Qu'est-ce que « Hamiltonien et équations canoniques » ? — Physique

Définition 2.1 Physique universitaire — 3e année · Chapitre 2 — Mécanique hamiltonienne

Pour un système de lagrangien $L(q, \dot q, t)$ , exprimons les vitesses en fonction des moments $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ et définissons le hamiltonien comme la transformée de Legendre

H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,

fonction des coordonnées et des moments. L’espace de dimension $2n$ des $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ est l’espace des phases ; un seul de ses points — un état — détermine tout l’avenir et tout le passé du système par les équations canoniques du Théorème 2.2.

Exemples

Exemple 2.4 (Deux hamiltoniens)

Masse sur un ressort : $p = m\dot x$ , donc

H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;

les équations canoniques $\dot x = p/m$ , $\dot p = -kx$ sont la paire familière. Pendule : $p = m\ell^2\dot\theta$ et

H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .

Dans les deux cas $H$ est l’énergie, constante sur chaque mouvement : les mouvements sont les courbes de niveau de $H$ dans le plan $(q,p)$ .

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