प्वासों कोष्ठक क्या है? — भौतिकी

परिभाषा 2.10 विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · अध्याय 2 — हैमिल्टोनियन यांत्रिकी

कला समष्टि पर के दो फलनों $f(q, p, t)$ और $g(q, p, t)$ का प्वासों कोष्ठक है

\{f, g\} = \sum_i\Big( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .

यह प्रतिसममित है, हर कोटि में रैखिक है, गुणनफल-नियम $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$ का पालन करता है, और स्वयं निर्देशांकों के लिए विहित संबंध संतुष्ट करता है

\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad \{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .

उदाहरण

उदाहरण 2.12 (कोणीय संवेग के कोष्ठक)

एक कण के लिए $L_z = xp_y - yp_x$ और उसके चक्रीय साथी। विहित संबंधों से सीधी गणना देती है

\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad \{L_y, L_z\} = L_x , \qquad \{L_z, L_x\} = L_y ,

और $\{L^2, L_z\} = 0$ : कोणीय संवेग के घटक आपस में “क्रमविनिमेय” नहीं हैं, पर हर घटक कुल वर्ग के साथ क्रमविनिमेय है। इन संबंधों का आकार याद रखिए — ये अक्षरशः लौटेंगे, क्वांटम यांत्रिकी में क्रमविनिमेयकों के रूप में, जहाँ ये परमाणु-संरचना के विषय में सब कुछ तय करते हैं।

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उदाहरण

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