Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

12De ruimten Lp

De Lebesgue-integraal is voor de analyse gebouwd; de ruimten $L^p$ zijn de plek waar die analyse woont. Het zijn banachruimten (Riesz–Fischer) — de vervolledigingen die de continue functies volgens Oefening 7.1 misten — en ze dragen een gladstrijktechniek, convolutie tegen mollifiers, die elke $L^p$ -functie door $\mathcal C^\infty$ -functies benadert. Dit hoofdstuk bewijst de integraalversies van Hölder en Minkowski, de volledigheid, de dichtheidsstellingen en de regularisatiemachine, en eindigt met de inclusie- en interpolatiegeografie van de $L^p$ -schaal. Overal is $(X, \mathcal A, \mu)$ een maatruimte en zijn de functies complexwaardig; op $\R^d$ is de maat $\lambda_d$ .

12.1 Definitie; Hölder en Minkowski

Definitie 12.1

Voor $1 \leq p < \infty$ is $\mathcal L^p(\mu)$ de verzameling meetbare $f$ met $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$ , en $\mathcal L^\infty(\mu)$ de verzameling functies die buiten een nulverzameling begrensd zijn, met $\norm f_\infty$ het essentiële supremum — de kleinste $M$ met $\abs f \leq M$ b.o. (het infimum wordt bereikt: snijd de nulverzamelingen voor $M + \frac1n$ ). Omdat $\norm f_p = 0$ slechts $f = 0$ b.o. afdwingt (Oefening 10.5), stellen we

L^p(\mu) = \mathcal L^p(\mu)/\{f = 0 \text{ b.o.}\} :

de elementen zijn klassen van functies modulo nulverzamelingen, en $\norm\cdot_p$ is een echte norm op $L^p$ .

Stelling 12.2 (Ongelijkheid van Hölder)

Zij $1 \leq p, q \leq \infty$ met $\frac1p + \frac1q = 1$ (toegevoegde exponenten). Voor meetbare $f, g$ geldt

\norm{fg}_1 \leq \norm f_p\,\norm g_q ,

met gelijkheid (voor $1 < p < \infty$ , eindige normen, $f,g\ne0$ ) dan en slechts dan als $\abs f^p$ en $\abs g^q$ b.o. evenredig zijn.

Bewijs. De gevallen $\{p, q\} = \{1, \infty\}$ zijn rechtstreeks ( $\abs{fg} \leq \norm g_\infty\abs f$ b.o.). Zij $1 < p < \infty$ ; normeer $\norm f_p = \norm g_q = 1$ (homogeniteit; nul- of oneindige normen zijn triviaal). De ongelijkheid van Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ( $a, b \geq 0$ ; concaviteit van $\ln$ , zoals in Probleem 8.1) geeft puntsgewijs $\abs{f g} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ; integreer: $\norm{fg}_1 \leq \frac1p + \frac1q = 1$ . Gelijkheid dwingt b.o. gelijkheid in Young af, dat wil zeggen $\abs f^p = \abs g^q$ b.o. (na de normering; terugschalen geeft evenredigheid). ∎

Stelling 12.3 (Ongelijkheid van Minkowski)

Voor $1 \leq p \leq \infty$ is $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ .

Bewijs. $p = 1, \infty$ : de puntsgewijze respectievelijk b.o. driehoeksongelijkheid. Voor $1 < p < \infty$ nemen we aan dat $\norm{f+g}_p < \infty$ (anders levert $\abs{f+g}^p \leq 2^{p-1}(\abs f^p + \abs g^p)$ , uit de convexiteit van $t^p$ , dat het linkerlid eindig is zodra het rechterlid dat is). Dan is

\norm{f{+}g}_p^p \leq \int\abs f\,\abs{f{+}g}^{p-1} + \int\abs g\,\abs{f{+}g}^{p-1} \leq \bigl(\norm f_p + \norm g_p\bigr)\, \bigl\|\abs{f{+}g}^{p-1}\bigr\|_q

volgens Hölder, en $\norm{\abs{f+g}^{p-1}}_q = \norm{f+g}_p^{p/q}$ omdat $(p-1)q = p$ ; deel door $\norm{f+g}_p^{p/q}$ (als dat niet nul is; anders triviaal) en gebruik $p - \frac pq = 1$ . ∎

12.2 Volledigheid en haar metgezellen

Stelling 12.4 (Riesz–Fischer)

Voor $1 \leq p \leq \infty$ is $L^p(\mu)$ een banachruimte. Bovendien heeft elke in $L^p$ convergerende rij een deelrij die bijna overal convergeert (met een $L^p$ -dominant in het geval $p < \infty$ ).

Bewijs. $p = \infty$ : een $\norm\cdot_\infty$ -cauchyrij is, buiten één enkele nulverzameling (de vereniging van aftelbaar veel), uniform cauchy: ze convergeert daarbuiten uniform; klaar. Zij $p < \infty$ . Volgens Oefening 7.1(b) volstaat het absoluut convergente reeksen te sommeren: zij $\sum\norm{f_k}_p = M < \infty$ . Stel $G_n = \sum_{k \leq n}\abs{f_k}$ en $G = \sum_k\abs{f_k}$ (puntsgewijs in $[0,\infty]$ ): volgens Minkowski is $\norm{G_n}_p \leq M$ , en de monotone convergentie ( $G_n^p \nearrow G^p$ ) geeft $\int G^p \leq M^p$ : dus $G < \infty$ b.o., zodat de reeks $\sum f_k(x)$ voor b.o. $x$ absoluut convergeert; noem de som $S(x)$ (willekeurige waarde op de nulverzameling). Dan is $\abs{S - \sum_{k\leq n}f_k}^p \leq (2G)^p \in L^1$ , en de gedomineerde convergentie geeft $\norm{S - \sum_{k\leq n}f_k}_p \to 0$ : de reeks convergeert in $L^p$ .

De uitspraak over de deelrij: als $f_n \to f$ in $L^p$ , kies dan $n_k$ met $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$ ; de reeks $\sum(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ valt onder het vorige argument: ze convergeert b.o. absoluut, gedomineerd door een $G \in L^p$ , dus $f_{n_k} \to f_{n_1} + \sum(\cdots)$ b.o., en die b.o.-limiet moet (een vertegenwoordiger van) $f$ zijn (beide zijn $L^p$ -limieten). De dominant: $\abs{f_{n_k}} \leq \abs{f_{n_1}} + G$ . ∎

Opmerking 12.5

$L^p$ -convergentie impliceert geen b.o.-convergentie (de rij van de schrijfmachine, Oefening 12.3), en evenmin omgekeerd (wegglippende bulten): de twee convergentiewijzen zijn alleen via deelrijen en dominantie verbonden. De tegenvoorbeelden van Oefening 12.3 in het geheugen houden is het beste vaccin.

12.3 Dichtheidsstellingen

Stelling 12.6

Zij $1 \leq p < \infty$ .

De elementaire functies (met dragers van eindige maat) liggen dicht in $L^p(\mu)$ .
In $L^p(\R^d)$ liggen de continue functies met compacte drager, $\mathcal C_c(\R^d)$ , dicht.
De translatie is continu op $L^p(\R^d)$ : schrijven we $\tau_hf = f(\cdot - h)$ , dan is $\norm{\tau_hf - f}_p \to 0$ als $h \to 0$ .

Geen van de drie geldt voor $p = \infty$ .

Bewijs. (1) Voor $f \geq 0$ : de dyadische $s_n \nearrow f$ van Stelling 10.4 voldoen aan $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$ : gedomineerde convergentie. (Elke $s_n \leq f$ ligt in $L^p$ , en haar niveauverzamelingen hebben eindige maat waar de waarde positief is: $\mu(s_n \geq c) \leq c^{-p}\int f^p$ .) Splits een algemene $f$ in vier niet-negatieve delen.

(2) Volgens (1) volstaat het $\mathbf 1_A$ te benaderen, met $A$ borel en $\lambda_d(A) < \infty$ . De regulariteit (het bewijs verloopt als in Stelling 9.13) geeft een compacte $K \subseteq A \subseteq U$ met $U$ open en $\lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ ; de functie van Urysohn

\varphi(x) = \frac{d(x, \R^d\setminus U)}{d(x, \R^d\setminus U) + d(x, K)}

is continu, gelijk aan $1$ op $K$ en aan $0$ buiten $U$ , en kan compacte drager krijgen (krimp $U$ eerst tot een begrensde open verzameling). Dan is $\norm{\mathbf 1_A - \varphi}_p^p \leq \lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ .

(3) Voor $g \in \mathcal C_c$ : de uniforme continuïteit geeft $\norm{\tau_hg - g}_\infty \to 0$ , met dragers in één vaste compacte verzameling voor $\abs h \leq 1$ : dus $\norm{\tau_hg - g}_p \to 0$ . Voor algemene $f$ : kies $g \in \mathcal C_c$ met $\norm{f - g}_p < \varepsilon$ ; dan is $\norm{\tau_hf - f}_p \leq 2\norm{f - g}_p + \norm{\tau_hg - g}_p$ (translatie-invariantie van de norm).

Voor $p = \infty$ : uniforme benadering van $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ door continue functies is onmogelijk (de sprong), en $\norm{\tau_h\mathbf 1_{\intoo0\infty} - \mathbf 1_{\intoo0\infty}}_\infty = 1$ voor $h \neq 0$ . ∎

12.4 Convolutie en regularisatie

Stelling 12.7 (Ongelijkheid van Young)

Zij $1 \leq p \leq \infty$ , $f \in L^1(\R^d)$ en $g \in L^p(\R^d)$ . Dan is $f * g$ b.o. gedefinieerd, behoort tot $L^p$ en geldt

\norm{f * g}_p \leq \norm f_1\,\norm g_p .

Bewijs. $p = \infty$ : rechtstreekse afschatting. $p = 1$ : Stelling 11.9. Zij $1 < p < \infty$ en $q$ toegevoegd. Splits $\abs{f(y)} = \abs{f(y)}^{1/q}\cdot \abs{f(y)}^{1/p}$ en pas Hölder toe:

\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x{-}y)}\,\dd y \leq \Bigl(\int\abs f\Bigr)^{1/q} \Bigl(\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x - y)}^p\,\dd y\Bigr)^{1/p} .

Verhef tot de $p$ -de macht en integreer naar $x$ ; Tonelli op de tweede factor geeft $\norm f_1^{p/q}\cdot\norm f_1\norm g_p^p$ , oftewel $\norm{f*g}_p^p \leq \norm f_1^{1 + p/q}\norm g_p^p = (\norm f_1\norm g_p)^p$ — en de eindigheid van de Tonelli-integraal rechtvaardigt de b.o. absolute convergentie, net als in Stelling 11.9. ∎

Definitie 12.8 (Mollifiers)

De functie

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

met $c$ zo genormeerd dat $\int\rho = 1$ , is $\mathcal C^\infty$ op $\R^d$ : de kern van de zaak is dat $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ $\mathcal C^\infty$ is op $\R$ , met alle afgeleiden in $0^+$ gelijk aan $0$ (elke afgeleide is $P(1/t)\eu^{-1/t}$ voor een veelterm $P$ , en dat gaat naar $0$ ; inductie). Voor $\varepsilon > 0$ stellen we $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : met drager in $\bar B(0, \varepsilon)$ en nog steeds integraal $1$ .

Stelling 12.9 (Regularisatie)

Zij $1 \leq p < \infty$ en $f \in L^p(\R^d)$ . Dan geldt:

$f * \rho_\varepsilon \in \mathcal C^\infty(\R^d)$ , met $\partial^\alpha(f * \rho_\varepsilon) = f * \partial^\alpha\rho_\varepsilon$ ;
$\norm{f * \rho_\varepsilon - f}_p \to 0$ als $\varepsilon \to 0$ ;
bijgevolg ligt $\mathcal C^\infty_c(\R^d)$ dicht in $L^p(\R^d)$ .

Bewijs. (1) Differentiëren onder de integraal (Stelling 10.15) naar $x$ : voor $x$ in een bal $B$ is $\abs{\partial_{x_i}\rho_\varepsilon(x - y)} \leq C_\varepsilon\,\mathbf 1_{K}(y)$ met $K$ compact ( $y$ op afstand hoogstens $\varepsilon$ van $B$ ), en $\abs f\,\mathbf 1_K \in L^1$ (Hölder tegen $\mathbf 1_K$ ): de stelling is van toepassing; itereer voor hogere afgeleiden.

(2) Omdat $\int\rho_\varepsilon = 1$ :

(f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) = \int \bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y ,

en de integraalongelijkheid van Minkowski — of rechtstreeks: Hölder/Jensen met de kansmaat $\rho_\varepsilon\dd y$ en Tonelli — geeft

\norm{f*\rho_\varepsilon - f}_p^p \leq \int\Bigl(\int\abs{f(x-y) - f(x)}^p\dd x\Bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y = \int \norm{\tau_yf - f}_p^p\;\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

(de tussenstap: pas de ongelijkheid van Jensen, Oefening 12.10, toe op de binnenste $y$ -integraal en vervolgens Tonelli). De integrand heeft drager in $\norm y \leq \varepsilon$ en gaat daar uniform naar $0$ als $\varepsilon \to 0$ (Stelling 12.6(3)): dus gaat de hele uitdrukking naar $0$ .

(3) Benader $f$ door $g \in \mathcal C_c$ (Stelling 12.6(2)), en vervolgens $g$ door $g * \rho_\varepsilon \in \mathcal C_c^\infty$ (compacte drager: de som van de dragers). ∎

Voorbeeld 12.10 ( $\abs x$ gladstrijken, met snelheden)

Neem $f(x) = \abs x$ op $\R$ (lokaal $L^1$ ; de stelling is op elk begrensd venster van toepassing) en een symmetrische mollifier $\rho_\varepsilon$ . Dan is

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

$\mathcal C^\infty$ ; ver van de knik gebeurt er niets: voor $\abs x \geq \varepsilon$ is $\abs{x - y}$ lineair in $x$ op de drager van $\rho_\varepsilon$ , zodat $f_\varepsilon(x) = \abs x$ exact (de symmetrie doodt de correctie). Nabij $0$ kost het gladstrijken precies

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

de benaderingsfout blijft opgesloten in de $\varepsilon$ -omgeving van de singulariteit en is van haar grootte. Ondertussen is $f_\varepsilon'' \geq 0$ overal ( $f$ is convex, en convolutie tegen $\rho_\varepsilon \geq 0$ behoudt de convexiteit), met $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : de tweede afgeleide is een bult van massa $2$ geperst in een breedte $O(\varepsilon)$ , dus $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . Gladstrijken is een ruil: uniforme fout $O(\varepsilon)$ tegen explosie van de afgeleide $O(\varepsilon^{-1})$ — precies de wisselkoers die de kwantitatieve analyse (interpolatieongelijkheden, de ideeënkring van Probleem 12.1) formaliseert.

Gevolg 12.11 (Hoofdlemma van de variatierekening)

Zij $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^d)$ (integreerbaar op compacte verzamelingen) met $\int f\varphi = 0$ voor elke $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ . Dan is $f = 0$ b.o.

Bewijs. Leg een bal $B = B(0, R)$ vast en stel $g = f\mathbf 1_{B(0, R+1)} \in L^1$ . Voor $x \in B$ en $\varepsilon < 1$ is $(g * \rho_\varepsilon)(x) = \int f(y)\rho_\varepsilon(x - y)\dd y = 0$ , want de testfunctie $y \mapsto \rho_\varepsilon(x-y)$ ligt in $\mathcal C_c^\infty$ . Maar $g * \rho_\varepsilon \to g$ in $L^1$ (Stelling 12.9): dus $g = 0$ b.o. op $B$ ; put $\R^d$ uit. ∎

12.5 De geografie van $L^p$

Propositie 12.12

(a) Is $\mu(X) < \infty$ en $1 \leq p \leq q \leq \infty$ , dan is $L^q \subseteq L^p$ met $\norm f_p \leq \mu(X)^{\frac1p - \frac1q}\,\norm f_q$ . (b) Op $\R^d$ (oneindige maat) zijn er geen inclusies: voor $p \neq q$ bestaan er functies in $L^p\setminus L^q$ . (c) (Interpolatie) Is $p < r < q$ en wordt $\alpha \in \intoo01$ bepaald door $\frac1r = \frac\alpha p + \frac{1 - \alpha}q$ , dan is

\norm f_r \leq \norm f_p^{\alpha}\,\norm f_q^{1 - \alpha} ;

in het bijzonder is $L^p \cap L^q \subseteq L^r$ .

Bewijs. (a) Hölder met de exponenten $\frac qp$ en zijn toegevoegde: $\int\abs f^p\cdot 1 \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\norm 1_{(q/p)'} = \norm f_q^p\,\mu(X)^{1 - p/q}$ (het geval $q = \infty$ rechtstreeks). (b) Nabij $0$ en nabij $\infty$ ijken de machten $x^{-\alpha}$ de zaak: Oefening 12.2. (c) Schrijf $\abs f^r = \abs f^{r\alpha}\abs f^{r(1-\alpha)}$ en pas Hölder toe met het toegevoegde paar $\frac p{r\alpha}$ , $\frac q{r(1-\alpha)}$ (toegevoegd precies wegens de definitie van $\alpha$ ): $\int\abs f^r \leq \norm f_p^{r\alpha}\norm f_q^{r(1 - \alpha)}$ . ∎

Methode 12.13

De $L^p$ -gereedschapskist, zoals ze hieronder overal gebruikt wordt: om een identiteit of ongelijkheid voor alle $f \in L^p$ te bewijzen — bewijs haar op een dichte klasse ( $\mathcal C_c^\infty$ via Stelling 12.9) en breid uit met continuïteit (Stelling 7.2, want beide leden zijn $L^p$ -continu); om $f = 0$ te bewijzen, test tegen $\mathcal C_c^\infty$ (Gevolg 12.11); om gladheid te winnen, convolueer; om exponenten te ruilen, Hölder en interpolatie. De fouriertheorie van Hoofdstuk 14 is één lange toepassing van deze methode.

12.6 Oefeningen

Oefening 12.1 ★

(a) Formuleer en bewijs de ongelijkheid van Cauchy–Schwarz in $L^2(\mu)$ als het geval $p = q = 2$ van Hölder. (b) Toon aan dat op een kansruimte $p \mapsto \norm f_p$ niet-dalend is. (c) Wanneer is Hölder een gelijkheid voor $p = 1$ , $q = \infty$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.1.

(a) $p = q = 2$ in Stelling 12.2: $\abs{\int f\bar g\,\dd\mu} \leq \int\abs{fg} \leq \norm f_2\norm g_2$ — Cauchy–Schwarz, met gelijkheid dan en slechts dan als $\abs f$ en $\abs g$ evenredig zijn en de fasen uitgelijnd.

(b) Op een kansruimte, voor $p \leq q$ : pas Jensen (Oefening 12.10) met de convexe $\Phi(t) = \abs t^{q/p}$ toe op de functie $\abs f^p$ : $\bigl(\int\abs f^p\bigr)^{q/p} \leq \int\abs f^q$ , dat wil zeggen $\norm f_p \leq \norm f_q$ .

(c) $\int\abs{fg} = \norm f_1\norm g_\infty$ dan en slechts dan als $\abs{g} = \norm g_\infty$ b.o. op $\{f \neq 0\}$ (de ongelijkheid $\abs{fg} \leq \abs f\norm g_\infty$ moet een b.o. gelijkheid zijn).

Oefening 12.2 ★

Voor welke $p \in \intco1\infty$ behoren de volgende functies tot $L^p$ ?

x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01},\qquad x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty},\qquad \frac{1}{x^{1/2}(1 + \abs{\ln x})}\ \text{op } \intoo01, \qquad \frac1{1 + \abs x}\ \text{op } \R .

Besluit: op $\intoo01$ is een kleine $p$ makkelijker, op $\intoo1\infty$ een grote $p$ , en op $\R$ bevat geen enkele $L^p$ een andere.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.2.

$\int_0^1 x^{-p/2}\dd x < \infty$ dan en slechts dan als $p < 2$ : de eerste ligt in $L^p$ voor $p \in \intco12$ . $\int_1^\infty x^{-p/2}\dd x < \infty$ dan en slechts dan als $p > 2$ : de tweede voor $p \in \intoo2\infty$ (en $p = \infty$ : ze is begrensd — neem dat geval mee). Derde: voor $p < 2$ gedomineerd door $x^{-p/2}$ , dus integreerbaar; voor $p = 2$ substitueer $u = -\ln x$ : $\int_0^1\frac{\dd x}{x(1 + \abs{\ln x})^2} = \int_0^\infty\frac{\dd u}{(1 + u)^2} < \infty$ ; voor $p > 2$ domineert de macht: divergent. Dus $p \in \intcc12$ . Vierde: $\int_\R\frac{\dd x}{(1 + \abs x)^p} < \infty$ dan en slechts dan als $p > 1$ ; begrensd, dus ook $L^\infty$ : $p \in \intoc1\infty$ . Moraal: integreerbaarheid in $0$ houdt van kleine $p$ , in $\infty$ van grote $p$ ; combineer je beide obstructies, dan is er geen enkele inclusie tussen de ruimten $L^p(\R)$ .

Oefening 12.3 ★★

(De schrijfmachine) Nummer de dyadische intervallen $I_1 = \intcc01$ , $I_2 = \intcc0{\frac12}$ , $I_3 = \intcc{\frac12}1$ , $I_4 = \intcc0{\frac14}$ , … en stel $f_n = \mathbf 1_{I_n}$ . (a) Toon aan dat $f_n \to 0$ in elke $L^p(\intcc01)$ met $p < \infty$ , maar dat $(f_n(x))$ voor elke $x \in \intcc01$ divergeert. (b) Geef de b.o. convergente deelrij die Stelling 12.4 belooft. (c) Geef omgekeerd een rij die b.o. convergeert maar niet in $L^1$ , en één die in $L^1$ convergeert maar in geen enkele $L^p$ met $p > 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.3.

(a) $\norm{f_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (op dyadisch niveau $k$ is de lengte $2^{-k}$ ). Maar elke $x$ ligt in één interval van elk dyadisch niveau: $f_n(x) = 1$ voor oneindig veel $n$ en $= 0$ voor oneindig veel $n$ (de intervallen van hetzelfde niveau die $x$ niet bevatten): in geen enkel punt convergentie.

(b) $f_{n_k} = \mathbf 1_{\intcc0{2^{-k}}}$ (het eerste interval van elk niveau) convergeert naar $0$ in elke $x > 0$ : dus b.o.

(c) B.o. maar niet in $L^1$ : $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ b.o., met integraal $1$ . In $L^1$ maar in geen enkele $L^p$ met $p > 1$ : $g_n = \eu^n\,\mathbf 1_{(0,\ \eu^{-n}/n)}$ , want $\norm{g_n}_1 = \frac1n \to 0$ terwijl $\norm{g_n}_p^p = \eu^{(p-1)n}/n \to \infty$ voor elke $p > 1$ .

Oefening 12.4 ★★

Zij $\mu(X) < \infty$ en $f \in L^\infty(\mu)$ met $f \neq 0$ . Toon aan dat $\norm f_p \to \norm f_\infty$ als $p \to \infty$ . (Bovengrens via (a) van Propositie 12.12; ondergrens door te integreren over $\{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ , van positieve maat.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.4.

Boven: $\norm f_p \leq \mu(X)^{1/p}\norm f_\infty$ (Propositie 12.12(a) met $q = \infty$ ), en $\mu(X)^{1/p} \to 1$ . Onder: voor $\varepsilon > 0$ heeft $A = \{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ maat $\mu(A) > 0$ (definitie van het essentiële supremum), en

\norm f_p \geq \Bigl(\int_A \abs f^p\Bigr)^{1/p} \geq (\norm f_\infty - \varepsilon)\,\mu(A)^{1/p} \xrightarrow[p\to\infty]{} \norm f_\infty - \varepsilon .

Oefening 12.5 ★★

(a) Waar precies gebruikt het bewijs van Stelling 12.6(3) dat $p < \infty$ ? (b) Toon aan dat $f \in L^\infty(\R)$ voldoet aan $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ dan en slechts dan als $f$ een uniform continue vertegenwoordiger heeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.5.

(a) Tweemaal: de omzetting $\norm{\tau_hg - g}_p \leq C^{1/p}\norm{\tau_hg - g}_\infty$ (drager van eindige maat) ontaardt voor $p = \infty$ enkel doordat de dichtheid van $\mathcal C_c$ daar faalt — dat is het echte gat: stap (2) van Stelling 12.6 heeft geen $L^\infty$ -analogon.

(b) Heeft $f$ een uniform continue vertegenwoordiger $g$ , dan is $\norm{\tau_hf - f}_\infty = \sup_x\abs{g(x - h) - g(x)} \to 0$ . Omgekeerd, stel dat $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ . De gladgestreken functies $f_\varepsilon = f * \rho_\varepsilon$ zijn continu, en

\norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \sup_{\norm y \leq \varepsilon}\norm{\tau_yf - f}_\infty \longrightarrow 0

(de convolutie is een gemiddelde van translaten). Elke $f_\varepsilon$ is uniform continu ( $\norm{\tau_hf_\varepsilon - f_\varepsilon}_\infty \leq \norm{\tau_hf - f}_\infty$ , door te middelen), en een uniforme limiet van uniform continue functies is dat weer: dus $f$ valt b.o. samen met een uniform continue functie.

Oefening 12.6 ★★

Zij $p, q$ toegevoegd, $f \in L^p(\R^d)$ en $g \in L^q(\R^d)$ . Toon aan dat $f * g$ overal gedefinieerd en begrensd is, met $\norm{f*g}_\infty \leq \norm f_p\norm g_q$ , en bovendien uniform continu. (Continuïteit van de translatie in $L^p$ ; behandel $p \in \{1, \infty\}$ apart — gebruik voor $p = \infty$ de continuïteit van de translatie op de $L^1$ -factor.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.6.

Volgens Hölder ligt voor elke $x$ de integrand $y \mapsto f(x - y)g(y)$ in $L^1$ , met $\abs{(f*g)(x)} \leq \norm f_p\norm g_q$ : overal gedefinieerd en begrensd. Uniforme continuïteit ( $p < \infty$ ):

\abs{(f*g)(x + h) - (f*g)(x)} = \Bigl|\int\bigl(\tau_{-h}f - f\bigr)(x - y)\,g(y)\dd y\Bigr| \leq \norm{\tau_{-h}f - f}_p\,\norm g_q \xrightarrow[h\to0]{} 0,

uniform in $x$ (Stelling 12.6(3)). Is $p = \infty$ , dan is $q = 1$ : schrijf $f * g = g * f$ en voer dezelfde afschatting uit met de translatie werkend op $g \in L^1$ .

Oefening 12.7 ★★

Zij $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\intoo ab)$ met $\int f\varphi' = 0$ voor elke $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\intoo ab)$ . Toon aan dat $f$ b.o. gelijk is aan een constante. (Leg $\chi \in \mathcal C_c^\infty$ vast met $\int\chi = 1$ ; elke $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ met $\int\psi = 0$ is een $\varphi'$ ; schrijf een algemene testfunctie als $\psi + (\int\psi)\chi$ en pas Gevolg 12.11 toe op $f - c$ met $c = \int f\chi$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.7.

Leg $\chi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ vast met $\int\chi = 1$ en stel $c = \int f\chi$ . Zij $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ willekeurig en $\psi = \varphi - \bigl(\int\varphi\bigr)\chi$ : dan is $\int\psi = 0$ , zodat $\Phi(x) = \int_a^x\psi$ een $\Phi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ definieert (ze verdwijnt bij beide uiteinden: bij $a$ triviaal, bij $b$ omdat de totale integraal $0$ is) met $\Phi' = \psi$ . De hypothese geeft $\int f\psi = \int f\Phi' = 0$ , dus

\int f\varphi = \Bigl(\int\varphi\Bigr)\int f\chi = \int c\,\varphi \quad\text{voor elke } \varphi: \qquad \int(f - c)\varphi = 0 .

Volgens Gevolg 12.11 (gelokaliseerd op $\intoo ab$ ) is $f = c$ b.o.

Oefening 12.8 ★★★

(Gladde Urysohn) Zij $K \subseteq U \subseteq \R^d$ met $K$ compact en $U$ open. Construeer $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ met $0 \leq \varphi \leq 1$ , $\varphi = 1$ op $K$ en $\operatorname{supp}\varphi \subseteq U$ . (Strijk de indicator van de $\delta$ -omgeving $K_\delta$ van $K$ glad met $\rho_{\delta/2}$ , voor kleine $\delta$ .) Leid er een $\mathcal C^\infty$ -partitie van de eenheid uit af voor een compacte verzameling die door eindig veel open verzamelingen wordt overdekt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.8.

Zij $3\delta < d(K, \R^d\setminus U)$ (positief: Oefening 6.6(b); is $U = \R^d$ , dan voldoet elke $\delta$ ), $K_\delta = \{x : d(x, K) \leq \delta\}$ , en

\varphi = \mathbf 1_{K_\delta} * \rho_{\delta/2} .

Dan is $\varphi \in \mathcal C^\infty$ (Stelling 12.9(1); de indicator ligt in $L^1$ ), $0 \leq \varphi \leq 1$ ( $\int\rho = 1$ ), $\varphi = 1$ op $K$ (voor $x \in K$ is $\bar B(x, \delta/2) \subseteq K_\delta$ , zodat de convolutie $\rho$ volledig integreert), en $\operatorname{supp}\varphi \subseteq K_{3\delta/2} \subseteq U$ : compacte drager ( $K_\delta$ is begrensd). Partitie van de eenheid: is $K \subseteq U_1\cup\dots\cup U_m$ , kies dan (met compactheid) compacte $K_i \subseteq U_i$ met $K \subseteq \bigcup \mathring K_i$ , neem $\varphi_i$ als hierboven voor $(K_i, U_i)$ en stel $\psi_i = \varphi_i\prod_{j <i}(1 - \varphi_j)$ : elke $\psi_i$ ligt in $\mathcal C_c^\infty(U_i)$ , en $\sum_i\psi_i = 1 - \prod_i(1 - \varphi_i) = 1$ op $K$ .

Oefening 12.9 ★★

Met interpolatie (Propositie 12.12(c)): (a) toon aan dat $L^1(\R)\cap L^\infty(\R) \subseteq L^p(\R)$ voor alle $p$ , met $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ ; (b) toon aan dat $f \mapsto \norm f_p$ voor vaste $f$ log-convex is in $\frac1p$ , en geef een voorbeeld waarin $f \in L^p$ precies voor $p$ in een gegeven interval $(p_0, p_1)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.9.

(a) De interpolatie-exponent voor $(p_0, q_0) = (1, \infty)$ bij $r = p$ is $\alpha = \frac1p$ : Propositie 12.12(c) geeft $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ .

(b) Logaritmen nemen in Propositie 12.12(c): $\ln\norm f_r \leq \alpha\ln\norm f_p + (1-\alpha)\ln\norm f_q$ , waarbij $\frac1r$ dezelfde convexe combinatie van $\frac1p, \frac1q$ is: dus is $\frac1p \mapsto \ln\norm f_p$ convex. Voorbeeld met $L^p$ -lidmaatschap precies op $\intoo{p_0}{p_1}$ :

f(x) = x^{-1/p_1}\,\mathbf 1_{\intoo01}(x) + x^{-1/p_0}\,\mathbf 1_{\intco1\infty}(x):

de eerste term ligt in $L^p$ precies voor $p < p_1$ , de tweede precies voor $p > p_0$ .

Oefening 12.10 ★★

(Jensen) Zij $\mu$ een kansmaat, $f \in L^1(\mu)$ reëel en $\Phi \colon \R \to \R$ convex. Toon aan dat

\Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) \leq \int \Phi\circ f\,\dd\mu

(steunlijn van $\Phi$ in het punt $m = \int f$ ). Leid de ongelijkheid tussen het rekenkundig en het meetkundig gemiddelde af, en de monotonie van $p \mapsto \norm f_p$ uit Oefening 12.1(b).

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.10.

Zij $m = \int f\,\dd\mu \in \R$ . De convexiteit levert een steunlijn in $m$ : er is een $s$ met $\Phi(t) \geq \Phi(m) + s(t - m)$ voor alle $t$ (neem $s$ tussen de eenzijdige afgeleiden, die voor convexe functies bestaan). Substitueer $t = f(x)$ en integreer tegen de kansmaat $\mu$ :

\int\Phi\circ f\,\dd\mu \geq \Phi(m) + s\Bigl(\int f - m\Bigr) = \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr)

(meetbaarheid: $\Phi$ is continu; de integreerbaarheid van het negatieve deel van $\Phi\circ f$ wordt door de steunlijn gewaarborgd). Rekenkundig–meetkundig: neem op een eindige verzameling met gewichten $w_i$ $\Phi = \exp$ en $f = \sum(\ln a_i)\mathbf 1_i$ : $\exp\bigl(\sum w_i\ln a_i\bigr) \leq \sum w_ia_i$ , dat wil zeggen $\prod a_i^{w_i} \leq \sum w_ia_i$ . De monotonie van de norm is Oefening 12.1(b).

Oefening 12.11 ★★★

(Convolutieongelijkheid van Young) Zij $1 \leq p, q, r \leq \infty$ met $\frac1p + \frac1q = 1 + \frac1r$ , en $f \in L^p(\R^d)$ , $g \in L^q(\R^d)$ . (a) Bewijs $\norm{f * g}_r \leq \norm f_p\,\norm g_q$ . (Schrijf, met de uit $p, q, r$ berekende toegevoegde exponenten, $\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{\,p(1/p - 1/r)}\cdot\abs g^{\,q(1/q - 1/r)},$ en pas de ongelijkheid van Hölder met drie factoren toe, met de exponenten $r$ , $\frac{pr}{r - p}$ , $\frac{qr}{r - q}$ ; integreer daarna naar $x$ met Tonelli.) (b) Ga de drie al bekende bijzondere gevallen na: $r = \infty$ (Hölder, Oefening 12.6); $q = 1$ ( $L^p$ -stabiliteit van de convolutie met een integreerbare kern); $p = q = 1$ ( $L^1$ is een convolutiealgebra, Stelling 11.9). (c) Waarom is er geen ongelijkheid met $\frac1p + \frac1q < 1 + \frac1r$ ? (Test op de dilataties $f_\lambda(x) = f(\lambda x)$ en vergelijk de schalingen van beide leden.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.11.

(a) Neem eerst $p, q, r < \infty$ en $f, g \geq 0$ (vervang anders door absolute waarden). De drie exponenten $r$ , $\alpha = \frac{pr}{r-p}$ en $\beta = \frac{qr}{r-q}$ voldoen aan $\frac1r + \frac1\alpha + \frac1\beta = \frac1r + \frac1p - \frac1r + \frac1q - \frac1r = 1$ (de schalingsrelatie). Splits, voor vaste $x$ ,

f(y)g(x-y) = \bigl[f(y)^pg(x-y)^q\bigr]^{1/r}\cdot f(y)^{1 - p/r}\cdot g(x-y)^{1 - q/r},

en Hölder met de drie exponenten geeft

(f*g)(x) \leq \Bigl(\int f^pg(x-\cdot)^q\Bigr)^{1/r} \norm f_p^{\,p/\alpha\cdot\alpha/p}\cdots

preciezer: de tweede factor is $\bigl(\int f^{(1-p/r)\alpha} \bigr)^{1/\alpha} = \norm f_p^{p(1/p - 1/r)}$ omdat $(1 - \frac pr)\alpha = p$ , en de derde net zo $\norm g_q^{q(1/q - 1/r)}$ . Verhef tot de $r$ -de macht en integreer naar $x$ (Tonelli op de eerste factor):

\norm{f*g}_r^r \leq \norm f_p^p\,\norm g_q^q\cdot \norm f_p^{\,rp(1/p - 1/r)}\,\norm g_q^{\,rq(1/q - 1/r)} = \norm f_p^r\,\norm g_q^r .

De grensgevallen ( $r = \infty$ , of een exponent gelijk aan zijn grens) zijn gewoon Hölder of rechtstreekse afschattingen.

(b) $r = \infty$ dwingt $q = p'$ af: $\abs{f*g(x)} \leq \norm f_p\norm g_{p'}$ — Hölder na translatie en spiegeling. $q = 1$ geeft $r = p$ : $\norm{f*g}_p \leq \norm g_1\norm f_p$ , het werkpaard van het gladstrijken (de motor van Stelling 12.9). $p = q = 1$ geeft $r = 1$ : de convolutiealgebra (Stelling 11.9).

(c) Vervang $f, g$ door $f_\lambda = f(\lambda\cdot)$ en $g_\lambda = g(\lambda\cdot)$ : dan is $f_\lambda*g_\lambda = \lambda^{-d}(f*g)(\lambda\cdot)$ , en de normen vergeleken:

\text{linkerlid} \sim \lambda^{-d - d/r}, \qquad \text{rechterlid} \sim \lambda^{-d/p - d/q} :

een ongelijkheid die voor alle $f, g$ geldt, dwingt af dat de twee schalingsexponenten samenvallen, dus dat $1 + \frac1r = \frac1p + \frac1q$ exact. Elke andere combinatie sterft bij $\lambda \to 0$ of $\lambda \to \infty$ : de relatie van Young is geen gemakzucht maar een schalingswet.

Oefening 12.12 ★★

(Gelijkheidsgevallen) (a) Toon aan dat in de ongelijkheid van Hölder $\int\abs{fg} \leq \norm f_p\norm g_q$ ( $1 < p < \infty$ ) gelijkheid geldt dan en slechts dan als $\abs f^p$ en $\abs g^q$ b.o. evenredig zijn. (Volg het gelijkheidsgeval van de ongelijkheid van Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , dat $a^p = b^q$ luidt.) (b) Toon aan dat in de ongelijkheid van Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ ( $1 < p < \infty$ ) gelijkheid met $f, g \neq 0$ afdwingt dat $g = cf$ b.o., met $c > 0$ . (c) Contrasteer met $p = 1$ en $p = \infty$ : beschrijf de (veel grotere) gelijkheidsgevallen daar, aan de hand van voorbeelden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.12.

(a) Normeer $\norm f_p = \norm g_q = 1$ . Het bewijs van Hölder integreert de ongelijkheid van Young $\abs{fg} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ; gelijkheid van de integralen dwingt b.o. gelijkheid in Young af, wat (strikte convexiteit van $\exp$ ; gelijkheid dan en slechts dan als $a^p = b^q$ ) betekent dat $\abs f^p = \abs g^q$ b.o. De normering terugdraaien geeft $\abs f^p\norm g_q^q = \abs g^q\norm f_p^p$ b.o. — evenredigheid.

(b) Minkowski bestaat uit twee toepassingen van Hölder, op $\abs{f + g}^{p-1}\abs f$ en $\abs{f+g}^{p-1}\abs g$ ; gelijkheid dwingt in beide de evenredigheid van (a) af: $\abs f^p$ en $\abs g^p$ zijn elk evenredig met $\abs{f+g}^{(p-1)q} = \abs{f+g}^p$ , dus $\abs g = t\abs f$ b.o. voor een constante $t \geq 0$ ; en de aanvankelijke puntsgewijze driehoeksongelijkheid $\abs{f + g} \leq \abs f + \abs g$ moet eveneens een b.o. gelijkheid zijn, wat voor complexe waarden betekent dat $f$ en $g$ b.o. hetzelfde argument hebben waar ze allebei niet nul zijn. Samen: $g = tf$ b.o., met $t > 0$ (beide zijn niet nul).

(c) $p = 1$ : gelijkheid in $\int\abs{f + g} = \int\abs f + \int\abs g$ geldt zodra $f$ en $g$ hetzelfde tekenpatroon hebben (b.o. hetzelfde argument) — geen evenredigheid vereist: $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ en $g = \mathbf 1_{\intcc02}$ voldoen. $p = \infty$ : $\norm{f+g}_\infty = \norm f_\infty + \norm g_\infty$ zodra de twee functies verenigbaar pieken in een gemeenschappelijk punt (of langs een gemeenschappelijke rij): $f = g$ nabij één punt volstaat, hoe ze zich elders ook gedragen. De strikte convexiteit van de $L^p$ -ballen voor $1 < p < \infty$ — en het falen ervan in de randgevallen — is precies wat deze gelijkheidsgevallen zichtbaar maken.

12.7 Probleem: de ongelijkheid van Hardy

Probleem 12.1

Weekendopgave — de ongelijkheid van Hardy en haar scherpe constante

Voor $f \in L^p(\intoo0{+\infty})$ met $1 < p < \infty$ definiëren we de operator van Hardy

(Hf)(x) = \frac1x\int_0^x f(t)\,\dd t .

De ongelijkheid van Hardy (1920) beweert

\norm{Hf}_p \;\leq\; \frac{p}{p-1}\,\norm f_p ,

en de constante $\frac p{p-1}$ is optimaal en wordt niet bereikt. Deze opgave bewijst alles en breidt daarna uit naar reeksen.

Deel I — De ongelijkheid. Neem eerst $f \geq 0$ continu met compacte drager in $\intoo0{+\infty}$ , en stel $F(x) = \int_0^xf$ .

Toon aan dat $Hf \in L^p$ : nabij $0$ verdwijnt $F$ op een omgeving van $0$ ; nabij $\infty$ is $F$ begrensd, dus $(Hf)(x) = O(1/x)$ , en $x \mapsto \frac1x$ behoort tot $L^p(\intoo1{+\infty})$ voor $p > 1$ .
Integreer partieel om aan te tonen dat

$\int_0^\infty \Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x .$

(Differentieer $x^{1-p}F^p$ ; de randtermen verdwijnen — rechtvaardig beide uiteinden.)
Pas Hölder toe op het rechterlid en leid $\norm{Hf}_p \leq \frac p{p-1}\norm f_p$ af voor dergelijke $f$ .
Breid uit tot heel $L^p$ : construeer voor $f \geq 0$ functies $f_n$ , continu met compacte drager in $\intoo0{+\infty}$ , met $0 \leq f_n \nearrow f$ b.o. (knot af en benader daarna monotoon — rechtvaardig de constructie); dan is $Hf_n \nearrow Hf$ puntsgewijs (monotone convergentie binnen het gemiddelde) en draagt de monotone convergentie de ongelijkheid over op de limiet. Besluit voor getekende of complexe $f$ met $\abs{Hf} \leq H\abs f$ .

Deel II — Optimaliteit.

Stel voor $A > 1$ $f_A(t) = t^{-1/p}\,\mathbf 1_{\intcc1A}(t)$ . Bereken $\norm{f_A}_p^p = \ln A$ en, voor $1 \leq x \leq A$ ,

$(Hf_A)(x) = \frac p{p-1}\;x^{-1/p}\, \bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).$
Leid $\liminf_{A\to\infty} \norm{Hf_A}_p/ \norm{f_A}_p \geq \frac{p}{p-1}$ af en besluit dat de constante optimaal is.
Toon aan dat gelijkheid $\norm{Hf}_p = \frac p{p-1}\norm f_p$ met $f \neq 0$ onmogelijk is. (Volg het gelijkheidsgeval van Hölder in vraag 3: het zou een gedrag $f = cx^{-1/p}$ afdwingen, dat niet in $L^p$ ligt.)

Deel III — De discrete ongelijkheid.

Vergelijk voor een niet-stijgende $g \geq 0$ op $(0,\infty)$ en $a_n = g(n)$ de grootheden $\sum a_n^p$ en $\int g^p$ , en de bijbehorende $H$ -gemiddelden, om uit Deel I de discrete ongelijkheid van Hardy af te leiden: voor $a_n \geq 0$ is

$\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}\Bigr)^{p} \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p-1}\Bigr)^{p}\,\sum_{n\geq1}a_n^p$

— bewijs haar eerst voor niet-stijgende $(a_n)$ via de bovenstaande vergelijking, en herleid daarna het algemene geval tot het niet-stijgende met een herschikking (neem, met een rechtvaardiging van één regel, aan dat $(a_n)$ dalend sorteren het linkerlid alleen kan vergroten terwijl het rechterlid onveranderd blijft).
Leid af: is $\sum a_n^p < \infty$ , dan liggen de cesàrogemiddelden van $(a_n)$ opnieuw in $\ell^p$ — en geef een voorbeeld ( $p = 2$ ) waarin $(a_n) \in \ell^2$ maar $a_n$ niet sommeerbaar is, terwijl Hardy de gemiddelden toch beheerst.

Deel IV — Epiloog.

Toon aan dat de ongelijkheid van Hardy faalt voor $p = 1$ : bereken $Hf$ voor $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ en merk op dat $Hf \notin L^1$ . Waar breekt het bewijs?

Deel V — De maximaalfunctie en de differentiatiestelling van Lebesgue. Hardy middelt vanaf de oorsprong; Hardy en Littlewood middelen rond elk punt. Voor $f \in L^1(\R)$ definiëren we

Mf(x) = \sup_{r>0}\ \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f\,\dd\lambda .

(Vitali, eindige versie) Zij $B_1, \dots, B_N$ open intervallen. Toon aan dat er een disjuncte deelfamilie $B_{i_1}, \dots, B_{i_k}$ bestaat met $\bigcup_jB_j \subseteq \bigcup_l3B_{i_l}$ , waarbij $3B$ het interval is met hetzelfde middelpunt en de drievoudige lengte (gulzig: kies telkens het langste interval dat disjunct is van de reeds gekozen).
(Zwak type $(1,1)$ ) Toon aan dat voor elke $t > 0$

$\lambda\bigl(\{Mf > t\}\bigr) \;\leq\; \frac3t\,\norm f_1 :$

elke $x$ met $Mf(x) > t$ bezit een gecentreerd interval $B_x$ met $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ ; neem een compacte $K \subseteq \{Mf > t\}$ (inwendige regulariteit), overdek haar met eindig veel $B_x$ , pas vraag 11 toe en put uit.
Bereken $M\mathbf 1_{\intcc01}(x)$ voor $x > 1$ en leid af dat $Mf \notin L^1$ voor elke $f \neq 0$ ( $Mf(x) \geq \frac c{\abs x}$ op oneindig): bij $p = 1$ is de zwakke ongelijkheid van vraag 12 de best mogelijke uitspraak.
(Sterk type voor $p > 1$ ) Voor $f \in L^p$ : splits $f = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2} + f\,\mathbf 1_{\abs f \leq t/2}$ , merk op dat $Mf \leq M\bigl(f\mathbf 1_{\abs f > t/2}\bigr) + \frac t2$ , en combineer vraag 12 met de laagjesformule (Propositie 11.8) en Tonelli om

$\norm{Mf}_p^p \;\leq\; \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p$

te bewijzen. (De explosie als $p \downarrow 1$ is het falen van vraag 13, gekwantificeerd.)
(Differentiatiestelling van Lebesgue) Bewijs: voor $f \in L^1(\R)$ is

$\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f\,\dd\lambda \;\longrightarrow\; f(x) \qquad (r \to 0)\quad\text{voor b.o.\ }x .$

(Duidelijk voor continue $f$ . Schrijf in het algemeen $f = g + h$ met $g$ continu met compacte drager en $\norm h_1 < \varepsilon$ (Stelling 12.6); de verzameling waar de $\limsup_{r\to0}$ van de gemiddelde oscillatie $\delta$ overtreft, ligt binnen $\{Mh > \delta/2\} \cup \{\abs h > \delta/2\}$ , van maat $O(\varepsilon/\delta)$ ; laat $\varepsilon \to 0$ gaan, en daarna $\delta \to 0$ langs een rij.)
Leid af: (a) bijna elk punt is een lebesguepunt van $f$ ; (b) voor $f \in L^1$ is de primitieve $F(x) = \int_0^xf$ b.o. differentieerbaar met $F' = f$ b.o. — de integraalhelft van de hoofdstelling van de integraalrekening in de wereld van Lebesgue, die de cirkel sluit die de trapfunctie (Probleem 9.1) opende door te tonen dat de andere helft kan falen.
(Dichtheidspunten) Toon voor meetbare $A \subseteq \R$ aan dat bijna elke $x \in A$ voldoet aan $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ : meetbare verzamelingen zijn lokaal vol in bijna al hun punten. Schets in twee regels hoe dit alweer een ander bewijs van de stelling van Steinhaus (Oefening 9.8) oplevert.

Deel VI — Variaties op het thema van het middelen.

(Gewogen Hardy) Toon voor $\alpha < p - 1$ en $f \geq 0$ aan dat

$\int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^{p} x^{\alpha}\,\dd x \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p - 1 - \alpha}\Bigr)^{p} \int_0^\infty f(x)^p\,x^{\alpha}\,\dd x$

met dezelfde partiële integratie, en ga na dat het grensgeval $\alpha = p - 1$ werkelijk verboden is (pas het tegenvoorbeeld van vraag 10 aan).
(De toegevoegde operator) Zij $H^*f(x) = \int_x^{\infty}\frac{f(t)}t\,\dd t$ . Toon aan dat $\langle Hf, g\rangle = \langle f, H^*g\rangle$ voor niet-negatieve $f, g$ (Tonelli), en bewijs $\norm{H^*f}_p \leq p\,\norm f_p$ (rechtstreeks met partiële integratie, of uit Hardy op de toegevoegde exponent via dualiteit — let op welke exponent welke constante oplevert).
(Een ongelijkheid van hilberttype) Leid af dat voor niet-negatieve $f \in L^p$ , $g \in L^q$

$\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \frac{f(x)\,g(y)}{\max(x,y)}\,\dd x\,\dd y \;\leq\; (p + q)\,\norm f_p\,\norm g_q$

(splits langs $y < x$ / $y \geq x$ : elke helft is een paring van de ene functie tegen een Hardy-getransformeerde van de andere).
(Optimaliteit, discreet) Toon aan dat ook de constante $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ van vraag 8 optimaal is: test op $a_n = n^{-1/p}\,\mathbf 1_{n \leq N}$ , vergelijk beide leden met integralen en laat $N \to \infty$ gaan (de discrete spiegel van Deel II).
(Synthese) Drie middelingsoperatoren zijn in deze opgave opgedoken: die van Hardy, $H$ , het discrete cesàrogemiddelde en de maximaaloperator $M$ . Formuleer in één regel per stuk wat hun begrensdheid zegt, merk op dat alle drie precies bij $p = 1$ falen, en verklaar waarom het driemaal hetzelfde falen is (de harmonische staart $\frac1x$ ).

Deel VII — De ongelijkheid van Carleman, en hoe scherp scherp is.

(Ongelijkheid van Carleman) Zij $a_n \geq 0$ met $\sum a_n < \infty$ . Pas de discrete ongelijkheid van Hardy van vraag 8 toe op $b_n = a_n^{1/p}$ , gebruik de ongelijkheid tussen het rekenkundig en het meetkundig gemiddelde en laat $p \to \infty$ gaan (toon aan dat $p \mapsto \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ daalt naar $\eu$ ) om

$\sum_{n\geq1}\bigl(a_1a_2\cdots a_n\bigr)^{1/n} \;\leq\; \eu\,\sum_{n\geq1}a_n$

te verkrijgen: de meetkundige gemiddelden van een sommeerbare rij zijn opnieuw sommeerbaar, tegen een prijs van hoogstens $\eu$ .
(De constante $\eu$ is optimaal) Test $a_n = \frac1n\,\mathbf 1_{n\leq N}$ : toon met de Stirling-insluiting van Probleem 11.1 aan dat $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n\bigl(1 + O\bigl(\frac{\ln n}n\bigr)\bigr)$ , leid af dat beide leden van Carleman als $\eu\ln N$ groeien, en besluit dat geen enkele constante kleiner dan $\eu$ kan werken. (Merk het patroon op: de optimalisatoren van Hardy en van Carleman zijn beide de rijen van harmonisch type die er net niet in slagen in de ruimte te liggen.)
(Hoe traag wordt “scherp” benaderd?) Neem $p = 2$ . Bereken voor $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ de verhouding $\norm{Hf}_2/\norm f_2 = \sqrt2$ , tegenover de grens $2$ . Bewijs voor de bijna-optimalisatoren $f_A$ van vraag 5 de exacte identiteit

$\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + \frac{8}{\sqrt A}, \qquad\text{dus}\qquad \frac{\norm{Hf_A}_2^2}{\norm{f_A}_2^2} = 4 - \frac{8 - 8A^{-1/2}}{\ln A} .$

Evalueer bij $A = \eu^{10}$ (verhouding $\approx 1.790$ ) en becommentarieer: het supremum $2$ wordt slechts met snelheid $1/\ln A$ benaderd — een optimale constante kan numeriek zo goed als onzichtbaar zijn.

Oplossing

Oplossing van Probleem 12.1.

1. $f$ heeft drager in een $[\alpha, \beta] \subseteq \intoo0\infty$ , dus $F = 0$ op $[0, \alpha]$ en $F \equiv F(\beta)$ op $[\beta, \infty)$ : $Hf$ verdwijnt nabij $0$ en is $O(1/x)$ op oneindig; $\int_1^\infty x^{-p}\dd x < \infty$ voor $p > 1$ , en $Hf$ is continu: dus $Hf \in L^p$ .

2. $\bigl(x^{1-p}F(x)^p\bigr)' = (1-p)x^{-p}F^p + p\,x^{1-p}F^{p-1}f$ . Beide randwaarden verdwijnen: in $0$ omdat $F = 0$ nabij $0$ ; op oneindig omdat $x^{1-p}F^p \leq F(\beta)^p x^{1-p} \to 0$ ( $p > 1$ ). Integreren van de identiteit over $\intoo0\infty$ :

0 = (1 - p)\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x + p\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x,

en dat is de getoonde betrekking.

3. Hölder met de exponenten $q = \frac p{p-1}$ en $p$ :

\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f \leq \Bigl(\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p}\Bigr)^{1 - 1/p}\,\norm f_p ,

dus $\norm{Hf}_p^p \leq \frac p{p-1}\norm{Hf}_p^{p-1}\norm f_p$ ; deel (eindig volgens vraag 1, en is het $0$ , dan valt er niets te bewijzen).

4. Zij $f \in L^p$ met $f \geq 0$ . Kies $\varphi_k \in \mathcal C_c(\intoo0\infty)$ met $\varphi_k \to f$ in $L^p$ (Stelling 12.6(2), gesneden met de open halve lijn — benader $f\mathbf 1_{[1/k, k]}$ en diagonaliseer), en vervang $\varphi_k$ door $\abs{\varphi_k}$ (nog steeds continu, en dichter bij $f \geq 0$ ). Voor elke vaste $x > 0$ geeft Hölder op $\intoo0x$

\abs{H\varphi_k(x) - Hf(x)} \leq \frac1x\,x^{1 - 1/p}\,\norm{\varphi_k - f}_p \to 0 :

dus $H\varphi_k \to Hf$ puntsgewijs. Fatou en vraag 3:

\int (Hf)^p \leq \liminf_k\int(H\varphi_k)^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\liminf_k\norm{\varphi_k}_p^p = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\norm f_p^p .

Voor getekende of complexe $f$ : puntsgewijs is $\abs{Hf} \leq H\abs f$ , en het niet-negatieve geval is op $\abs f$ van toepassing.

5. $\norm{f_A}_p^p = \int_1^A t^{-1}\dd t = \ln A$ . Voor $1 \leq x \leq A$ :

(Hf_A)(x) = \frac1x\int_1^x t^{-1/p}\dd t = \frac{x^{1 - 1/p} - 1}{(1 - \tfrac1p)\,x} = \frac p{p-1}\,x^{-1/p}\bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).

6. Leg $\varepsilon > 0$ vast en een $X_0$ met $(1 - x^{-(1-1/p)})^p \geq 1 - \varepsilon$ voor $x \geq X_0$ . Dan is

\norm{Hf_A}_p^p \geq \int_{X_0}^A\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\frac{1 - \varepsilon}{x}\,\dd x = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p(1 - \varepsilon)\,(\ln A - \ln X_0),

dus $\dfrac{\norm{Hf_A}_p^p}{\norm{f_A}_p^p} \geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)\bigl(1 - \frac{\ln X_0}{\ln A}\bigr) \to \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)$ als $A \to \infty$ : de constante kan niet verbeterd worden.

7. Gelijkheid in vraag 3 dwingt gelijkheid in Hölder af: $f^p$ is b.o. evenredig met $\bigl(\frac Fx\bigr)^{(p-1)q} = \bigl(\frac Fx\bigr)^p$ , dat wil zeggen $f = \gamma\,\frac Fx$ b.o. voor een $\gamma \geq 0$ . Omdat $F(x) = \int_0^xf$ absoluut continu is met $F' = f$ b.o., lost $F$ de vergelijking $F' = \gamma F/x$ op: op elk interval waar $F > 0$ is $(\ln F)' = \gamma/x$ , dus $F = c\,x^{\gamma}$ en daar $f = c\gamma x^{\gamma - 1}$ . Maar geen enkele macht $x^{\gamma-1} \ne 0$ behoort tot $L^p(\intoo0\infty)$ (op oneindig is $p(\gamma - 1) < -1$ nodig en in $0$ juist $> -1$ : onverenigbaar), en $F$ kan niet identiek verdwijnen tenzij $f = 0$ . Gelijkheid eist dus $f = 0$ .

8. Zij $(a_n)$ niet-stijgend en $\geq 0$ ; definieer de trapfunctie $g(t) = a_{\lceil t\rceil}$ op $\intoo0{+\infty}$ : niet-stijgend, met $\int_0^\infty g^p = \sum_na_n^p$ en $\int_0^ng = a_1 + \dots + a_n$ , zodat $(Hg)(n) = \frac{a_1 + \dots + a_n}n$ . Het gemiddelde van een niet-stijgende functie is niet-stijgend, dus is $Hg$ dat ook, en

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1{+}\dots{+}a_n}n\Bigr)^p = \sum_{n\geq1}(Hg)(n)^p \leq \sum_{n\geq1}\int_{n-1}^n (Hg)(t)^p\,\dd t = \norm{Hg}_p^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sum_n a_n^p

volgens Deel I. Voor een algemene niet-negatieve rij zij $(a_n^*)$ haar niet-stijgende herschikking (mogelijk zodra $a_n \to 0$ , wat we mogen aannemen — anders zijn beide leden oneindig): het rechterlid verandert niet, en elke partiële som $a_1 + \dots + a_n$ is hoogstens $a_1^* + \dots + a_n^*$ (de $n$ grootste termen): het linkerlid kan alleen groeien. Daarmee geldt de ongelijkheid voor alle $(a_n)$ .

9. Is $(a_n) \in \ell^p$ , dan ligt de rij van cesàrogemiddelden in $\ell^p$ , met norm $\leq \frac p{p-1}\norm a_p$ . Voorbeeld ( $p = 2$ ): $a_n = \frac1{\sqrt n\,\ln n}$ ( $n \geq 2$ ): $\sum a_n^2 = \sum\frac1{n\ln^2n} < \infty$ , terwijl $\sum a_n = \infty$ (integraalcriterium); Hardy waarborgt niettemin $\sum_n\bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}n\bigr)^2 < \infty$ .

10. Voor $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ is $Hf(x) = 1$ op $\intoc01$ en $= \frac1x$ voor $x \geq 1$ : dus $\int_0^\infty Hf = 1 + \int_1^\infty\frac{\dd x}x = \infty$ , terwijl $\norm f_1 = 1$ . Het bewijs stort op twee punten in: de constante $\frac p{p-1}$ explodeert als $p \to 1$ , en de randterm $x^{1-p}F^p$ verdwijnt op oneindig niet meer voor $p = 1$ . De ongelijkheid van Hardy is een eerlijk verschijnsel van $p > 1$ .

11. Kies het langste interval $B_{i_1}$ ; gooi elk interval weg dat het snijdt; kies de langste overlevende $B_{i_2}$ ; itereer (er zijn eindig veel intervallen). De gekozen intervallen zijn per constructie disjunct, en elk weggegooid $B$ sneed een gekozen interval dat minstens even lang was: een interval dat een langer of even lang interval snijdt, ligt in het drievoud daarvan, $B \subseteq 3B_{i_l}$ .

12. $\{Mf > t\}$ is open: elk gemiddelde $x \mapsto \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f$ is continu (gedomineerde convergentie in $x$ ), en een supremum van continue functies is halfcontinu van onderen. Elke $x$ erin bezit een $B_x = \intoo{x-r_x}{x+r_x}$ met $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ . Voor compacte $K \subseteq \{Mf > t\}$ : eindig veel $B_x$ overdekken $K$ , Vitali (vraag 11) haalt er disjuncte $B_1', \dots, B_k'$ uit met $K \subseteq \bigcup_l3B_l'$ , dus

\lambda(K) \leq 3\sum_l\lambda(B_l') < \frac3t\sum_l\int_{B_l'}\abs f \leq \frac3t\,\norm f_1

wegens de disjunctheid; de inwendige regulariteit (Stelling 9.13) besluit.

13. Voor $x > 1$ : voor $r \in \intcc{x-1}x$ is het gemiddelde $\frac{r - x + 1}{2r}$ , stijgend in $r$ ; voor $r \geq x$ is het $\frac1{2r}$ , dalend: het supremum is $\frac1{2x}$ , bereikt bij $r = x$ . Dus $M\mathbf 1_{\intcc01} \notin L^1$ . In het algemeen: is $\int_I\abs f = c > 0$ op een begrensd interval $I \subseteq \intcc{-C}C$ , dan is $Mf(x) \geq \frac{c}{2(\abs x + C)}$ voor alle $x$ : nooit integreerbaar, tenzij $f = 0$ b.o.

14. Met $f_t = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2}$ is $M(f - f_t) \leq \frac t2$ , dus $\{Mf > t\} \subseteq \{Mf_t > \frac t2\}$ , en vraag 12 geeft $\lambda(Mf > t) \leq \frac6t\int_{\abs f > t/2}\abs f$ . Laagjesformule (Propositie 11.8) en Tonelli:

\norm{Mf}_p^p = p\int_0^\infty t^{p-1}\lambda(Mf > t)\dd t \leq 6p\int\abs f\int_0^{2\abs f}t^{p-2}\,\dd t\,\dd\lambda = \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .

15. Schrijf $A_rf(x) = \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f$ . Voor continue $g$ is $A_rg(x) \to g(x)$ overal. Splits, gegeven $\varepsilon > 0$ , $f = g + h$ met $g$ continu met compacte drager en $\norm h_1 < \varepsilon$ (Stelling 12.6); dan is

\limsup_{r\to0}\,\abs{A_rf(x) - f(x)} \leq Mh(x) + \abs{h(x)},

zodat $\Omega_\delta = \{\limsup_r\abs{A_rf - f} > \delta\} \subseteq \{Mh > \tfrac\delta2\} \cup \{\abs h > \tfrac\delta2\}$ maat $\leq \frac{6\varepsilon}\delta + \frac{2\varepsilon}\delta$ heeft (vraag 12; Markov). Omdat $\varepsilon$ willekeurig is, is $\lambda(\Omega_\delta) = 0$ ; verenig over $\delta = \frac1k$ : dus $A_rf \to f$ b.o.

16. (a) Voor elke $q \in \Q$ geeft vraag 15, toegepast op $\abs{f - q}$ , dat $A_r\abs{f - q}(x) \to \abs{f(x) - q}$ b.o.; kies op de doorsnede van deze verzamelingen van volle maat een $q$ met $\abs{f(x) - q} < \eta$ : dan is $\limsup_rA_r\abs{f - f(x)}(x) \leq 2\eta$ voor elke $\eta$ : bijna elke $x$ is een lebesguepunt. (b) In een lebesguepunt is

\Bigl|\frac{F(x + h) - F(x)}h - f(x)\Bigr| = \Bigl|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f - f(x)\bigr)\Bigr| \leq 2\,A_{\abs h}\abs{f - f(x)}(x) \to 0 :

dus $F' = f$ b.o. — primitieven van $L^1$ -functies differentiëren wel degelijk terug; de trapfunctie (Probleem 9.1) is enkel het tegenvoorbeeld voor de omgekeerde richting.

17. Pas vraag 15 toe op $\mathbf 1_{A\cap[-n,n]}$ en laat $n$ groeien: voor b.o. $x \in A$ gaat de dichtheid $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r}$ naar $1$ . Steinhaus: neem rond een dichtheidspunt een $r$ met dichtheid $> \frac34$ ; voor $\abs t < \frac r2$ vullen $A$ en $A + t$ elk meer dan $\frac32r$ van een interval van lengte $\leq \frac52r$ , en snijden elkaar dus: bijgevolg is $\intoo{-r/2}{r/2} \subseteq A - A$ .

18. Stel $G(x) = x^{\alpha+1-p}F(x)^p$ : $G$ verdwijnt in $0$ ( $F$ verdwijnt nabij $0$ ) en op oneindig ( $F$ begrensd, $\alpha + 1 - p < 0$ ), dus $\int_0^\infty G' = 0$ , met

G' = (\alpha + 1 - p)\,x^{\alpha-p}F^p + p\,x^{\alpha+1-p}F^{p-1}f = (\alpha + 1 - p)\Bigl(\frac Fx\Bigr)^px^\alpha + p\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f\,x^\alpha .

Bijgevolg is $\int(F/x)^px^\alpha = \frac{p}{p-1-\alpha} \int(F/x)^{p-1}f\,x^\alpha$ ; Hölder voor de maat $x^\alpha\dd x$ (exponenten $\frac p{p-1}$ en $p$ ) maakt het af als in vraag 3. Het grensgeval $\alpha = p - 1$ : met $f(t) = \frac1t\mathbf 1_{\intcc1A}$ is het rechterlid $\ln A$ , terwijl het linkerlid $\int_1^A\frac{(\ln x)^p}x\dd x = \frac{(\ln A)^{p+1}}{p+1}$ bevat: geen enkele constante overleeft $A \to \infty$ .

19. Tonelli op $\{0 < t < x\}$ :

\langle Hf, g\rangle = \int_0^\infty\frac{g(x)}x\int_0^xf(t)\,\dd t\,\dd x = \int_0^\infty f(t)\int_t^\infty\frac{g(x)}x\,\dd x\,\dd t = \langle f, H^*g\rangle .

Dualiteit: $\norm{H^*f}_p = \sup\{\langle f, Hg\rangle : g \geq 0, \norm g_q \leq 1\} \leq \norm f_p\cdot \sup\norm{Hg}_q \leq \frac q{q-1}\norm f_p = p\,\norm f_p$ , waarbij Hardy in $L^q$ wordt ingeroepen, met een constante $\frac q{q-1}$ die gelijk is aan $p$ .

20. Splits langs de (verwaarloosbare) diagonaal. Op $\{y \leq x\}$ :

\iint_{y\leq x}\frac{f(x)g(y)}{x}\,\dd y\,\dd x = \int f(x)\,(Hg)(x)\,\dd x \leq \norm f_p\,\norm{Hg}_q \leq p\,\norm f_p\norm g_q,

want Hardy in $L^q$ draagt de constante $\frac q{q-1} = p$ . Symmetrisch is $\iint_{y>x} = \int g\,(Hf) \leq \norm g_q\norm{Hf}_p \leq q\,\norm f_p\norm g_q$ (want $\frac p{p-1} = q$ ). Samen: $(p + q)\,\norm f_p\norm g_q$ .

21. Voor $a_n = n^{-1/p}$ met $n \leq N$ is het rechterlid $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum_{n\leq N}\frac1n = \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\ln N + O(1)$ . Links is voor $n \leq N$ $a_1 + \dots + a_n \geq \int_1^{n+1}t^{-1/p}\dd t = \frac{p}{p-1}\bigl((n+1)^{1-1/p} - 1\bigr)$ , dus is het $n$ -de cesàrogemiddelde $\geq \frac p{p-1}n^{-1/p}(1 - o(1))$ , uniform voor $n$ in elk bereik $n \geq n_0(\eta)$ ; tot de macht $p$ verheven en gesommeerd is het linkerlid $\geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \eta)\ln N + O_\eta(1)$ . Delen en $N \to \infty$ laten gaan, en daarna $\eta \to 0$ : geen enkele constante kleiner dan $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ kan werken.

22. $H$ begrensd op $L^p$ : cumulatieve gemiddelden blazen $p$ -normen niet op (constante $\frac p{p-1}$ ); Cesàro op $\ell^p$ : hetzelfde, gediscretiseerd; $M$ begrensd op $L^p$ : zelfs het beste lokale gemiddelde blijft onder controle (constante $O(\frac1{p-1})$ ). Alle drie falen bij $p = 1$ , en om één reden: het middelen van een geconcentreerde eenheid massa brengt een staart $\frac1x$ voort (vragen 10 en 13), en $\frac1x$ behoort op oneindig tot elke $L^p$ behalve $L^1$ . Gladstrijken spreidt massa precies tot aan de harmonische grens van de integreerbaarheid.

23. Stel $b_n = a_n^{1/p}$ , zodat $\sum b_n^p = \sum a_n$ . Vraag 8 geeft

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p}\sum_{n\geq1}a_n,

en het rekenkundig–meetkundig gemiddelde begrenst elke term van onderen:

\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \geq \bigl(b_1\cdots b_n\bigr)^{p/n} = \bigl(a_1\cdots a_n\bigr)^{1/n}.

Bijgevolg is $\sum(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum a_n$ voor elke $p > 1$ . Met $m = p - 1$ is

\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p} = \Bigl(1 + \frac1m\Bigr)^{m+1},

dat daalt naar $\eu$ als $m \to \infty$ (de klassieke monotone bovenrij voor $\eu$ ). Het infimum over $p$ nemen geeft de ongelijkheid van Carleman met constante $\eu$ .

24. Voor $a_n = \frac1n$ is $(a_1\cdots a_n)^{1/n} = (n!)^{-1/n}$ . De insluiting van Probleem 11.1 geeft $\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n\eu^{1/(12n)}$ , dus

(n!)^{1/n} = \frac n\eu\,(2\pi n)^{1/(2n)} \eu^{O(1/n^2)} = \frac n\eu\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)\Bigr),

want $(2\pi n)^{1/(2n)} = \exp\bigl(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\bigr)$ . Omkeren geeft $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n(1 + O(\frac{\ln n}n))$ , en sommeren over $n \leq N$ :

\sum_{n\leq N}(n!)^{-1/n} = \eu\ln N + O(1), \qquad \eu\sum_{n\leq N}\frac1n = \eu\ln N + O(1)

(de foutenreeks $\sum\frac{\ln n}{n^2}$ convergeert). Een ongelijkheid van Carleman met constante $c$ zou $\eu\ln N + O(1) \leq c\,(\ln N + O(1))$ afdwingen, dus na deling door $\ln N$ dat $c \geq \eu$ . De optimaliserende rijen lopen gelijk: de constante van Hardy wordt benaderd door $n^{-1/p}$ (vraag 21), die van Carleman door $n^{-1}$ — telkens de rij van harmonisch type die net buiten de ruimte ligt waarin gemiddeld wordt.

25. Voor $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ is $Hf(x) = 1$ op $\intoc01$ en $Hf(x) = \frac1x$ voor $x > 1$ , dus $\norm{Hf}_2^2 = 1 + \int_1^\infty x^{-2}\dd x = 2$ en de verhouding is $\sqrt2 \approx 1.414$ , ongeveer $71\%$ van de scherpe grens. Voor $f_A$ ( $p = 2$ ) is $F(x) = 2(\sqrt x - 1)$ op $\intcc1A$ , dus daar $Hf_A = 2x^{-1/2} - 2x^{-1}$ en, voor $x > A$ , $Hf_A(x) = 2(\sqrt A - 1)/x$ . Kwadrateren en integreren:

\begin{align*} \int_1^A\bigl(2x^{-1/2} - 2x^{-1}\bigr)^2\dd x &= 4\ln A - 12 + \frac{16}{\sqrt A} - \frac4A,\\ \int_A^{\infty}\frac{4(\sqrt A - 1)^2}{x^2}\,\dd x &= 4 - \frac{8}{\sqrt A} + \frac4A, \end{align*}

waaruit $\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + 8A^{-1/2}$ ; delen door $\norm{f_A}_2^2 = \ln A$ geeft de vermelde identiteit. Bij $A = \eu^{10}$ : $4 - \frac{8(1 - \eu^{-5})}{10} = 3.2054$ , dus is de verhouding $\sqrt{3.2054} \approx 1.790 < 2$ . Het tekort $4 - \norm{Hf_A}_2^2/\norm{f_A}_2^2 \sim 8/\ln A$ neemt slechts logaritmisch af: om verhouding $1.99$ te bereiken zou je $\ln A \approx 200$ nodig hebben, dat wil zeggen $A \approx 10^{87}$ . Scherpe constanten zijn stellingen, geen experimenten.

12.1 Definitie; Hölder en Minkowski

12.2 Volledigheid en haar metgezellen

12.3 Dichtheidsstellingen

12.4 Convolutie en regularisatie

12.5 De geografie van LpL^pLp

12.6 Oefeningen

12.7 Probleem: de ongelijkheid van Hardy

12.5 De geografie van $L^p$