Wat is Hamiltoniaan en canonieke vergelijkingen? — Natuurkunde

Definitie 2.1 Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Hoofdstuk 2 — Hamiltoniaanse mechanica

Druk voor een stelsel met lagrangiaan $L(q, \dot q, t)$ de snelheden uit in de impulsen $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ en definieer de hamiltoniaan als de legendretransformatie

H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,

een functie van de coördinaten en de impulsen. De $2n$ -dimensionale ruimte van de $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ is de faseruimte; één punt daarvan — één toestand — bepaalt de hele toekomst en het hele verleden van het stelsel via de canonieke vergelijkingen van Stelling 2.2.

Voorbeelden

Voorbeeld 2.4 (Twee hamiltonianen)

Massa aan een veer: $p = m\dot x$ , dus

H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;

de canonieke vergelijkingen $\dot x = p/m$ , $\dot p = -kx$ zijn het vertrouwde paar. Slinger: $p = m\ell^2\dot\theta$ en

H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .

In beide gevallen is $H$ de energie, constant op elke beweging: de bewegingen zijn de niveaukrommen van $H$ in het $(q,p)$ -vlak.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen