Qu'est-ce que « Crochet de Poisson » ? — Physique

Définition 2.10 Physique universitaire — 3e année · Chapitre 2 — Mécanique hamiltonienne

Le crochet de Poisson de deux fonctions $f(q, p, t)$ et $g(q, p, t)$ sur l’espace des phases est

\{f, g\} = \sum_i\Big( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .

Il est antisymétrique, linéaire en chaque argument, vérifie la règle du produit $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$ , et satisfait pour les coordonnées elles-mêmes les relations canoniques

\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad \{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .

Exemples

Exemple 2.12 (Crochets du moment cinétique)

Pour une particule, $L_z = xp_y - yp_x$ et ses compagnes par permutation circulaire. Un calcul direct à partir des relations canoniques donne

\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad \{L_y, L_z\} = L_x , \qquad \{L_z, L_x\} = L_y ,

et $\{L^2, L_z\} = 0$ : les composantes du moment cinétique ne « commutent » pas entre elles, mais chacune commute avec le carré total. Retenez la forme de ces relations — elles reviendront textuellement, comme commutateurs, en mécanique quantique, où elles dictent tout de la structure atomique.

Lire dans le chapitre →

Exemples

Termes liés