Voorbeeld 2.19 (Een determinant door de regels)

Zij $J \in \mathcal{M}_n(K)$ de all-eens-matrix en $a \in K$ ; we berekenen $\det(aI_n + J)$ met de zojuist bewezen tools. Elke kolom van $aI_n + J$ sommeert hetzelfde: tel alle rijen op bij de eerste (de determinant blijft ongewijzigd — een veelvoud van één rij bij een andere optellen voegt een herhaalde-richting-term toe, gedood door alternatie). De eerste rij wordt $(a + n, a + n, \dots, a + n)$ ; factoriseer $a + n$ uit door lineariteit in die rij, trek dan de eerste kolom af van elke andere kolom: wat overblijft is driehoekig met diagonaal $(1, a, \dots, a)$ . Dus

\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.

Het sluitende inzicht: de wortels $a = 0$ (multipliciteit $n - 1$ ) en $a = -n$ zeggen dat $J$ eigenwaarde $0$ heeft met multipliciteit $n - 1$ en eigenwaarde $n$ één keer — het spectrum van de rang-één-matrix $J$ , één hoofdstuk vroeg (Hoofdstuk 3 maakt dit systematisch).

Voorbeeld 2.20 (Een determinant door de permutatieformule)

Voor een matrix met veel nullen is de formule op zich praktisch: in

A = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\ 0 & 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

is de enige permutatie die niet-nulle entries pikt de $4$ -cykel $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ die kolom $1 \to$ rij $4$ stuurt, enz.; $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$ , dus $\det A = -abcd$ . (Controle via drie kolomverwisselingen om een diagonaalmatrix te bereiken.)

Voorbeeld 2.21 (Een Vandermonde door de productformule)

Voor de knopen $0, 1, 2$ (gebruikt door kwadratuurregels zoals die van Oefening 2.4), evalueert de Vandermondedeterminant van Oefening 2.11 in één oogopslag:

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} = (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,

en door directe ontwikkeling langs de eerste kolom: $1\cdot(4 - 2) = 2$ : overeenstemming. Niet-verdwijnen voor verschillende knopen is de hele interpolatietheorie in één determinant: de evaluatievormen $P \mapsto P(a_i)$ zijn een basis van de duale precies wanneer deze determinant niet-nul is, d.w.z. altijd voor verschillende $a_i$ — Voorbeeld 2.2 kwantificeerde.

2.3 Spoor, hernomen

Propositie 2.22

Het spoor $\operatorname{tr} \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ is de unieke lineaire vorm met $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ en $\operatorname{tr}(I_n) = n$ (voor $\operatorname{char} K = 0$ ); het spoor van een endomorfisme is welgedefinieerd via elke matrixrepresentatie, en

\operatorname{tr}(u) = \sum_{i} e_i^*\bigl(u(e_i)\bigr)

in elke basis — dualiteit schrijft het spoor basisvrij.

Bewijs. $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ en basisinvariantie zijn bewezen in Jaar 1. Uniciteit: een lineaire vorm $t$ met $t(AB) = t(BA)$ doodt elke commutator $AB - BA$ . We claimen dat de commutatoren het spoor-nul-hypervlak opspannen, van dimensie $n^2 - 1$ . Twee families van commutatoren volstaan. De vermenigvuldigingsregel van de elementaire matrices is $E_{ab}E_{cd} = \delta_{bc}E_{ad}$ . Voor $i \neq j$ geeft ze

E_{ii}E_{ij} - E_{ij}E_{ii} = E_{ij} - 0 = E_{ij}

(het tweede product is $E_{ij}E_{ii} = \delta_{ji}E_{ii} = 0$ omdat $j \neq i$ ): elke buitendiagonaal $E_{ij}$ is een commutator. En

E_{ij}E_{ji} - E_{ji}E_{ij} = E_{ii} - E_{jj} .

De $E_{ij}$ ( $i \neq j$ , $n^2 - n$ ervan) samen met de $E_{11} - E_{jj}$ ( $j \geq 2$ , $n - 1$ ervan) zijn $n^2 - 1$ lineair onafhankelijke spoor-nul-matrices: ze spannen het hypervlak $\ker\operatorname{tr}$ op. Dus verdwijnt $t$ waar $\operatorname{tr}$ verdwijnt en factoriseert erdoor: $t = c\operatorname{tr}$ ; dan dwingt $t(I) = n$ $c = 1$ . De weergave: de $i$ -de diagonaalentry van de matrix van $u$ is precies $e_i^*(u(e_i))$ . ∎

Opmerking 2.23 (Veelvoorkomende valkuilen)

(i) De determinant is $n$ -lineair in de kolommen, niet lineair in de matrix: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ in het algemeen, en $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$ , niet $\lambda\det A$ . (ii) Transpositie keert producten om: $(vu)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$ ; het omkeren vergeten vernielt elke berekening met inversen. (iii) De annihilator $F^\circ$ leeft in $E^*$ , niet in $E$ : ze wordt het vertrouwde “orthogonale complement” pas na een inwendig product dat $E$ met $E^*$ identificeert (Hoofdstuk 12); geen zulke identificatie is canoniek. (iv) “Rijrang is gelijk aan kolomrang” betekent niet dat de rijruimte gelijk is aan de kolomruimte — de twee leven in verschillende ruimten ( $K^n$ en $K^m$ ) en hangen samen via Propositie 2.10, niet door gelijkheid. (v) De permutatieformule is een bewijsinstrument: voor getallen, gebruik rijoperaties en cofactoren (Voorbeeld 2.15).

Voorbeeld 2.24 (Het spoorpaar splijt de matrixruimte)

Op $\mathcal{M}_2(\R)$ met het paar $\langle A, B\rangle = \operatorname{tr}(AB)$ van Oefening 2.9: ontbind $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{smallmatrix}\right)$ in symmetrische en antisymmetrische delen,

M = S + A, \qquad S = \tfrac12(M + M^{\mathsf T}) = \begin{pmatrix}1 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix}, \qquad A = \tfrac12(M - M^{\mathsf T}) = \begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}.

Dan $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr} \left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$ : de twee delen zijn “orthogonaal” voor het spoorpaar — een geval van het algemene feit (bewezen in het weekendprobleem van dit hoofdstuk) dat antisymmetrische matrices precies de annihilator van de symmetrische vormen. Dualiteit ziet de ontbinding $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n$ voordat enig inwendig product is gekozen.

Opmerking 2.25 (Perspectieven binnen dit volume)

Kijk hoe de drie constructies van dit hoofdstuk van kostuum wisselen. De getransponeerde keert terug in Hoofdstuk 3: $u$ en $u^{\mathsf T}$ delen eigenwaarden met gelijke meetkundige multipliciteiten (het weekendprobleem van dit hoofdstuk, vraag 15), waarom rij- en kolomanalyses van een matrix nooit oneens zijn. De determinant wordt een functie van een parameter in Hoofdstuk 3 ( $\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ ) en een Jacobiaan in Hoofdstuk 20, waar haar multilineariteit de substitutiefactor wordt. Het spoor zaait de gelijkvormigheidsinvarianten: het is de tweede coëfficiënt van $\chi_u$ , de som van eigenwaarden, en uiteindelijk de integraal van de diagonaal in Hoofdstuk 14-achtige identiteiten. Eén lineaire-algebra-hoofdstuk, drie lange schaduwen.

Opmerking 2.26 (Waar dit hoofdstuk wordt gebruikt)

De duale ruimte is geen abstractie omwille van zichzelf: annihilatoren en getransponeerden drijven de oplosbaarheidstheorie van lineaire stelsels (het weekendprobleem van dit hoofdstuk bewijst het eindigdimensionale Fredholm-alternatief eruit), niet-ontaarde paren keren terug als de polaire vorm in Hoofdstuk 12 en de geadjungeerde in Hoofdstuk 13, en de hier gebouwde determinant drijft heel Hoofdstuk 3. In het Bachelor jaar 3-volume wordt dezelfde dualiteit, vervoerd naar oneindige dimensie, de representatiestelling van Riesz en Fredholmtheorie op Hilbert-ruimten — met compactheid die de hier gebruikte dimensietellingen vervangt.

2.4 Oefeningen

Oefening 2.1 ★

In $\R^3$ , zij $\varphi_1(x,y,z) = x + y$ , $\varphi_2 = y + z$ , $\varphi_3 = x + z$ . Bewijs dat $(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3)$ een basis is van $(\R^3)^*$ en vind de basis van $\R^3$ waarvan ze de duale is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.1.

Drie vormen in een $3$ -dimensionale duale: vrijheid volstaat. Een relatie $\alpha\varphi_1 + \beta\varphi_2 + \gamma\varphi_3 = 0$ geëvalueerd in $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ geeft $\alpha + \gamma = 0$ , $\alpha + \beta = 0$ , $\beta + \gamma = 0$ , vandaar $\alpha = \beta = \gamma = 0$ .

Pre-duale basis $(u_1, u_2, u_3)$ : los $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ op. Schrijvend $u_j = (x, y, z)$ : voor $u_1$ : $x + y = 1$ , $y + z = 0$ , $x + z = 0$ geeft $u_1 = \bigl(\tfrac12, \tfrac12, -\tfrac12\bigr)$ ; symmetrisch $u_2 = \bigl(-\tfrac12, \tfrac12, \tfrac12\bigr)$ , $u_3 = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, \tfrac12\bigr)$ .

Oefening 2.2 ★

Bereken met de permutatieformule de determinanten van

\begin{pmatrix} 0 & 0 & a\\ 0 & b & 0\\ c & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} a & b & 0 & 0\\ c & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & e & f\\ 0 & 0 & g & h \end{pmatrix},

en formuleer de blokdiagonaalregel die de tweede suggereert.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.2.

Eerste matrix: de enige niet-nul-product-permutatie stuurt $1 \mapsto 3$ , $2 \mapsto 2$ , $3 \mapsto 1$ — de transpositie $(1\,3)$ , signatuur $-1$ : determinant $-abc$ .

Tweede: een permutatie met niet-nul product kan de twee blokken niet mengen (een entry die ze verbindt is $0$ ), dus splijt ze als een permutatie van $\{1,2\}$ maal een van $\{3,4\}$ , en de signatuur is het product van de twee signaturen: de som factoriseert als

(ad - bc)(eh - fg) .

Algemene gesuggereerde regel (en waar, zelfde bewijs): de determinant van een blokdiagonaalmatrix is het product van de determinanten van de blokken.

Oefening 2.3 ★

Zij $F = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x + y = z + t \text{ en } x = 2y\}$ . Geef een basis van $F^\circ$ en controleer Stelling 2.6 op dimensies.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.3.

$F$ is gedefinieerd door de twee onafhankelijke vergelijkingen $\varphi_1(x,y,z,t) = x + y - z - t = 0$ en $\varphi_2 = x - 2y = 0$ : door Stelling 2.6 achterstevoren gelezen, $F^\circ = \operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ — ze liggen in $F^\circ$ per constructie, ze zijn vrij (niet proportioneel), en $\dim F^\circ = 4 - \dim F = 4 - 2 = 2$ omdat $\dim F = 2$ (twee onafhankelijke vergelijkingen in $\R^4$ ). Basis: $(\varphi_1, \varphi_2)$ ; dimensies: $2 + 2 = 4$ , zoals de stelling eist.

Oefening 2.4 ★★

Zij $a_0, \dots, a_n$ verschillende punten van $K$ en $\varphi_i \colon P \mapsto P(a_i)$ op $K_n[X]$ . Bewijs dat $(\varphi_0, \dots, \varphi_n)$ een basis is van $K_n[X]^*$ , identificeer haar pre-duale basis, en ontwikkel de vorm $P \mapsto \int_0^1 P(t)\,\dd t$ (voor $K = \R$ , $n = 2$ , $a_i = 0, \frac12, 1$ ) in deze basis — de regel van Simpson herkennend.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.4.

De $\varphi_i$ zijn $n + 1$ vormen op een $(n+1)$ -dimensionale ruimte: vrijheid volstaat. Als $\sum_i \lambda_i \varphi_i = 0$ , evalueer op de Lagrangeveelterm $L_j$ van de knopen: $\lambda_j = 0$ . De pre-duale basis is $(L_0, \dots, L_n)$ , omdat $\varphi_i(L_j) = L_j(a_i) = \delta_{ij}$ .

Voor de integraalvorm met knopen $0, \frac12, 1$ op $\R_2[X]$ : $\int_0^1 P = \sum_i c_i P(a_i)$ met $c_i = \int_0^1 L_i$ . Bereken: $L_0 = 2(X - \tfrac12)(X - 1)$ , $\int_0^1 L_0 = \frac16$ ; $L_1 = -4X(X-1)$ , $\int_0^1 L_1 = \frac46$ ; $L_2 = 2X(X - \tfrac12)$ , $\int_0^1 L_2 = \frac16$ . Dus

\int_0^1 P = \frac{1}{6}\Bigl(P(0) + 4P\bigl(\tfrac12\bigr) + P(1)\Bigr) \quad (P \in \R_2[X]) :

de regel van Simpson, exact op kwadratische veeltermen — een uitspraak over duale bases.

Oefening 2.5 ★★

Zij $u \in \mathcal{L}(E)$ met $\dim E = n$ en $\operatorname{rk} u = 1$ . Bewijs dat $u = \varphi(\cdot)\, a$ voor een vector $a$ en een vorm $\varphi$ ; dat $\operatorname{tr} u = \varphi(a)$ ; en dat $u^2 = (\operatorname{tr} u)\, u$ . Leid af $\det(I + u) = 1 + \operatorname{tr} u$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.5.

$\operatorname{im} u = Ka$ voor zekere $a \neq 0$ ; dan $u(x) = \varphi(x)\,a$ waarbij $\varphi(x)$ de coördinaat van $u(x)$ op $a$ is — lineair in $x$ . Spoor: vul $a = e_1$ aan tot een basis; de matrix van $u$ heeft kolommen $\varphi(e_j)\,e_1$ , dus is haar enige diagonaalentry $\varphi(e_1) = \varphi(a)$ : $\operatorname{tr} u = \varphi(a)$ . Dan

u^2(x) = \varphi(x)\, u(a) = \varphi(x)\varphi(a)\, a = (\operatorname{tr} u)\, u(x).

Determinant, in twee gevallen. Als $\varphi(a) \neq 0$ : neem elke basis van het hypervlak $\ker\varphi$ en voeg $a$ toe. Dan doodt $u$ $\ker\varphi$ (daar $u(x) = \varphi(x)a = 0$ ) en $u(a) = \varphi(a)\,a$ : de matrix van $I + u$ is diagonaal, $(1, \dots, 1,\, 1 + \varphi(a))$ , dus $\det(I + u) = 1 + \varphi(a) = 1 + \operatorname{tr} u$ . Als $\varphi(a) = 0$ : dan $a \in \ker\varphi$ ; neem een basis van $\ker\varphi$ waarvan de eerste vector $a$ is, en voeg een vector $b$ toe met $\varphi(b) = 1$ . Dan fixeert $I + u$ de basis van $\ker\varphi$ en stuurt $b \mapsto b + a$ : driehoekig met eenheidsdiagonaal, $\det(I + u) = 1 = 1 + \operatorname{tr} u$ . Beide gevallen stemmen overeen met de formule.

Oefening 2.6 ★★

Bewijs dat elk hypervlak van $\mathcal{M}_n(K)$ ( $n \geq 2$ ) een inverteerbare matrix bevat. Hint: een hypervlak is $\{M : \operatorname{tr}(AM) = 0\}$ voor zekere $A \neq 0$ (Oefening 2.9). Als $A$ scalair is, vertoon een inverteerbare matrix van spoor nul; anders, vind een inverteerbare $M$ die $AM$ diagonaal nul maakt — een permutatie-achtige matrix doet het.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.6.

Door Oefening 2.9 is het hypervlak $H_A = \{M : \operatorname{tr}(AM) = 0\}$ met $A \neq 0$ .

Als $A = \lambda I$ : $H_A$ is het spoor-nul-hypervlak; de matrix van de $n$ -cykel-permutatie (enen in posities $(i, i+1)$ en $(n, 1)$ ) is inverteerbaar (haar determinant is $\pm 1$ door de berekening van Voorbeeld 2.20) en heeft spoor nul.

Als $A$ niet scalair is: vind eerst een inverteerbare $P$ zodat $B = P^{-1}AP$ een niet-nulle buitendiagonaalentry $b_{ji}$ heeft ( $j \neq i$ ). Inderdaad, als $A$ er al een heeft, neem $P = I$ ; als $A$ diagonaal is met twee verschillende entries $d_1 \neq d_2$ , produceert conjugatie door de transvectie $P = I + E_{12}$ de buitendiagonaalentry $d_1 - d_2 \neq 0$ (bereken: $P^{-1}AP = A + (d_1 - d_2)E_{12}$ ); en een diagonaalmatrix met alle entries gelijk is scalair, uitgesloten. Stel nu $M' = I + tE_{ij}$ met $t = -\operatorname{tr}(B)/b_{ji}$ : dan

\operatorname{tr}(BM') = \operatorname{tr} B + t\,b_{ji} = 0,

en $M'$ is inverteerbaar (driehoekig met eenheidsdiagonaal). De conjugatie ongedaan makend, is $M = PM'P^{-1}$ inverteerbaar en $\operatorname{tr}(AM) = \operatorname{tr}(BM') = 0$ : $M \in H_A$ .

Oefening 2.7 ★★

(Afgeleide van de determinant) Voor $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ , bewijs uit multilineariteit dat

\frac{\dd}{\dd t}\Big|_{t=0} \det(I_n + tA) = \operatorname{tr} A ,

en leid af $\det(\eu^{tA}) = \eu^{t\operatorname{tr} A}$ aannemend de differentieerbaarheid van $t \mapsto \det(\eu^{tA})$ en de groepeigenschap $\eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\eu^{tA}$ (gevestigd in Hoofdstuk 16).

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.7.

$\det(I + tA)$ is, door de permutatieformule, een veelterm in $t$ ; haar constante term is $1$ ( $t = 0$ ). Haar $t$ -coëfficiënt: ontwikkel $\det$ als alternerende vorm van de kolommen $e_j + t\,c_j(A)$ ; door multilineariteit vervangen de in $t$ lineaire termen precies één $e_j$ door $c_j(A)$ :

\sum_{j} \det(e_1, \dots, c_j(A), \dots, e_n) = \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A ,

(de determinant met alle canonieke kolommen behalve $c_j(A)$ in slot $j$ pikt de $j$ -de diagonaalentry). Dus is de afgeleide in $0$ $\operatorname{tr} A$ .

Zij $g(t) = \det(\eu^{tA})$ . De groepeigenschap geeft $g(s + t) = g(s)g(t)$ (multiplicativiteit van $\det$ ), $g$ is differentieerbaar, en $g'(0) = \operatorname{tr} A$ door het voorgaande ( $\eu^{tA} = I + tA + O(t^2)$ ). Een differentieerbaar morfisme $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ voldoet aan $g' = g'(0)\,g$ (differentieer $g(s+t)$ in $s$ in $0$ ), dus $g(t) = \eu^{t\operatorname{tr} A}$ door uniciteit van oplossingen van $y' = cy$ met $y(0) = 1$ (Bachelor jaar 1-volume).

Oefening 2.8 ★★

(Circulant, $3 \times 3$ ) Zij $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ en

C = \begin{pmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\C).

Verifieer dat de kolommen van de Vandermondematrix van $1, j, j^2$ eigenvectoren van $C$ zijn, en leid af

\det C = (a + b + c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.8.

Zij $v_k = (1, j^k, j^{2k})^{\mathsf T}$ voor $k = 0, 1, 2$ . Gebruikend $1 + j + j^2 = 0$ en $j^3 = 1$ :

C v_k = \begin{pmatrix} a + b j^k + c j^{2k}\\ c + a j^k + b j^{2k}\\ b + c j^k + a j^{2k} \end{pmatrix} = (a + b j^k + c j^{2k}) \begin{pmatrix} 1\\ j^k\\ j^{2k}\end{pmatrix},

(controleer de tweede rij: $j^k(a + bj^k + cj^{2k}) = aj^k + bj^{2k} + cj^{3k} = c + aj^k + bj^{2k}$ ). Dus is $v_k$ een eigenvector met eigenwaarde $\lambda_k = a + bj^k + cj^{2k}$ . De $v_k$ vormen een basis (Vandermonde van de verschillende $1, j, j^2$ ), dus is $C$ diagonaliseerbaar met deze eigenwaarden en

\det C = \lambda_0\lambda_1\lambda_2 = (a+b+c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).

Oefening 2.9 ★★★

Bewijs dat elke lineaire vorm $t$ op $\mathcal{M}_n(K)$ $M \mapsto \operatorname{tr}(AM)$ is voor unieke $A$ : de afbeelding $A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ is een isomorfisme van $\mathcal{M}_n(K)$ op haar duale. Leid de uniciteitsuitspraak van Propositie 2.22 opnieuw af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.9.

De afbeelding $\Theta \colon A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ is lineair van $\mathcal{M}_n(K)$ naar haar duale, tussen ruimten van gelijke dimensie $n^2$ : injectiviteit volstaat. Als $\operatorname{tr}(AM) = 0$ voor alle $M$ , neem $M = E_{ji}$ : $\operatorname{tr}(A E_{ji}) = a_{ij} = 0$ voor alle $i, j$ : $A = 0$ . Dus is $\Theta$ een isomorfisme.

Uniciteit van het spoor (Propositie 2.22): een vorm $t$ die alle commutatoren doodt is $\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ voor zekere $A$ met $\operatorname{tr}(A(MN - NM)) = 0$ voor alle $M, N$ , d.w.z. $\operatorname{tr}((AM - MA)N) = 0$ voor alle $N$ (cycliciteit), d.w.z. $AM = MA$ voor alle $M$ (injectiviteit van $\Theta$ ): $A$ commuteert met alles, dus is scalair ( $A$ commuteert met alle $E_{ij}$ dwingt buitendiagonaalentries $0$ en gelijke diagonaalentries), dus $t = c \operatorname{tr}$ .

Oefening 2.10 ★★★

Zij $u, v \in \mathcal{L}(E)$ met $u \circ v - v \circ u = u$ . Bewijs dat $u$ nilpotent is. Hint: toon $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ voor alle $k \geq 1$ (bereken $u^k v - v u^k$ door inductie), gebruik dan het volgende feit, te bewijzen via de identiteiten van Newton of door inductie op de dimensie: een endomorfisme van een $\C$ -vectorruimte waarvan alle machten spoor nul hebben is nilpotent. Werk over $\C$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.10.

Werk over $\C$ (een reële matrix is nilpotent desda ze dat is als complexe matrix: nilpotentie is $u^n = 0$ ).

Stap 1: $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ voor $k \geq 1$ . Door inductie, $u^k v - v u^k = k\, u^k$ : voor $k = 1$ is het de hypothese; voor de stap,

u^{k+1}v - vu^{k+1} = u^k(uv - vu) + (u^k v - v u^k)u = u^{k+1} + k\,u^{k+1} .

Sporen nemend: $0 = \operatorname{tr}(u^k v) - \operatorname{tr}(vu^k) = k \operatorname{tr}(u^k)$ , dus $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ .

Stap 2: nulle machts-sporen impliceren nilpotentie (over $\C$ ). Zij $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ de verschillende niet-nulle eigenwaarden van $u$ met multipliciteiten $m_1, \dots, m_r$ (in de karakteristieke veelterm, die over $\C$ splitst — Hoofdstuk 3). Machts-sporen zijn $\operatorname{tr}(u^k) = \sum_i m_i \lambda_i^k$ (trigonaliseer: de diagonaal van de $k$ -de macht van een driehoekige matrix zijn de $k$ -de machten). Het stelsel $\sum_i m_i \lambda_i^k = 0$ voor $k = 1, \dots, r$ is Vandermonde-inverteerbaar in de onbekenden $m_i\lambda_i$ (matrix $(\lambda_i^{k-1})$ maal diagonaal $\lambda_i$ , alle $\lambda_i \neq 0$ verschillend): elke $m_i \lambda_i = 0$ , onmogelijk met $m_i \geq 1$ tenzij $r = 0$ . Dus heeft $u$ geen niet-nulle eigenwaarde: haar karakteristieke veelterm is $(-X)^n$ , en Cayley–Hamilton (Hoofdstuk 3) geeft $u^n = 0$ : nilpotent.

Oefening 2.11 ★★

(Vandermonde) Voor $a_0, \dots, a_n \in K$ , bewijs

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ a_0 & a_1 & \cdots & a_n\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_0^n & a_1^n & \cdots & a_n^n \end{pmatrix} = \prod_{0 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i).

(Zie de determinant als een veelterm in $a_n$ : identificeer haar graad, haar wortels, en haar leidende coëfficiënt; induceer.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.11.

Schrijf $V(a_0, \dots, a_n)$ voor de determinant en induceer op $n$ ; $V(a_0) = 1$ start. Fixeer $a_0, \dots, a_{n-1}$ en zie $D(T) = V(a_0, \dots, a_{n-1}, T)$ , de determinant met laatste kolom $(1, T, \dots, T^n)$ : ontwikkelend langs die kolom is $D$ een veelterm van graad $\leq n$ in $T$ waarvan de $T^n$ -coëfficiënt de minor $V(a_0, \dots, a_{n-1})$ is. Stel eerst dat $a_0, \dots, a_{n-1}$ verschillend zijn. Voor elke $T = a_i$ ( $i < n$ ) vallen twee kolommen samen, dus $D(a_i) = 0$ : met $n$ verschillende wortels en graad $\leq n$ ,

D(T) = V(a_0, \dots, a_{n-1}) \prod_{i=0}^{n-1}(T - a_i),

en $T = a_n$ plus de inductiehypothese geven de productformule. Als twee van $a_0, \dots, a_{n-1}$ samenvallen, zijn beide kanten $0$ (herhaalde kolommen; een herhaalde factor), en de formule geldt triviaal.

Oefening 2.12 ★★★

Zij $A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(K)$ met $K$ oneindig, en veronderstel $CD = DC$ . Bewijs dat

\det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix} = \det(AD - BC).

(Behandel eerst $D$ inverteerbaar, vermenigvuldigend rechts met $\left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C & I\end{smallmatrix}\right)$ ; vervang dan $D$ door $D + tI$ en vergelijk twee veeltermen in $t$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.12.

$D$ inverteerbaar. Vermenigvuldig rechts met de blokmatrix $T = \left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C & I\end{smallmatrix}\right)$ , die blokdriehoekig is met eenheidsdiagonaal, $\det T = 1$ (haar determinant, door de permutatieformule, pikt alleen de diagonaalblokken — de blokregel van Oefening 2.2):

\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix} T = \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ C - DD^{-1}C & D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ 0 & D\end{pmatrix},

waarvan de determinant $\det(A - BD^{-1}C)\det D = \det\bigl((A - BD^{-1}C)D\bigr) = \det(AD - BD^{-1}CD)$ is. Omdat $CD = DC$ , is $BD^{-1}CD = BC$ : de determinant is $\det(AD - BC)$ .

Algemene $D$ . Zij $D_t = D + tI$ ; dan $CD_t = D_tC$ nog. Zowel

f(t) = \det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D_t\end{pmatrix} \qquad\text{als}\qquad g(t) = \det(AD_t - BC)

zijn veeltermfuncties van $t$ . De veelterm $\det(D + tI)$ is monisch van graad $n$ , heeft dus hoogstens $n$ wortels: voor alle behalve eindig veel $t$ is $D_t$ inverteerbaar en $f(t) = g(t)$ door het eerste geval. Twee veeltermen over een oneindig lichaam die in oneindig veel punten overeenstemmen zijn gelijk: $f = g$ , en $t = 0$ besluit.

2.5 Probleem: Het Fredholm-alternatief

Wanneer heeft het lineaire stelsel $u(x) = b$ een oplossing? Het volledige antwoord is een dualiteitsuitspraak: precies wanneer $b$ wordt geannihileerd door elke lineaire vorm die het beeld van $u$ annihilateert — en die vormen zijn berekenbaar, als de kern van de getransponeerde. Dit weekendprobleem bouwt het volledige woordenboek van eindigdimensionale dualiteit (factorisatie van vormen, bidualiteit, annihilatorcalculus, de getransponeerde), bewijst het eindigdimensionale Fredholm-alternatief, en sluit met de spoorvorm en een karakterisering: het spoor is de enige lineaire invariant van gelijkvormigheid. Overal zijn $E$ en $F$ eindigdimensionale $K$ -vectorruimten, $n = \dim E$ .

Probleem 2.1

Weekendprobleem — dualiteit in eindige dimensie en het Fredholm-alternatief

Notatie: voor $S \subseteq E^*$ is de pre-annihilator $S_\circ = \{x \in E : \varphi(x) = 0 \text{ voor alle } \varphi \in S\}$ ; annihilatoren $F^\circ$ en getransponeerden $u^{\mathsf T}$ zijn die van Definitie 2.5 en Definitie 2.8.

Deel I — Het factorisatielemma. Zij $\varphi_1, \dots, \varphi_p, \varphi \in E^*$ .

Zij $\Phi \colon E \to K^p$ , $x \mapsto (\varphi_1(x), \dots, \varphi_p(x))$ . Identificeer $\ker\Phi$ , toon dat $\Phi^{\mathsf T}$ de coördinaatvormen van $K^p$ naar de $\varphi_i$ stuurt, en leid af

$\dim \bigl(\ker\varphi_1 \cap \dots \cap \ker\varphi_p\bigr) = n - \dim \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots, \varphi_p).$
(Factorisatielemma) Bewijs de equivalentie:

$\varphi \in \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots, \varphi_p) \iff \ker\varphi_1 \cap \dots \cap \ker\varphi_p \subseteq \ker\varphi .$
Leid af: $(\varphi_1, \dots, \varphi_p)$ is vrij desda $\bigcap_i \ker\varphi_i$ dimensie $n - p$ heeft; en een deelruimte van codimensie $p$ is een doorsnede van $p$ hypervlakken, nooit minder.
In $\R^4$ , zij $\varphi_1 = x + y - z$ , $\varphi_2 = y + z - t$ , $\psi = x + 2y - t$ en $\psi' = x + y + t$ . Beslis, met het factorisatielemma, of $\psi$ en $\psi'$ tot $\operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ behoren.
Op $E = \R_2[X]$ , toon dat $\psi_0 \colon P \mapsto P(0)$ , $\psi_1 \colon P \mapsto P(1)$ , $\psi_2 \colon P \mapsto \int_0^1 P(t)\dd t$ een basis van $E^*$ vormen, bereken de basis $(P_0, P_1, P_2)$ van $E$ waarvan ze de duale is, en vind de unieke $P \in \R_2[X]$ met $P(0) = 1$ , $P(1) = 2$ , $\int_0^1 P = \frac32$ .

Deel II — Bidualiteit en de annihilatorcalculus.

Toon dat de evaluatieafbeelding $J \colon E \to E^{**}$ , $J(x)(\varphi) = \varphi(x)$ , lineair en injectief is, dus een isomorfisme in eindige dimensie.
(Dubbele annihilator) Toon $J(F) = F^{\circ\circ} := (F^\circ)^\circ$ voor elke deelruimte $F \subseteq E$ : onder de identificatie $J$ is de annihilator van de annihilator de deelruimte zelf.
Bewijs de annihilatorcalculus: $(F + G)^\circ = F^\circ \cap G^\circ$ en $(F \cap G)^\circ = F^\circ + G^\circ$ .
Leid af (en bewijs opnieuw direct): twee niet-nulle vormen met dezelfde kern zijn proportioneel.
(Anteduale basis) Toon dat voor elke basis $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ van $E^*$ er een unieke basis $(u_1, \dots, u_n)$ van $E$ is met $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ .

Deel III — De getransponeerde-calculus.

Toon dat $u \mapsto u^{\mathsf T}$ een lineaire bijectie is van $\mathcal{L}(E, F)$ op $\mathcal{L}(F^*, E^*)$ , en dat $(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{\mathsf T})^{-1}$ wanneer $u$ inverteerbaar is.
(Naturaliteit) Toon dat $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E = J_F \circ u$ : onder de evaluatie-isomorfismen is de dubbele getransponeerde $u$ .
Toon: $u$ is surjectief desda $u^{\mathsf T}$ injectief is; $u$ is injectief desda $u^{\mathsf T}$ surjectief is.
Voor $u \in \mathcal{L}(E)$ : een deelruimte $F$ is stabiel onder $u$ desda $F^\circ$ stabiel is onder $u^{\mathsf T}$ .
Toon dat $\ker(u^{\mathsf T} - \lambda\, \mathrm{id}_{E^*}) = \bigl(\operatorname{im}(u - \lambda\, \mathrm{id}_E)\bigr)^\circ$ , en leid af dat $u$ en $u^{\mathsf T}$ dezelfde eigenwaarden hebben met dezelfde meetkundige multipliciteiten.

Deel IV — Het Fredholm-alternatief.

Bewijs dat $\operatorname{im} u = (\ker u^{\mathsf T})_\circ$ voor $u \in \mathcal{L}(E, F)$ , en leid het Fredholm-alternatief in eindige dimensie af: de vergelijking $u(x) = b$ heeft een oplossing desda elke $\psi \in F^*$ met $u^{\mathsf T}\psi = 0$ voldoet aan $\psi(b) = 0$ .
Matrixvorm: voor $A \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ en $b \in K^m$ geldt precies één van de volgende: (i) $Ax = b$ heeft een oplossing; (ii) er is $y \in K^m$ met $A^{\mathsf T}y = 0$ en $y^{\mathsf T}b = 1$ . Bewijs zowel het “hoogstens één” als het “minstens één”.
Vind alle $b \in \R^3$ waarvoor het stelsel

$x + y = b_1, \qquad y + z = b_2, \qquad x + 2y + z = b_3$

een oplossing heeft, door de kern van de getransponeerde matrix te berekenen.
(Een discreet Neumannprobleem) Op $E = \R^n$ ( $n \geq 3$ ), definieer $L$ door $(Lx)_k = x_k - \frac12(x_{k-1} + x_{k+1})$ , indices modulo $n$ . Toon $L^{\mathsf T} = L$ (canonieke identificaties), toon $\ker L$ is de lijn van constante vectoren (kijk naar een maximale coördinaat), en concludeer: $Lx = b$ is oplosbaar desda $\sum_k b_k = 0$ .

Deel V — De spoorvorm en de invariantstelling. Herinner uit Oefening 2.9 dat $A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ $\mathcal{M}_n(K)$ met haar duale identificeert. Neem $\operatorname{char} K = 0$ aan (bijv. $K = \Q, \R, \C$ ).

Onder deze identificatie, toon dat de annihilator van de deelruimte $\mathcal{S}_n$ van symmetrische matrices de deelruimte $\mathcal{A}_n$ van antisymmetrische matrices is, en omgekeerd.
Toon dat de annihilator van het hypervlak $\mathfrak{sl}_n = \{M : \operatorname{tr} M = 0\}$ de lijn $K I_n$ is; equivalent, is een lineaire vorm die verdwijnt op alle spoor-nul-matrices een veelvoud van het spoor.
Toon dat elke matrix van $\mathcal{M}_n(K)$ de som is van twee inverteerbare matrices.
(Het spoor is de enige lineaire gelijkvormigheidsinvariant) Zij $t$ een lineaire vorm op $\mathcal{M}_n(K)$ met $t(PMP^{-1}) = t(M)$ voor elke $M$ en elke inverteerbare $P$ . Toon eerst $t(PX) = t(XP)$ voor $P$ inverteerbaar, dan $t(BX) = t(XB)$ voor alle $B$ , en concludeer $t = c \operatorname{tr}$ voor zekere $c \in K$ .
Toon dat $\operatorname{rk} u \leq r$ desda $u$ een som is van $r$ afbeeldingen van rang $\leq 1$ , d.w.z. $u = \sum_{i=1}^{r} \psi_i(\cdot)\,f_i$ met $\psi_i \in E^*$ , $f_i \in F$ ; leid af $\operatorname{rk}(u + v) \leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$ .
(Synthese) Stel het in dit probleem bewezen woordenboek op: deelruimten versus annihilatoren, sommen versus doorsneden, afbeeldingen versus getransponeerden, oplosbaarheid versus orthogonaliteit op de getransponeerde kern, spoor versus gelijkvormigheid. Voor elke entry, citeer de vraag die ze bewees, en zeg in één zin wat de dimensietellingen vervangt wanneer dimensie oneindig wordt (het Bachelor jaar 3-volume maakt dit precies op Hilbert-ruimten).

Oplossing

Oplossing van Probleem 2.1.

1. $\Phi$ is lineair met $\ker\Phi = \bigcap_i \ker\varphi_i$ (een $p$ -tupel verdwijnt desda elke entry dat doet). Voor de coördinaatvormen $\varepsilon_i$ van $K^p$ : $\Phi^{\mathsf T}(\varepsilon_i) = \varepsilon_i \circ \Phi = \varphi_i$ , dus $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T} \supseteq \operatorname{Vect}(\varphi_i)$ ; omgekeerd wordt $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T}$ opgespannen door de $\Phi^{\mathsf T}(\varepsilon_i)$ (de $\varepsilon_i$ spannen $(K^p)^*$ op). Dus $\operatorname{rk}\Phi = \operatorname{rk} \Phi^{\mathsf T} = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots, \varphi_p) =: r$ (Propositie 2.10), en rang–nulheid geeft $\dim\bigcap_i\ker\varphi_i = n - r$ .

2. ( $\Leftarrow$ ) Houd een maximale vrije deelfamilie, zeg $\varphi_1, \dots, \varphi_r$ , die dezelfde ruimte opspant (dus luidt de hypothese nog $\bigcap_{i \leq r}\ker\varphi_i \subseteq \ker\varphi$ : de doorsnede over alle $i$ is gelijk aan die over $i \leq r$ , elke verworpen vorm is een combinatie). De afbeelding $\Psi = (\varphi_1, \dots, \varphi_r) \colon E \to K^r$ is surjectief (vraag 1: haar rang is $r$ ). Als $\Psi(x) = \Psi(y)$ dan $x - y \in \ker\Psi \subseteq \ker\varphi$ , dus $\varphi(x) = \varphi(y)$ : $\varphi$ factoriseert als $\varphi = \lambda \circ \Psi$ met $\lambda \colon K^r \to K$ welgedefinieerd; $\lambda$ is lineair omdat $\Psi$ lineair en surjectief is (voor $t = \Psi(x)$ , $t' = \Psi(x')$ : $\lambda(t + \alpha t') = \varphi(x + \alpha x') = \lambda(t) + \alpha\lambda(t')$ ). Schrijvend $\lambda = \sum c_i \varepsilon_i$ : $\varphi = \sum_{i \leq r} c_i\varphi_i$ . ( $\Rightarrow$ ) Als $\varphi = \sum c_i \varphi_i$ , doodt elke $x$ die elke $\varphi_i$ doodt $\varphi$ .

3. Door vraag 1, $\dim\bigcap\ker\varphi_i = n - r$ met $r = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_i) \leq p$ , en $r = p$ desda de familie vrij is. Een deelruimte $F$ van codimensie $p$ : haar annihilator heeft dimensie $p$ (Stelling 2.6); een basis $(\varphi_1, \dots, \varphi_p)$ van $F^\circ$ geeft $F = \bigcap_i\ker\varphi_i$ (de terugwinningsformule). Minder: een doorsnede van $q$ hypervlakken heeft dimensie $\geq n - q > n - p$ door vraag 1.

4. Bereken $\ker\varphi_1 \cap \ker\varphi_2$ : uit $x + y - z = 0$ en $y + z - t = 0$ , parametriseer door $(y, z)$ : $x = z - y$ , $t = y + z$ , gevend het vlak van vectoren $(z - y,\; y,\; z,\; y + z)$ . Daarop is $\psi = x + 2y - t = (z - y) + 2y - (y + z) = 0$ : door het factorisatielemma $\psi \in \operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ — inderdaad $\psi = \varphi_1 + \varphi_2$ . Maar $\psi' = x + y + t = (z - y) + y + (y + z) = y + 2z$ is daar niet identiek nul ( $y = 1, z = 0$ geeft $1$ ): $\psi' \notin \operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ .

5. Drie vormen op een $3$ -dimensionale ruimte: vrijheid volstaat. Als $a\psi_0 + b\psi_1 + c\psi_2 = 0$ , test op $1, X, X^2$ : $a + b + c = 0$ , $b + \frac c2 = 0$ , $b + \frac c3 = 0$ ; de laatste twee aftrekken geeft $c = 0$ , dan $b = 0$ , $a = 0$ . Anteduale basis: schrijvend $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ en $\psi_i(P_j) = \delta_{ij}$ oplossend ( $P(0) = \alpha$ , $P(1) = \alpha + \beta + \gamma$ , $\int_0^1 P = \alpha + \frac\beta2 + \frac\gamma3$ ):

P_0 = 1 - 4X + 3X^2, \qquad P_1 = -2X + 3X^2, \qquad P_2 = 6X - 6X^2 .

(Controle, bijv.: $\int_0^1 P_2 = 3 - 2 = 1$ , $P_2(0) = P_2(1) = 0$ .) Het interpolatieprobleem wordt opgelost door coördinaten in de anteduale basis:

P = 1\cdot P_0 + 2\cdot P_1 + \tfrac32\, P_2 = 1 + X

( $X$ -coëfficiënt $-4 - 4 + 9 = 1$ , $X^2$ -coëfficiënt $3 + 6 - 9 = 0$ ); inderdaad $P(0) = 1$ , $P(1) = 2$ , $\int_0^1 P = \frac32$ .

6. Lineariteit: voor elke $\varphi$ , $J(x + \alpha y)(\varphi) = \varphi(x + \alpha y) = J(x)(\varphi) + \alpha J(y)(\varphi)$ , d.w.z. $J(x + \alpha y) = J(x) + \alpha J(y)$ . Injectiviteit: als $x \neq 0$ , vul $x = e_1$ aan tot een basis; de coördinaatvorm $e_1^*$ heeft $J(x)(e_1^*) = 1 \neq 0$ . Omdat $\dim E^{**} = \dim E^* = \dim E$ , impliceert injectief bijectief.

7. Inclusie: voor $x \in F$ en $\varphi \in F^\circ$ , $J(x)(\varphi) = \varphi(x) = 0$ , dus $J(F) \subseteq F^{\circ\circ}$ . Dimensies (Stelling 2.6 tweemaal):

\dim F^{\circ\circ} = \dim E^* - \dim F^\circ = n - (n - \dim F) = \dim F = \dim J(F),

$J$ injectief. Dus $J(F) = F^{\circ\circ}$ .

8. Eerste identiteit: $\varphi$ doodt $F + G$ desda ze zowel $F$ als $G$ doodt (ze doodt sommen desda ze de stukken doodt): $(F+G)^\circ = F^\circ \cap G^\circ$ . Tweede: de inclusie $F^\circ + G^\circ \subseteq (F \cap G)^\circ$ is duidelijk (elke sommand doodt $F \cap G$ ). Dimensies, gebruikend de eerste identiteit en Grassmann:

\dim(F^\circ + G^\circ) = \dim F^\circ + \dim G^\circ - \dim(F^\circ \cap G^\circ) = (n - \dim F) + (n - \dim G) - \bigl(n - \dim(F + G)\bigr),

wat door Grassmann in $E$ gelijk is aan $n - \dim(F \cap G) = \dim(F \cap G)^\circ$ : gelijkheid.

9. Via het lemma: $\ker\psi \subseteq \ker\varphi$ met $p = 1$ geeft $\varphi \in \operatorname{Vect}(\psi)$ , en $\varphi \neq 0$ maakt de scalair niet-nul. Direct: kies $x_0$ met $\psi(x_0) \neq 0$ ; elke $x$ schrijft $x = \bigl(x - \frac{\psi(x)}{\psi(x_0)}x_0\bigr) + \frac{\psi(x)}{\psi(x_0)} x_0$ met de eerste term in $\ker\psi = \ker\varphi$ ; $\varphi$ toepassend: $\varphi(x) = \frac{\varphi(x_0)}{\psi(x_0)}\psi(x)$ .

10. Neem de duale basis $(\varphi_1^*, \dots, \varphi_n^*)$ van $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ binnen $E^{**}$ (Definitie 2.1 toegepast op $E^*$ ) en stel $u_j = J^{-1}(\varphi_j^*)$ : een basis van $E$ ( $J$ is een isomorfisme, vraag 6), met $\varphi_i(u_j) = J(u_j)(\varphi_i) = \varphi_j^*(\varphi_i) = \delta_{ij}$ . Uniciteit: de voorwaarden $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ bepalen $J(u_j)$ op de basis $(\varphi_i)$ , dus bepalen $u_j$ .

11. Lineariteit: $(u + \alpha v)^{\mathsf T}\psi = \psi \circ (u + \alpha v) = u^{\mathsf T}\psi + \alpha\, v^{\mathsf T}\psi$ . Injectiviteit: als $u \neq 0$ , kies $x$ met $u(x) \neq 0$ en $\psi$ met $\psi(u(x)) \neq 0$ (de coördinaatvorm-truc van vraag 6): $u^{\mathsf T}\psi \neq 0$ . De ruimten $\mathcal{L}(E,F)$ en $\mathcal{L}(F^*, E^*)$ hebben beide dimensie $\dim E \dim F$ : bijectief. Als $u$ inverteerbaar is, geeft de omkeerregel $(vu)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$ $u^{\mathsf T}(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{-1}u)^{\mathsf T} = \mathrm{id}_{E^*}$ en $(u^{-1})^{\mathsf T}u^{\mathsf T} = (uu^{-1})^{\mathsf T} = \mathrm{id}_{F^*}$ , dus $(u^{\mathsf T})^{-1} = (u^{-1})^{\mathsf T}$ .

12. Voor $x \in E$ en $\psi \in F^*$ :

\bigl(u^{\mathsf T\mathsf T}(J_E x)\bigr)(\psi) = (J_E x)\bigl(u^{\mathsf T}\psi\bigr) = (u^{\mathsf T}\psi)(x) = \psi\bigl(u(x)\bigr) = \bigl(J_F(u(x))\bigr)(\psi).

Omdat $\psi$ willekeurig is, $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E = J_F \circ u$ .

13. Door Propositie 2.10: $\ker u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^\circ$ , dus $u$ surjectief $\iff \operatorname{im} u = F \iff (\operatorname{im}u)^\circ = \{0\}$ (Stelling 2.6) $\iff u^{\mathsf T}$ injectief. En $\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker u)^\circ$ , dus $u$ injectief $\iff \ker u = \{0\} \iff (\ker u)^\circ = E^*$ $\iff u^{\mathsf T}$ surjectief.

14. Als $u(F) \subseteq F$ en $\varphi \in F^\circ$ : $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) = \varphi(u(x)) = 0$ voor $x \in F$ , dus $u^{\mathsf T}\varphi \in F^\circ$ . Omgekeerd, als $u(F) \not\subseteq F$ , kies $x \in F$ met $u(x) \notin F$ ; door de terugwinningsformule van Stelling 2.6 is er $\varphi \in F^\circ$ met $\varphi(u(x)) \neq 0$ : dan $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) \neq 0$ hoewel $x \in F$ , dus $u^{\mathsf T}\varphi \notin F^\circ$ : $F^\circ$ niet stabiel.

15. $u^{\mathsf T} - \lambda\,\mathrm{id}_{E^*} = (u - \lambda\,\mathrm{id}_E)^{\mathsf T}$ (transpositie is lineair en $\mathrm{id}^{\mathsf T} = \mathrm{id}$ ), dus is haar kern $(\operatorname{im}(u - \lambda\,\mathrm{id}))^\circ$ (Propositie 2.10), van dimensie

n - \operatorname{rk}(u - \lambda\,\mathrm{id}) = \dim\ker(u - \lambda\,\mathrm{id})

door rang–nulheid. In het bijzonder is één kern niet-nul desda de andere dat is: dezelfde eigenwaarden, dezelfde meetkundige multipliciteiten.

16. Inclusie: als $b = u(x)$ en $u^{\mathsf T}\psi = 0$ , dan $\psi(b) = \psi(u(x)) = (u^{\mathsf T}\psi)(x) = 0$ : dus $\operatorname{im} u \subseteq (\ker u^{\mathsf T})_\circ$ . Dimensies: voor een deelruimte $S \subseteq F^*$ is $S_\circ = J_F^{-1}(S^\circ)$ (uitrollen: $y \in S_\circ$ desda elke $\psi \in S$ $y$ doodt desda $J_F(y) \in S^\circ$ ), dus $\dim S_\circ = \dim F - \dim S$ . Met $S = \ker u^{\mathsf T}$ :

\dim(\ker u^{\mathsf T})_\circ = \dim F - \dim\ker u^{\mathsf T} = \operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \operatorname{rk} u :

dimensiegelijkheid, dus $\operatorname{im} u = (\ker u^{\mathsf T})_\circ$ . Hernoemd: $b \in \operatorname{im} u$ desda $\psi(b) = 0$ voor elke $\psi$ met $u^{\mathsf T}\psi = 0$ — het Fredholm-alternatief.

17. Identificeer $(K^m)^*$ met $K^m$ door $y \mapsto \psi_y$ , $\psi_y(v) = y^{\mathsf T}v$ ; dan $(u^{\mathsf T}\psi_y)(x) = y^{\mathsf T}Ax = (A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x$ , dus $u^{\mathsf T}\psi_y = \psi_{A^{\mathsf T}y}$ : de getransponeerde is de getransponeerde matrix. Hoogstens één: als $Ax = b$ en $A^{\mathsf T}y = 0$ , dan $y^{\mathsf T}b = y^{\mathsf T}Ax = (A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x = 0 \neq 1$ . Minstens één: als (i) faalt, levert vraag 16 $\psi_y$ met $A^{\mathsf T}y = 0$ en $y^{\mathsf T}b \neq 0$ ; herschaal $y$ om er $1$ van te maken.

18. $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (derde rij = eerste + tweede, dus $A$ is singulier). Los $A^{\mathsf T}y = 0$ op: $y_1 + y_3 = 0$ , $y_1 + y_2 + 2y_3 = 0$ , $y_2 + y_3 = 0$ geven $y_1 = y_2 = -y_3$ : de lijn opgespannen door $y = (1, 1, -1)$ . Fredholm: oplosbaar desda $y^{\mathsf T}b = b_1 + b_2 - b_3 = 0$ , d.w.z. $b_3 = b_1 + b_2$ — zichtbaar de juiste voorwaarde, omdat de derde vergelijking de som van de eerste twee is.

19. De matrix van $L$ heeft $1$ op de diagonaal en $-\frac12$ in posities $(k, k\pm1)$ (mod $n$ ): symmetrisch, dus $L^{\mathsf T} = L$ onder de identificatie van vraag 17. Kern: als $Lx = 0$ dan elke $x_k = \frac12(x_{k-1} + x_{k+1})$ . Zij $k_0$ die $x_k$ maximaliseert; het gemiddelde van de twee buren, beide $\leq x_{k_0}$ , is gelijk aan $x_{k_0}$ alleen als beide gelijk $x_{k_0}$ zijn; propagerend rond de cykel is $x$ constant. Omgekeerd worden constanten gedood. Dus $\ker L^{\mathsf T} = \ker L = \R(1, \dots, 1)$ , en het Fredholm-alternatief luidt: $Lx = b$ oplosbaar desda $(1,\dots,1)^{\mathsf T} b = \sum_k b_k = 0$ — de discrete compatibiliteitsvoorwaarde: een “warmteverdeling” op een ring kan door een potentiaal worden gerealiseerd desda haar totale flux verdwijnt.

20. Als $A$ antisymmetrisch is en $S$ symmetrisch:

\operatorname{tr}(AS) = \operatorname{tr}\bigl((AS)^{\mathsf T}\bigr) = \operatorname{tr}(S^{\mathsf T}A^{\mathsf T}) = -\operatorname{tr}(SA) = -\operatorname{tr}(AS),

dus $2\operatorname{tr}(AS) = 0$ en ( $\operatorname{char} K \neq 2$ ) $\operatorname{tr}(AS) = 0$ : $\mathcal{A}_n \subseteq \mathcal{S}_n^\circ$ (de duale met matrices identificerend). Dimensies: $\dim\mathcal{S}_n^\circ = n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2 = \dim\mathcal{A}_n$ : gelijkheid. Rollen verwisselend (zelfde berekening), $\mathcal{A}_n^\circ = \mathcal{S}_n$ .

21. $\operatorname{tr}(I_nM) = \operatorname{tr} M = 0$ voor $M \in \mathfrak{sl}_n$ : de lijn $KI_n$ ligt in de annihilator, waarvan de dimensie $n^2 - (n^2 - 1) = 1$ is: gelijkheid. Vertaald door het isomorfisme $A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ : een vorm die verdwijnt op $\mathfrak{sl}_n$ is $\operatorname{tr}(\lambda I_n\,\cdot) = \lambda\operatorname{tr}$ .

22. Zij $M \in \mathcal{M}_n(K)$ . De veelterm $t \mapsto \det(M - tI)$ is niet-nul van graad $n$ , heeft dus hoogstens $n$ wortels; $K$ heeft karakteristiek $0$ , is dus oneindig: kies $\lambda \neq 0$ die geen wortel is. Dan $M = (M - \lambda I) + \lambda I$ schrijft $M$ als som van twee inverteerbare matrices.

23. Stap 1: voor inverteerbare $P$ en willekeurige $X$ , pas invariantie toe op $M = XP$ : $t(P(XP)P^{-1}) = t(XP)$ , d.w.z. $t(PX) = t(XP)$ . Stap 2: fixeer $X$ ; beide kanten van $t(BX) = t(XB)$ zijn lineair in $B$ en stemmen overeen op inverteerbare $B$ ; door vraag 22 is elke $B$ som van twee inverteerbaren, dus stemmen ze overal overeen. Stap 3: $t$ doodt elke commutator $XB - BX$ ; de commutatoren spannen $\mathfrak{sl}_n$ op (getoond in het bewijs van Propositie 2.22), dus verdwijnt $t$ op $\mathfrak{sl}_n$ en vraag 21 geeft $t = c\operatorname{tr}$ . (Omgekeerd is elke $c\operatorname{tr}$ gelijkvormigheidsinvariant: het spoor is de lineaire gelijkvormigheidsinvariant.)

24. Als $\operatorname{rk} u = r' \leq r$ : neem een basis $(f_1, \dots, f_{r'})$ van $\operatorname{im} u$ en schrijf $u(x) = \sum_{i=1}^{r'} \psi_i(x) f_i$ ; elke coördinaat $\psi_i(x)$ van $u(x)$ is lineair in $x$ (samenstelling van $u$ met een coördinaatvorm), dus is $u$ een som van $r' \leq r$ rang- $\leq1$ -afbeeldingen (vul met nullen). Omgekeerd, als $u = \sum_{i=1}^r \psi_i(\cdot)f_i$ , dan $\operatorname{im} u \subseteq \operatorname{Vect}(f_1, \dots, f_r)$ : $\operatorname{rk} u \leq r$ . Subadditiviteit: schrijf $u$ met $\operatorname{rk} u$ termen en $v$ met $\operatorname{rk} v$ termen; de som heeft $\operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$ termen, dus $\operatorname{rk}(u + v) \leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$ .

25. Het woordenboek: een deelruimte $F$ correspondeert met $F^\circ$ van complementaire dimensie (Stelling 2.6), en terug door bidualiteit (vragen 6–7); sommen wisselen met doorsneden (vraag 8); een afbeelding $u$ correspondeert met $u^{\mathsf T}$ met $\ker u^{\mathsf T} = (\operatorname{im}u)^\circ$ , $\operatorname{im}u^{\mathsf T} = (\ker u)^\circ$ , gelijke rangen, verwisselde injectiviteit/surjectiviteit, gematchte stabiele deelruimten en eigenwaarden (vragen 11–15); de vergelijking $u(x) = b$ is oplosbaar desda $b$ orthogonaal is op $\ker u^{\mathsf T}$ (vragen 16–19); en op $\mathcal{M}_n$ realiseert het spoorpaar het hele woordenboek concreet, met het spoor als de unieke lineaire gelijkvormigheidsinvariant (vragen 20–23) en rang als de minimale lengte van een ontbinding in elementaire tensoren (vraag 24). In oneindige dimensie falen de dimensietellingen en worden ze vervangen door geslotenheidshypothesen op beelden en door volledigheid — op Hilbert-ruimten wordt dit de representatiestelling van Riesz en de Fredholmtheorie van compacte operatoren, eerlijk bewezen in het Bachelor jaar 3-volume.