Wat is Poissonhaakje? — Natuurkunde

Definitie 2.10 Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Hoofdstuk 2 — Hamiltoniaanse mechanica

Het poissonhaakje van twee functies $f(q, p, t)$ en $g(q, p, t)$ op de faseruimte is

\{f, g\} = \sum_i\Big( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .

Het is antisymmetrisch, lineair in elk argument, voldoet aan de productregel $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$ en voldoet voor de coördinaten zelf aan de canonieke betrekkingen

\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad \{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .

Voorbeelden

Voorbeeld 2.12 (Haakjes van het impulsmoment)

Voor één deeltje is $L_z = xp_y - yp_x$ , met zijn cyclische tegenhangers. Een rechtstreekse berekening uit de canonieke betrekkingen geeft

\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad \{L_y, L_z\} = L_x , \qquad \{L_z, L_x\} = L_y ,

en $\{L^2, L_z\} = 0$ : de componenten van het impulsmoment “commuteren” niet met elkaar, maar elk ervan commuteert wel met het totale kwadraat. Onthoud de vorm van deze betrekkingen — zij keren letterlijk terug als commutatoren in de kwantummechanica, waar zij alles over de bouw van het atoom bepalen.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen