¿Qué es Hamiltoniano y ecuaciones canónicas? — Física

Definición 2.1 Física universitaria — tercer año · Capítulo 2 — Mecánica hamiltoniana

Para un sistema de lagrangiano $L(q, \dot q, t)$ , exprésense las velocidades en función de los momentos $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ y defínase el hamiltoniano como la transformada de Legendre

H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,

una función de las coordenadas y de los momentos. El espacio de dimensión $2n$ de los $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ es el espacio de fases; un punto suyo — un estado — determina todo el futuro y todo el pasado del sistema a través de las ecuaciones canónicas del Teorema 2.2.

Ejemplos

Ejemplo 2.4 (Dos hamiltonianos)

Masa sujeta a un resorte: $p = m\dot x$ , luego

H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;

las ecuaciones canónicas $\dot x = p/m$ , $\dot p = -kx$ son la pareja conocida. Péndulo: $p = m\ell^2\dot\theta$ y

H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .

En ambos casos $H$ es la energía, constante en cada movimiento: los movimientos son las curvas de nivel de $H$ en el plano $(q,p)$ .

Leer en el capítulo →

Ejemplos

Términos relacionados