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Física · Glossário

O que é Colchete de Poisson?

Definição 2.10 Física universitária — 3.º ano · Capítulo 2 — Mecânica hamiltoniana

O colchete de Poisson de duas funções f(q,p,t)f(q, p, t) e g(q,p,t)g(q, p, t) no espaço de fases é

{f,g}=∑i(∂f∂qi∂g∂pi−∂f∂pi∂g∂qi).\{f, g\} = \sum_i\Big( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .

Ele é antissimétrico, linear em cada argumento, obedece à regra do produto {f,gh}={f,g}h+g{f,h}\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\} e satisfaz, para as próprias coordenadas, as relações canônicas

{qi,pj}=δij,{qi,qj}={pi,pj}=0.\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad \{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .

Exemplos

Exemplo 2.12 (Colchetes do momento angular)

Para uma partícula, Lz=xpy−ypxL_z = xp_y - yp_x e suas companheiras cíclicas. Um cálculo direto a partir das relações canônicas dá

{Lx,Ly}=Lz,{Ly,Lz}=Lx,{Lz,Lx}=Ly,\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad \{L_y, L_z\} = L_x , \qquad \{L_z, L_x\} = L_y ,

e {L2,Lz}=0\{L^2, L_z\} = 0: as componentes do momento angular não “comutam” entre si, mas cada uma comuta com o quadrado total. Guarde a forma dessas relações — elas voltarão, literalmente, como comutadores na mecânica quântica, onde ditam tudo a respeito da estrutura atômica.

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