¿Qué es Corchete de Poisson? — Física

Definición 2.10 Física universitaria — tercer año · Capítulo 2 — Mecánica hamiltoniana

El corchete de Poisson de dos funciones $f(q, p, t)$ y $g(q, p, t)$ del espacio de fases es

\{f, g\} = \sum_i\Big( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .

Es antisimétrico, lineal en cada argumento, cumple la regla del producto $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$ y satisface, para las propias coordenadas, las relaciones canónicas

\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad \{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .

Ejemplos

Ejemplo 2.12 (Corchetes del momento angular)

Para una partícula, $L_z = xp_y - yp_x$ y sus compañeras cíclicas. Un cálculo directo a partir de las relaciones canónicas da

\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad \{L_y, L_z\} = L_x , \qquad \{L_z, L_x\} = L_y ,

y $\{L^2, L_z\} = 0$ : las componentes del momento angular no “conmutan” entre sí, pero cada una conmuta con el cuadrado total. Recuérdese la forma de estas relaciones — volverán, literalmente, como conmutadores en mecánica cuántica, donde dictan todo lo relativo a la estructura atómica.

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Ejemplos

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