हैमिल्टोनियन और विहित समीकरण क्या है? — भौतिकी

परिभाषा 2.1 विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · अध्याय 2 — हैमिल्टोनियन यांत्रिकी

लाग्रांजियन $L(q, \dot q, t)$ वाले किसी तंत्र के लिए वेगों को संवेगों $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ के पदों में व्यक्त कीजिए और हैमिल्टोनियन को लजांद्र रूपांतर के रूप में इस तरह परिभाषित कीजिए

H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,

यह निर्देशांकों और संवेगों का फलन है। $2n$ -विमीय समष्टि, अर्थात् $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ की समष्टि, ही कला समष्टि है; उसका एक बिंदु — अर्थात् एक अवस्था — तंत्र का पूरा भविष्य और पूरा भूत प्रमेय 2.2 के विहित समीकरणों के द्वारा नियत कर देता है।

उदाहरण

उदाहरण 2.4 (दो हैमिल्टोनियन)

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: $p = m\dot x$ , अतः

H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;

विहित समीकरण $\dot x = p/m$ , $\dot p = -kx$ वही परिचित युग्म हैं। लोलक: $p = m\ell^2\dot\theta$ और

H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .

दोनों स्थितियों में $H$ ऊर्जा है, हर गति पर अचर: गतियाँ $H$ के वे तलवक्र ही हैं जो $(q,p)$ तल में हैं।

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उदाहरण

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