Physics · Boek 5 · Bachelor Year 3

Universitaire natuurkunde — jaar 3

Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Bachelor Year 3

8Het formalisme van de kwantummechanica

Neem drie polarisatiefilters. Twee ervan, gekruist onder 90∘90^\circ, houden het licht volledig tegen; schuif het derde er onder 45∘45^\circ tussen en het licht komt er doorheen — een obstakel toevoegen opent de weg. Geen enkel beeld van filters als zeven overleeft deze proef; wat wel overleeft is lineaire algebra: de polarisatie van een foton is een vector, elk filter meet haar langs een as en projecteert haar, en de kansen zijn gekwadrateerde componenten. Dit hoofdstuk installeert die algebra als de eigenlijke grondslag van de kwantummechanica. De golffuncties van de vorige hoofdstukken waren één concreet kostuum van een abstracter lichaam: toestanden zijn vectoren in een hilbertruimte, observabelen zijn hermitische operatoren, gemeten waarden zijn eigenwaarden, kansen zijn gekwadrateerde scalaire producten, en de evolutie wordt door de hamiltoniaan voortgebracht. Vijf postulaten, die alle al aan het werk waren in alles wat we hebben berekend — en die, eenmaal netjes geformuleerd, krachtig genoeg zijn voor stelsels die geen golf op een lijn kan beschrijven: de polarisatie van het foton, de spin van het elektron, en de neutrino’s waarvan de identiteit dwars door de aarde heen oscilleert.

8.1 Toestanden zijn vectoren

Definitie 8.1 (Toestandsruimte, kets en haakjes)

De toestanden van een kwantumstelsel vormen een complexe vectorruimte met een inproduct — een hilbertruimte H\mathcal H (de wiskunde ervan wordt in het wiskundevolume van jaar 3 ontwikkeld). Een toestand is een vector, geschreven als een ket ∣ψ⟩\ket\psi, genormeerd: ⟨ψ | ψ⟩=1\braket\psi\psi = 1. Het inproduct van twee toestanden is het complexe getal ⟨φ | ψ⟩\braket\varphi\psi, toegevoegd-lineair in het eerste vak, met ⟨φ | ψ⟩=⟨ψ | φ⟩∗\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*. In een orthonormale basis {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\} geldt

∣ψ⟩=∑ici∣ei⟩,ci=⟨ei | ψ⟩,∑i∣ci∣2=1.\ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad \sum_i|c_i|^2 = 1 .

De golffunctie van de vorige hoofdstukken is de familie componenten van ∣ψ⟩\ket\psi langs de positie: ψ(x)=⟨x | ψ⟩\psi(x) = \braket{x}{\psi}; er gaat niets verloren, en stelsels met eindige toestandsruimten — als golf ondenkbaar — worden beschrijfbaar.

Voorbeeld 8.2 (De polarisatie van het foton: een tweedimensionale wereld)

Een foton dat langs de zz-as loopt draagt een polarisatietoestand in een tweedimensionale hilbertruimte, met basis ∣H⟩\ket H (horizontaal) en ∣V⟩\ket V (verticaal). Licht dat onder een hoek θ\theta is gepolariseerd is de superpositie

∣θ⟩=cos⁡θ ∣H⟩+sin⁡θ ∣V⟩,\ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V ,

en circulaire polarisatie is de complexe combinatie (∣H⟩±i∣V⟩)/2(\ket H \pm \iu\ket V)/\sqrt2: dat de coëfficiënten complex zijn is geen versiering maar natuurkunde. Elk kwantumstelsel met twee niveaus — spin, het ammoniakmolecuul, een supergeleidende qubit — is dezelfde vectorruimte in andere kleren.

Een polarisatietoestand als vector: haar gekwadrateerde componenten op de basis van een analysator zijn de kansen op de uitkomsten — meetkunde die kans wordt.
Een polarisatietoestand als vector: haar gekwadrateerde componenten op de basis van een analysator zijn de kansen op de uitkomsten — meetkunde die kans wordt.

8.2 Observabelen zijn operatoren

Definitie 8.3 (Observabelen)

Een observabele is een lineaire operator A^\hat A op H\mathcal H die hermitisch is: ⟨φ | A^ψ⟩=⟨A^φ | ψ⟩\braket{\varphi}{\hat A\psi} = \braket{\hat A\varphi}{\psi} voor alle toestanden (in matrixtaal A=A∗⊤A = A^{*\top}). Haar eigenvectoren en eigenwaarden, A^∣a⟩=a∣a⟩\hat A\ket{a} = a\ket{a}, dragen de natuurkunde: de aa zijn de mogelijke gemeten waarden. Vertrouwde gevallen: de positie (x^\hat x: vermenigvuldigen met xx), de impuls (p^=−iℏ  ⁣d/ ⁣dx\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x), de energie (H^=p^2/2m+V(x^)\hat H = \hat p^2/2m + V(\hat x)) — en, in twee dimensies, elke hermitische 2×22\times2-matrix.

Stelling 8.4 (Waarom hermitisch)

Een hermitische operator heeft reële eigenwaarden, en eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden staan loodrecht op elkaar; op de ruimten van dit boek vormen haar eigenvectoren een orthonormale basis van H\mathcal H (de spectraalstelling, in eindige dimensie bewezen in het wiskundevolume van jaar 2; voor de onbegrensde operatoren x^\hat x, p^\hat p en H^\hat H hoort de volledige uitspraak bij de spectraaltheorie van jaar 3 en wordt zij aangenomen). Gemeten waarden moeten reëel zijn en onderscheidbare uitkomsten moeten loodrecht staan: hermiticiteit is precies de voorwaarde waaronder een operator een meting kan voorstellen.

Gedeeltelijk bewijs. a⟨a | a⟩=⟨a | A^a⟩=⟨A^a | a⟩=a∗⟨a | a⟩a\braket aa = \braket{a}{\hat Aa} = \braket{\hat Aa}{a} = a^*\braket aa: aa is reëel. Voor A^∣a⟩=a∣a⟩\hat A\ket a = a\ket a en A^∣b⟩=b∣b⟩\hat A\ket b = b\ket b geldt a⟨b | a⟩=⟨b | A^a⟩=⟨A^b | a⟩=b⟨b | a⟩a\braket ba = \braket{b}{\hat Aa} = \braket{\hat Ab}{a} = b\braket ba, dus (a−b)⟨b | a⟩=0(a - b)\braket ba = 0. ∎

Voorbeeld 8.5 (Een observabele met twee niveaus)

Beschouw op de polarisatieruimte, in de basis (∣H⟩,∣V⟩)(\ket H, \ket V), de matrix

A^=(0110):\hat A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} :

hermitisch; eigenwaarden ±1\pm1; eigenvectoren (∣H⟩±∣V⟩)/2(\ket H \pm \ket V)/\sqrt2 — de polarisaties onder ±45∘\pm45^\circ. A^\hat A meten betekent vragen “diagonaal of antidiagonaal?”, en de eigenbasis is het antwoordenpaar op die vraag. Elke polarisator van 45∘45^\circ in de openingsproef is deze matrix in glas.

8.3 De postulaten

Stelling 8.6 (De regels van de kwantummechanica)

(P1) De toestand van een stelsel is een genormeerde ket ∣ψ⟩\ket\psi in zijn hilbertruimte. (P2) Elke meetbare grootheid is een hermitische operator A^\hat A. (P3) De enige mogelijke uitkomsten van een meting van A^\hat A zijn haar eigenwaarden. (P4) Op een toestand ∣ψ⟩\ket\psi treedt de uitkomst aa op met kans P(a)=∣⟨a | ψ⟩∣2\mathcal P(a) = |\braket a\psi|^2 (de regel van Born; bij een ontaarde eigenwaarde telt men de gekwadrateerde componenten over haar eigenruimte op). Het gemiddelde van vele proeven is ⟨A^⟩=⟨ψ∣A^∣ψ⟩\langle\hat A\rangle = \bra\psi\hat A\ket\psi. (P5) Onmiddellijk na een meting die aa opleverde is de toestand de (genormeerde) projectie van ∣ψ⟩\ket\psi op de eigenruimte bij aa — de ineenstorting: meten is een wisselwerking die het stelsel achterlaat in de toestand die bij zijn eigen antwoord past. (P6) Tussen metingen evolueert de toestand unitair volgens de schrödingervergelijking iℏ  ⁣d ⁣dt∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩\iu\hbar\,\dfrac{\dd}{\dd t}\ket{\psi(t)} = \hat H\ket{\psi(t)}.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 8.7 (De drie polarisatoren, doorgerekend)

Verticaal licht treft een analysator die er onder 90∘90^\circ op staat: ∣⟨H | V⟩∣2=0|\braket HV|^2 = 0 — uitdoving. Voeg een polarisator van 45∘45^\circ toe: de toestand ∣V⟩\ket V passeert die met kans ∣⟨45∘ | V⟩∣2=12|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12 en stort in tot ∣45∘⟩\ket{45^\circ} (P5); die toestand passeert vervolgens de horizontale analysator met kans ∣⟨H | 45∘⟩∣2=12|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12. De netto doorlating is 14\tfrac14 in plaats van nul: het middelste filter “maakt geen gat” — het voert een meting uit, en de ineenstorting bereidt het foton opnieuw. Geen enkele klassieke zeef doet dit; een projectie doet niets anders.

De proef met drie polarisatoren als drie opeenvolgende metingen: projecteren, ineenstorten, opnieuw projecteren. Een extra filter verhoogt het doorgelaten licht — onmogelijk voor zeven, vanzelfsprekend voor projecties.
De proef met drie polarisatoren als drie opeenvolgende metingen: projecteren, ineenstorten, opnieuw projecteren. Een extra filter verhoogt het doorgelaten licht — onmogelijk voor zeven, vanzelfsprekend voor projecties.

Opmerking 8.8 (Wat de ineenstorting niet toelaat)

De ineenstorting is in het formalisme ogenblikkelijk, en kwantumcorrelaties tussen ver uiteenliggende deeltjes zijn echt en gemeten — maar er rijdt geen bericht op mee: de uitkomsten bij één detector zijn, op zichzelf gelezen, niet van muntworpen te onderscheiden, wat men ver weg ook doet. Ook is de kwantumtoevalligheid onherleidbaar: de regel van Born geeft kansen zelfs wanneer de toestand volledig bekend is — er valt niets meer te weten. Beide uitspraken zijn stellingen van het formalisme, tot op hoge precisie getoetst; onbehagen erover is respectabel en heeft een eeuw van proeven aangedreven, die de kwantummechanica alle heeft gewonnen.

8.4 Commutatoren en onzekerheid

Definitie 8.9 (Commutator; verenigbare observabelen)

De commutator van twee operatoren is [A^,B^]=A^B^−B^A^[\hat A, \hat B] = \hat A\hat B - \hat B\hat A. Het stichtende voorbeeld, uit p^=−iℏ  ⁣d/ ⁣dx\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x:

[x^,p^]=iℏ.[\hat x, \hat p] = \iu\hbar .

Twee observabelen heten verenigbaar wanneer [A^,B^]=0[\hat A, \hat B] = 0: zij laten dan een gemeenschappelijke eigenbasis toe en kunnen gelijktijdig bekend zijn; de een meten verstoort een toestand die scherp is in de ander niet. Een stel commuterende observabelen waarvan de gemeenschappelijke eigenbasis uniek is (een VSCO) is wat “een toestand volledig etiketteren” betekent — de etiketten (n1,n2,n3)(n_1, n_2, n_3) van de doos waren precies dat.

Stelling 8.10 (De onzekerheidsrelatie, in het algemeen)

In elke toestand voldoen de standaardafwijkingen van twee observabelen aan

ΔA  ΔB ≥ 12 ∣⟨[A^,B^]⟩∣.\Delta A\;\Delta B \ \ge\ \tfrac12\,\big|\langle[\hat A, \hat B]\rangle\big| .

Voor x^\hat x en p^\hat p: Δx Δp≥ℏ/2\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2 — de relatie van Heisenberg, nu een stelling uit de lineaire algebra in plaats van een vuistregel. Onverenigbaarheid is kwantitatief: de grootte van de commutator legt de bodem onder de gezamenlijke scherpte.

Gedeeltelijk bewijs. Zij α^=A^−⟨A⟩\hat\alpha = \hat A - \langle A\rangle en β^=B^−⟨B⟩\hat\beta = \hat B - \langle B\rangle. De ongelijkheid van Cauchy–Schwarz uit het wiskundevolume van jaar 3 geeft ΔA2ΔB2=∥α^ψ∥2∥β^ψ∥2≥∣⟨α^ψ | β^ψ⟩∣2\Delta A^2\Delta B^2 = \|\hat\alpha\psi\|^2\|\hat\beta\psi\|^2 \ge |\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi}|^2; het imaginaire deel van dat product is 12i⟨[A^,B^]⟩\tfrac1{2\iu}\langle[\hat A, \hat B]\rangle, en ∣z∣2≥(Im⁡z)2|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2. ∎

Opmerking 8.11 (De klassieke schaduw)

Deel door iℏ\iu\hbar en laat ℏ→0\hbar \to 0: commutatoren worden de poissonhaakjes van Hoofdstuk 2, waarbij {x,p}=1\{x, p\} = 1 het [x^,p^]=iℏ[\hat x, \hat p] = \iu\hbar weerklinkt, en de daar berekende haakjes van het impulsmoment zullen ongewijzigd als commutatoren terugkeren in Hoofdstuk 10. De regel van Dirac — het klassieke haakje maal iℏ\iu\hbar — is hoe het skelet van de mechanica de omwenteling overleefde.

8.5 Evolutie en behoud

Propositie 8.12 (Evolutie van gemiddelden; behouden grootheden)

Voor een observabele zonder expliciete tijdsafhankelijkheid geldt

 ⁣d⟨A^⟩ ⁣dt=iℏ ⟨[H^,A^]⟩.\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t} = \frac{\iu}{\hbar}\,\big\langle[\hat H, \hat A]\big\rangle .

Een observabele die met de hamiltoniaan commuteert blijft behouden — haar kansen liggen vast, niet alleen haar gemiddelde; symmetrieën leveren opnieuw behoudswetten, nu in de vorm van commutatie. Stationaire toestanden zijn de eigenvectoren van H^\hat H, die alleen via de fase e−iEt/ℏ\eu^{-\iu Et/\hbar} evolueren; een superpositie van twee niveaus zweeft met de bohrfrequentie (E2−E1)/h(E_2 - E_1)/h, zoals de putten van het volume van jaar 2 al lieten zien.

Bewijs. Differentieer ⟨ψ∣A^∣ψ⟩\bra\psi\hat A\ket\psi en vul P6 en haar toegevoegde in:

 ⁣d⟨A^⟩ ⁣dt=iℏ⟨ψ∣H^A^∣ψ⟩−iℏ⟨ψ∣A^H^∣ψ⟩=iℏ ⟨[H^,A^]⟩.\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t} = \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat H\hat A\ket\psi - \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat A\hat H\ket\psi = \frac{\iu}{\hbar}\,\langle[\hat H, \hat A]\rangle . \qedhere

∎

Methode 8.13 (Kwantummechanica met matrices)

Voor elk vraagstuk met eindig veel niveaus: (1) kies een basis die bij de vraag past (de assen van de analysator, de energie-eigentoestanden); (2) schrijf toestanden als kolomvectoren en observabelen als hermitische matrices; (3) diagonaliseer wat gemeten wordt — de eigenwaarden zijn de uitkomsten, de gekwadrateerde componenten de kansen; (4) laat energie-eigentoestanden evolueren met de fasen e−iEit/ℏ\eu^{-\iu E_it/\hbar} en druk ze opnieuw uit in de meetbasis; (5) begin na een meting opnieuw vanuit de geprojecteerde toestand. Het hele Probleem 8.1 is dit recept, uitgevoerd op een heelal met twee niveaus.

Drie polarisatoren op een bank: elk is een meting die de toestand van het licht op een as projecteert. Kruis er twee en er komt niets door; schuif er een derde onder een hoek tussen en het licht keert terug — de postulaten van dit hoofdstuk, op tafel uitgevoerd.
Drie polarisatoren op een bank: elk is een meting die de toestand van het licht op een as projecteert. Kruis er twee en er komt niets door; schuif er een derde onder een hoek tussen en het licht keert terug — de postulaten van dit hoofdstuk, op tafel uitgevoerd.

8.6 Opgaven

Oefening 8.1 ★

Zij in een orthonormale basis (∣1⟩,∣2⟩)(\ket1, \ket2) gegeven ∣ψ⟩=(2∣1⟩+i∣2⟩)/5\ket\psi = (2\ket1 + \iu\ket2)/\sqrt5 en ∣φ⟩=(∣1⟩−∣2⟩)/2\ket\varphi = (\ket1 - \ket2)/\sqrt2. (a) Controleer de normeringen. (b) Bereken ⟨φ | ψ⟩\braket\varphi\psi en ⟨ψ | φ⟩\braket\psi\varphi. (c) De kans om ∣ψ⟩\ket\psi in de toestand ∣φ⟩\ket\varphi aan te treffen. (d) Construeer de toestand die loodrecht op ∣ψ⟩\ket\psi staat (op een fase na).

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

(a) (4+1)/5=1(4 + 1)/5 = 1 en (1+1)/2=1(1 + 1)/2 = 1. (b) ⟨φ | ψ⟩=(2−i)/10\braket\varphi\psi = (2 - \iu)/\sqrt{10}; ⟨ψ | φ⟩=(2+i)/10\braket\psi\varphi = (2 + \iu)/\sqrt{10}: toegevoegden. (c) ∣(2−i)∣2/10=1/2|(2 - \iu)|^2/10 = 1/2. (d) Los ⟨ψ | χ⟩=0\braket\psi\chi = 0 op: ∣χ⟩=(∣1⟩−2i∣2⟩)/5\ket\chi = (\ket1 - 2\iu\ket2)/\sqrt5.

Oefening 8.2 ★

Welke van deze matrices zijn hermitisch, en wat zijn de eigenwaarden en genormeerde eigenvectoren van die welke het zijn?

(0110),(0−ii0),(11−11),(21−i1+i3).\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix} .
Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

De eerste: hermitisch; ±1\pm1 met (∣1⟩±∣2⟩)/2(\ket1 \pm \ket2)/\sqrt2. De tweede: hermitisch; ±1\pm1 met (∣1⟩±i∣2⟩)/2(\ket1 \pm \iu\ket2)/\sqrt2. De derde: niet hermitisch (de getransponeerd-toegevoegde verschilt). De vierde: hermitisch; λ2−5λ+4=0\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0 geeft 11 en 44, met eigenvectoren (−(1−i)∣1⟩+∣2⟩)/3\big({-(1 - \iu)}\ket1 + \ket2\big)/\sqrt3 en (∣1⟩+(1+i)∣2⟩)/3\big(\ket1 + (1 + \iu)\ket2\big)/\sqrt3.

Oefening 8.3 ★

Licht dat onder een hoek α\alpha is gepolariseerd treft een analysator onder een hoek β\beta. (a) Schrijf beide toestanden in de basis (∣H⟩,∣V⟩)(\ket H, \ket V) en bereken de doorlaatkans. (b) Vind de wet van Malus terug. (c) Wat is voor een stroom van NN fotonen de variantie van het doorgelaten aantal? (d) Circulair licht (∣H⟩+i∣V⟩)/2(\ket H + \iu\ket V)/\sqrt2 op een lineaire analysator onder een willekeurige hoek: doorlating? Verklaar waarom het antwoord niet van de hoek afhangt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

(a) ⟨β | α⟩=cos⁡βcos⁡α+sin⁡βsin⁡α=cos⁡(β−α)\braket\beta\alpha = \cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha = \cos(\beta - \alpha): kans cos⁡2(β−α)\cos^2(\beta - \alpha). (b) De intensiteit is ∝\propto het aantal fotonen: Malus. (c) Elk foton is een onafhankelijke trekking: variantie NP(1−P)N\mathcal P(1 - \mathcal P) — de ruis zelf bewijst de fotonen. (d) ∣cos⁡β+isin⁡β∣2/2=1/2|\cos\beta + \iu\sin\beta|^2/2 = 1/2 voor elke β\beta: circulair licht wijst geen dwarsas aan.

Oefening 8.4 ★

(a) Bewijs [x^,p^]=iℏ[\hat x, \hat p] = \iu\hbar door op een testfunctie te werken. (b) Bereken [x^2,p^][\hat x^2, \hat p] en [x^,p^2][\hat x, \hat p^2]. (c) Toon aan dat [A^,B^C^]=[A^,B^]C^+B^[A^,C^][\hat A, \hat B\hat C] = [\hat A, \hat B]\hat C + \hat B[\hat A, \hat C]. (d) Leid [x^,p^n]=iℏ np^n−1[\hat x, \hat p^n] = \iu\hbar\,n\hat p^{n-1} af en duid dit: welke klassieke bewerking bootst [x^,⋅ ][\hat x, \cdot\,] na?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

(a) (x^p^−p^x^)f=−iℏ(xf′−(xf)′)=iℏf(\hat x\hat p - \hat p\hat x)f = -\iu\hbar(xf' - (xf)') = \iu\hbar f. (b) [x^2,p^]=2iℏx^[\hat x^2, \hat p] = 2\iu\hbar\hat x; [x^,p^2]=2iℏp^[\hat x, \hat p^2] = 2\iu\hbar\hat p. (c) Tel B^A^C^\hat B\hat A \hat C erbij op en trek het er weer af. (d) Inductie met (c): iℏ np^n−1\iu\hbar\,n\hat p^{n-1} — [x^,⋅][\hat x, \cdot] werkt als iℏ ∂/∂p\iu\hbar\,\partial/\partial p, de kwantumschaduw van het poissonhaakje met xx.

Oefening 8.5 ★★

Opeenvolgende metingen. Een foton begint als ∣V⟩\ket V. (a) Het treft polarisatoren onder 45∘45^\circ en daarna 0∘0^\circ (horizontaal): bereken de kans dat het beide overleeft, met de tussenliggende ineenstorting expliciet gemaakt. (b) Vervang de middelste polarisator door twee onder 30∘30^\circ en 60∘60^\circ: doorlating? (c) Met N−1N - 1 tussenliggende polarisatoren in stappen van 90∘/N90^\circ/N: toon aan dat de overlevingskans cos⁡2N(π/2N)\cos^{2N}(\pi/2N) is en reken haar uit voor N=2,5,20N = 2, 5, 20. (d) De limiet N→∞N \to \infty draait de polarisatie zonder verlies: geef commentaar (deze “kwantumzeno”-rotatie wordt op echte qubits gebruikt).

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

(a) ∣⟨45∘ | V⟩∣2=12|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12, ineenstorting, dan ∣⟨H | 45∘⟩∣2=12|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12: samen 14\tfrac14. (b) Nemen we ze in de volgorde 60∘60^\circ, 30∘30^\circ (drie stappen van 30∘30^\circ): (cos⁡230∘)3=27/64≈0.42(\cos^230^\circ)^3 = 27/64 \approx 0.42. (c) Elke stap van π/2N\pi/2N wordt met cos⁡2(π/2N)\cos^2(\pi/2N) doorgelaten: de overleving is [cos⁡2(π/2N)]N=0.25[\cos^2(\pi/2N)]^N = 0.25, 0.600.60 en 0.880.88 voor N=2,5,20N = 2, 5, 20. (d) Als N→∞N \to \infty gaat de overleving naar 11: vele zachte metingen sturen de toestand zonder verlies over 90∘90^\circ — meten gebruikt als stuurwiel.

Oefening 8.6 ★★

Op de ruimte met twee niveaus is A^=(0110)\hat A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix} en B^=(100−1)\hat B = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. (a) Bereken [A^,B^][\hat A, \hat B]: verenigbaar? (b) De toestand is ∣1⟩\ket1: geef de uitkomststatistiek van een meting van B^\hat B, en vervolgens van een meting van A^\hat A nadat een meting van B^\hat B de waarde +1+1 gaf. (c) Meet eerst A^\hat A (uitkomst +1+1), dan B^\hat B, dan opnieuw A^\hat A: met welke kans weerspreekt de laatste A^\hat A de eerste? (d) Wat zou een commutator nul voor (c) hebben betekend?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

(a) [A^,B^]=(0−220)≠0[\hat A, \hat B] = \begin{pmatrix}0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix} \neq 0: onverenigbaar. (b) B^\hat B op ∣1⟩\ket1: met zekerheid +1+1, zonder dat er iets instort; A^\hat A geeft daarna ±1\pm1, elk met kans 12\tfrac12. (c) Na A^→+1\hat A \to +1 is de toestand (∣1⟩+∣2⟩)/2(\ket1 + \ket2)/\sqrt2; B^\hat B laat haar instorten tot ∣1⟩\ket1 of ∣2⟩\ket2 (elk 12\tfrac12); hoe dan ook geeft de laatste A^\hat A ±1\pm1 met kans 12\tfrac12: tegenspraak met kans 12\tfrac12. (d) Commuterende observabelen delen eigentoestanden: de middelste meting zou niets verstoren, en de herhaling zou met zekerheid overeenstemmen.

Oefening 8.7 ★★

(a) Bereken voor de gaussische toestand van Oefening 7.1, beperkt tot één dimensie, Δx\Delta x en Δp\Delta p (gebruik het fourierpaar of integreer) en ga na dat de relatie van Heisenberg met gelijkheid geldt. (b) Welke toestanden verzadigen de algemene onzekerheidsstelling (formuleer de voorwaarde uit het gelijkheidsgeval van Cauchy–Schwarz)? (c) Een elektron opgesloten tot Δx=0.1 nm\Delta x = 0.1\,\mathrm{nm}: welke schaal heeft de minimale kinetische energie? (d) Hetzelfde voor een knikker (10 g10\,\mathrm{g}) tot op een micron gelokaliseerd: trek uw conclusie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

(a) Δx=σ\Delta x = \sigma en Δp=ℏ/2σ\Delta p = \hbar/2\sigma (de fouriergetransformeerde van een gaussfunctie met breedte σ\sigma heeft breedte 1/2σ1/2\sigma in kk): het product is precies ℏ/2\hbar/2. (b) Gelijkheid in Cauchy–Schwarz: β^∣ψ⟩∝α^∣ψ⟩\hat\beta\ket\psi \propto \hat\alpha\ket\psi met zuiver imaginaire verhouding — voor x,px, p heeft die differentiaalvergelijking uitsluitend gaussische oplossingen. (c) Δp≥5.3×10−25 kg m/s\Delta p \ge 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: E∼Δp2/2me≈1 eVE \sim \Delta p^2/2m_{\text{e}} \approx 1\,\mathrm{eV} — atomen zijn machines van elektronvolts omdat zij dozen van een ångström zijn. (d) Δv≥5×10−27 m/s\Delta v \ge 5 \times 10^{-27}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: nooit iets.

Oefening 8.8 ★★

(a) Vind uit Propositie 8.12 het paar van Ehrenfest voor x^\hat x en p^\hat p terug met H^=p^2/2m+V\hat H = \hat p^2/2m + V. (b) Toon aan dat de pariteit Π^\hat\Pi (Π^ψ(x)=ψ(−x)\hat\Pi\psi(x) = \psi(-x)) hermitisch is, tot de identiteit kwadrateert en de eigenwaarden ±1\pm1 heeft. (c) Toon aan dat [H^,Π^]=0[\hat H, \hat\Pi] = 0 voor een symmetrische potentiaal en concludeer dat niet-ontaarde niveaus een bepaalde pariteit hebben. (d) Welk waargenomen feit over de niveaus van een symmetrische dubbele put verklaart dit (denk aan het ammoniakdoublet uit het volume van jaar 2)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

(a) [H^,x^]=−iℏp^/m[\hat H, \hat x] = -\iu\hbar\hat p/m en [H^,p^]=iℏV′(x^)[\hat H, \hat p] = \iu\hbar V'(\hat x) geven  ⁣d⟨x⟩/ ⁣dt=⟨p⟩/m\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m en  ⁣d⟨p⟩/ ⁣dt=−⟨V′⟩\dd\langle p\rangle/\dd t = -\langle V'\rangle. (b) Een variabelenwissel in het inproduct toont de hermiticiteit; Π^2=1\hat\Pi^2 = \mathbb 1 dwingt de eigenwaarden ±1\pm1 af. (c) V(−x)=V(x)V(-x) = V(x) maakt H^\hat H blind voor pariteit; een niet-ontaarde eigentoestand moet dan ook eigentoestand van Π^\hat\Pi zijn: even of oneven. (d) Het bijna ontaarde doublet van de symmetrische dubbele put: één even en één oneven toestand — het inversiepaar van ammoniak, door tunneling gesplitst en stralend bij 24 GHz24\,\mathrm{GHz}.

Oefening 8.9 ★★

Een VSCO aan het werk. In de vierkante tweedimensionale doos wordt het niveau E∝5E \propto 5 opgespannen door ∣1,2⟩\ket{1,2} en ∣2,1⟩\ket{2,1}. (a) Toon aan dat de energie alleen de toestanden niet etiketteert. (b) Laat S^\hat S x↔yx \leftrightarrow y verwisselen: toon aan dat S^\hat S hermitisch is, met H^\hat H commuteert, en bepaal haar eigentoestanden binnen het niveau. (c) Ga na dat het paar (H^,S^)(\hat H, \hat S) elke toestand van dit niveau uniek etiketteert. (d) Geef de algemene moraal: ontaarding betekent dat het stel etiketten nog niet volledig was, en de symmetrie levert het ontbrekende etiket.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

(a) Beide toestanden delen EE: de energie noemen laat twee mogelijkheden open. (b) S^\hat S verwisselt de etiketten: hermitisch, kwadrateert tot de identiteit en commuteert met de symmetrische H^\hat H; binnen het niveau zijn haar eigentoestanden (∣1,2⟩±∣2,1⟩)/2(\ket{1,2} \pm \ket{2,1})/\sqrt2 met eigenwaarden ±1\pm1. (c) (E,+)(E, +) en (E,−)(E, -): unieke etiketten. (d) Een ontaarding is een onvolledig adres; de symmetrie die haar veroorzaakt levert ook het ontbrekende cijfer.

Oefening 8.10 ★★★

Onzekerheid tussen energie en tijd, eerlijk. Definieer voor elke observabele A^\hat A de evolutietijd τA=ΔA / ∣ ⁣d⟨A^⟩/ ⁣dt∣\tau_A = \Delta A\,/\,|\dd\langle\hat A\rangle/\dd t| — de tijd waarin het gemiddelde één standaardafwijking opschuift. (a) Bewijs ΔE  τA≥ℏ/2\Delta E\;\tau_A \ge \hbar/2 uit Stelling 8.10 en Propositie 8.12. (b) Waarom is dit geen onzekerheid tussen twee observabelen (wat is de tijd in het formalisme)? (c) Pas het toe op een aangeslagen atomaire toestand met levensduur 10 ns10\,\mathrm{ns}: lijnbreedte. (d) Pas het toe op uw polshorloge: hoe scherp kan de energie van een stelsel zijn als er zichtbaar elke seconde iets in verandert?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.10.

(a) ΔE ΔA≥12∣⟨[H^,A^]⟩∣=ℏ2∣ ⁣d⟨A⟩/ ⁣dt∣\Delta E\,\Delta A \ge \tfrac12|\langle[\hat H, \hat A]\rangle| = \tfrac\hbar2|\dd\langle A\rangle/\dd t|; deel. (b) De tijd is een parameter van de theorie, geen operator: de relatie begrenst hoe snel iets meetbaars kan evolueren, gegeven de energiespreiding. (c) ΔE∼ℏ/2τ=3.3×10−8 eV\Delta E \sim \hbar/2\tau = 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}: een natuurlijke lijnbreedte van enkele megahertz. (d) Een zichtbare verandering per seconde vergt slechts ΔE≳5×10−35 J\Delta E \gtrsim 5 \times 10^{-35}\,\mathrm{J} — voor macroscopische energieën in het geheel geen beperking: horloges mogen tikken.

Oefening 8.11 ★★★

Bewijs van de onzekerheidsstelling. Met α^,β^\hat\alpha, \hat\beta als in de tekst: (a) rechtvaardig ΔA2=∥α^∣ψ⟩∥2\Delta A^2 = \|\hat\alpha\ket\psi\|^2 met de hermiticiteit; (b) pas Cauchy–Schwarz toe en splits ⟨α^ψ | β^ψ⟩\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi} in een hermitisch en een antihermitisch deel, en vereenzelvig die met de gemiddelden van de anticommutator en de commutator; (c) concludeer en zeg wanneer de gelijkheid geldt; (d) toon aan dat voor [A^,B^]=iℏ[\hat A, \hat B] = \iu\hbar geen enkele toestand eigenvector van een van beide observabelen kan zijn terwijl beide afwijkingen eindig blijven — en verzoen dit met vlakke golven.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.11.

(a) ∥α^ψ∥2=⟨ψ | α^2ψ⟩=ΔA2\|\hat\alpha\psi\|^2 = \braket{\psi}{\hat\alpha^2\psi} = \Delta A^2 wegens de hermiticiteit van α^\hat\alpha. (b) ⟨α^ψ | β^ψ⟩=12⟨{α^,β^}⟩+12⟨[A^,B^]⟩\braket{\hat\alpha \psi}{\hat\beta\psi} = \tfrac12\langle\{\hat\alpha, \hat\beta\}\rangle + \tfrac12\langle[\hat A, \hat B]\rangle: de eerste term is reëel (het hermitische deel), de tweede zuiver imaginair. (c) ∣z∣2≥(Im⁡z)2|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2 geeft de stelling; gelijkheid vergt evenredige vectoren en een verdwijnend gemiddelde van de anticommutator. (d) Een eigentoestand van A^\hat A heeft ΔA=0\Delta A = 0, wat 0≥ℏ/20 \ge \hbar/2 afdwingt: onmogelijk voor normeerbare toestanden. Vlakke golven “halen” het alleen door niet-normeerbare idealisaties buiten de hilbertruimte te zijn.

Oefening 8.12 ★★★

De bewaakte pan. Een stelsel met twee niveaus begint in ∣1⟩\ket1 en zijn hamiltoniaan drijft een rabi-achtige oscillatie: na een tijd tt is de toestand cos⁡(ωt)∣1⟩+sin⁡(ωt)∣2⟩\cos(\omega t)\ket1 + \sin(\omega t)\ket2 (neem dit als gegeven). (a) Wanneer is de overdracht naar ∣2⟩\ket2 zonder meting voltooid? (b) Meet “welke toestand?” op de tijdstippen T/N,2T/N,…T/N, 2T/N, \dots met T=π/2ωT = \pi/2\omega: toon aan dat de kans om het stelsel bij elke controle nog steeds in ∣1⟩\ket1 aan te treffen [cos⁡2(π/2N)]N[\cos^2(\pi/2N)]^N is. (c) Reken dit uit voor N=1,4,20,100N = 1, 4, 20, 100 en toon aan dat het naar 11 gaat: veelvuldig waarnemen bevriest de evolutie (het kwantumzeno-effect, in 1990 met gevangen ionen waargenomen). (d) Leg in één zin uit welk postulaat het bevriezen doet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.12.

(a) Bij ωt=π/2\omega t = \pi/2, dus t=Tt = T. (b) Bij elke controle is de toestand over π/2N\pi/2N gedraaid; zij wordt aangetroffen in ∣1⟩\ket1 met kans cos⁡2(π/2N)\cos^2(\pi/2N) en stort terug in tot ∣1⟩\ket1; de controles zijn onafhankelijk, vandaar het product. (c) 00, 0.530.53, 0.880.88, 0.980.98: wie nauwlettend genoeg kijkt, ziet de pan nooit koken. (d) Het projectiepostulaat (P5): elke waarneming zet de evolutie terug op haar startlijn.

De Solvayconferentie van 1927 (foto van Benjamin Couprie, publiek domein): de mensen die de postulaten van dit hoofdstuk bouwden, in één zaal — en die diezelfde week nog ruzieden over wat meten betekent.
De Solvayconferentie van 1927 (foto van Benjamin Couprie, publiek domein): de mensen die de postulaten van dit hoofdstuk bouwden, in één zaal — en die diezelfde week nog ruzieden over wat meten betekent.

8.7 Vraagstuk: Neutrino’s verkleden zich onderweg

Probleem 8.1

Weekendvraagstuk — oscillaties met twee niveaus dwars door de aarde

Neutrino’s worden in kernreacties geboren als smaaktoestanden — elektronneutrino ∣νe⟩\ket{\nu_e} of muonneutrino ∣νμ⟩\ket{\nu_\mu} — maar zij planten zich voort als eigentoestanden van de energie (de massa), ∣ν1⟩,∣ν2⟩\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2}. De twee bases vallen niet samen: zij zijn over een menghoek θ\theta gedraaid,

∣νe⟩=cos⁡θ ∣ν1⟩+sin⁡θ ∣ν2⟩,∣νμ⟩=−sin⁡θ ∣ν1⟩+cos⁡θ ∣ν2⟩.\ket{\nu_e} = \cos\theta\,\ket{\nu_1} + \sin\theta\,\ket{\nu_2} , \qquad \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\,\ket{\nu_1} + \cos\theta\,\ket{\nu_2} .

De ontdekking dat neutrino’s daardoor onderweg tussen smaken oscilleren — en dus massa hebben — leverde de Nobelprijs van 2015 op. Dit vraagstuk leidt het effect af met niets buiten dit hoofdstuk. Een ultrarelativistisch neutrino met impuls pp en massa mim_i heeft energie Ei≈pc+mi2c4/2pc≈E+mi2c4/2EE_i \approx pc + m_i^2c^4/2pc \approx E + m_i^2c^4/2E.

Deel I — Het formalisme opgezet.

  1. Ga na dat een orthonormaal (∣ν1⟩,∣ν2⟩)(\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2}) ook (∣νe⟩,∣νμ⟩)(\ket{\nu_e}, \ket{\nu_\mu}) orthonormaal maakt.
  2. Waarom moet de voortplantingsbasis de eigenbasis van de energie zijn, in welke basis het neutrino ook geboren is? (Welk postulaat regeert de vrije vlucht?)
  3. Een muonneutrino wordt op t=0t = 0 geboren. Schrijf ∣ψ(0)⟩\ket{\psi(0)} in de massabasis.
  4. Schrijf ∣ψ(t)⟩\ket{\psi(t)}, waarbij elke massacomponent haar fase e−iEit/ℏ\eu^{-\iu E_it/\hbar} draagt.
  5. Toon aan dat een globale fase er niet toe doet, en zonder e−iE1t/ℏ\eu^{-\iu E_1t/\hbar} af: alleen de relatieve fase Δϕ=(E2−E1)t/ℏ\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar drijft de natuurkunde.
  6. Druk E2−E1E_2 - E_1 uit in Δm2=m22−m12\Delta m^2 = m_2^2 - m_1^2 en EE, voor ultrarelativistische neutrino’s.

Deel II — De oscillatieformule.

  1. Bereken de amplitude ⟨νe | ψ(t)⟩\braket{\nu_e}{\psi(t)}.

  2. Toon aan dat de verschijningskans

    Pνμ→νe(t)=sin⁡2(2θ) sin⁡2(Δϕ2).\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_e}(t) = \sin^2(2\theta)\,\sin^2\Big(\frac{\Delta\phi}{2}\Big) .

    bedraagt. (Gebruik 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta.)

  3. Toets de twee gezondheidslimieten: θ=0\theta = 0 en m1=m2m_1 = m_2. Wat bewijst elke waargenomen oscillatie dus?

  4. Toon met t≈L/ct \approx L/c aan dat

    P=sin⁡2(2θ) sin⁡2(Δm2c44ℏc LE),\mathcal P = \sin^2(2\theta)\, \sin^2\Big(\frac{\Delta m^2c^4}{4\hbar c}\,\frac{L}{E}\Big) ,

    en definieer de oscillatielengte Losc=4πℏcE/Δm2c4L_{\text{osc}} = 4\pi\hbar cE/\Delta m^2c^4.

  5. Toon aan dat de overlevingskans Pνμ→νμ=1−Pνμ→νe\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_\mu} = 1 - \mathcal P_{\nu_\mu\to\nu_e} is: waar is de unitariteit gebruikt?
  6. Waarom meet de oscillatie alleen Δm2\Delta m^2 en nooit de massa’s zelf?

Deel III — De proeven lezen. Atmosferische muonneutrino’s (E≈1 GeVE \approx 1\,\mathrm{GeV}) regenen van boven op een detector (L≈15 kmL \approx 15\,\mathrm{km}) en van onderen, dwars door de aarde (L≈12 800 kmL \approx 12\,800\,\mathrm{km}). Super-Kamiokande (1998) vond de flux van onderen gehalveerd en die van boven ongeschonden.

  1. Toon met ℏc=197 MeV fm\hbar c = 197\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm} de handige vorm Δm2c4 L4ℏcE=1.27 Δm2c4 [eV2] L [km]E [GeV]\dfrac{\Delta m^2c^4\,L}{4\hbar cE} = 1.27\, \dfrac{\Delta m^2c^4\,[\mathrm{eV}^{2}]\ L\,[\mathrm{km}]} {E\,[\mathrm{GeV}]} aan.
  2. Als de oscillatie bij L=12 800 kmL = 12\,800\,\mathrm{km} goed ontwikkeld moet zijn maar bij 15 km15\,\mathrm{km} verwaarloosbaar voor E=1 GeVE = 1\,\mathrm{GeV}: geef ruwe grenzen voor Δm2c4\Delta m^2c^4.
  3. De gemeten waarde is Δm2c4≈2.5×10−3 eV2\Delta m^2c^4 \approx 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}: bereken de oscillatielengte bij 1 GeV1\,\mathrm{GeV} en toets haar aan beide basislijnen.
  4. De onderdrukking van onderen ligt dicht bij 1/21/2, niet bij 00: toon aan dat het uitmiddelen van sin⁡2\sin^2 over vele oscillatielengten (en over energieën) 12sin⁡22θ\tfrac12\sin^22\theta geeft, en leid daaruit af dat de atmosferische menging bijna maximaal is (θ≈45∘\theta \approx 45^\circ).
  5. Wat geeft Δm2c4=2.5×10−3 eV2\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2} voor de zwaarste massa alleen als de lichtste verwaarloosbaar is — en vergelijk dat met de massa van het elektron: hoe zonderling licht zijn neutrino’s?
  6. Reactorantineutrino’s hebben E≈4 MeVE \approx 4\,\mathrm{MeV}. Toon met dezelfde formule met 1.271.27 aan dat een basislijn van één tot twee kilometer op de splitsing 2.5×10−3 eV22.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2} is afgestemd (de proef Daya Bay), terwijl L≈180 kmL \approx 180\,\mathrm{km} (KamLAND) op de kleinere “zonne”-splitsing 7.5×10−5 eV27.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2} is afgestemd — ga beide numeriek na.

Deel IV — Wat het betekent.

  1. De zon zendt νe\nu_e uit; decennialang telden detectoren maar een derde van de voorspelling. Leg het “zonneneutrinoprobleem” en de oplossing ervan elk in één zin uit.
  2. Waarom dwongen de oscillaties tot de conclusie dat neutrino’s massa hebben, tegen de oorspronkelijke boekhouding van het standaardmodel in?
  3. Een kwantumstelsel dat over 1280012800 kilometer fasecoherentie bewaart: wat zegt dit over hoe zwak neutrino’s wisselwerken, en waarom moet de detector enorm zijn?
  4. Smaak is een observabele: waarom commuteert haar operator niet met de vrije hamiltoniaan, en welke behoudswet is voor smaak dus niet beschikbaar (terwijl energie en impuls behouden blijven)?
  5. De natuur heeft drie smaken en drie massa’s: waarom beschrijft de behandeling met twee niveaus elke proef toch zo goed? (Denk aan de hiërarchie van de twee Δm2\Delta m^2 en aan welke daarvan elke basislijn oplost.)
  6. Benoem in het formalisme van dit hoofdstuk precies welke ingrediënten de oscillatie voortbrachten: welke basisontstemming, welk postulaat, welke fase.
  7. Vat het genoemde resultaat samen: een draaihoek nabij 45∘45^\circ en een splitsing Δm2c4=2.5×10−3 eV2\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2} laten een muonneutrino van een GeV verdwijnen met oscillatielengte ∼1000 km\sim1000\,\mathrm{km} — lineaire algebra met twee niveaus, bevestigd dwars door het lichaam van de aarde.
Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. Een rotatie stuurt een orthonormaal paar naar een orthonormaal paar: ⟨νe | νμ⟩=−cos⁡θsin⁡θ+sin⁡θcos⁡θ=0\braket{\nu_e}{\nu_\mu} = -\cos\theta\sin\theta + \sin\theta\cos\theta = 0. 2. P6: de vrije vlucht wordt voortgebracht door H^\hat H, wiens eigentoestanden zelfstandig via fasen evolueren — welke basis de productie ook koos. 3. ∣ψ(0)⟩=∣νμ⟩=−sin⁡θ∣ν1⟩+cos⁡θ∣ν2⟩\ket{\psi(0)} = \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\ket{\nu_1} + \cos\theta\ket{\nu_2}. 4. ∣ψ(t)⟩=−sin⁡θ e−iE1t/ℏ∣ν1⟩+cos⁡θ e−iE2t/ℏ∣ν2⟩\ket{\psi(t)} = -\sin\theta\,\eu^{-\iu E_1t/\hbar} \ket{\nu_1} + \cos\theta\,\eu^{-\iu E_2t/\hbar}\ket{\nu_2}. 5. Globale fasen vallen uit elke ∣⟨⋅ | ⋅⟩∣2|\braket\cdot\cdot|^2 weg: houd Δϕ=(E2−E1)t/ℏ\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar over. 6. E2−E1=(m22−m12)c4/2E=Δm2c4/2EE_2 - E_1 = (m_2^2 - m_1^2)c^4/2E = \Delta m^2c^4/2E. 7. ⟨νe | ψ(t)⟩=e−iE1t/ℏsin⁡θcos⁡θ (e−iΔϕ−1)\braket{\nu_e}{\psi(t)} = \eu^{-\iu E_1t/\hbar} \sin\theta\cos\theta\,(\eu^{-\iu\Delta\phi} - 1). 8. ∣⋯∣2=sin⁡2θcos⁡2θ ∣e−iΔϕ−1∣2=sin⁡22θ sin⁡2(Δϕ/2)|\cdots|^2 = \sin^2\theta\cos^2\theta\,|{\eu^{-\iu \Delta\phi} - 1}|^2 = \sin^22\theta\,\sin^2(\Delta\phi/2). 9. Geen menging, of geen massasplitsing: geen oscillatie. Elke waargenomen oscillatie bewijst θ≠0\theta \neq 0 en m1≠m2m_1 \neq m_2 — neutrino’s wegen. 10. Vul Δϕ=Δm2c4L/2ℏcE\Delta\phi = \Delta m^2c^4L/2\hbar cE in; LoscL_{\text{osc}} maakt het argument π\pi. 11. De twee smaakkansen zijn gekwadrateerde componenten in een orthonormale basis van een genormeerde toestand: zij tellen op tot 11 — de unitariteit van de evolutie behield de norm. 12. Alleen de relatieve fase is waarneembaar, en die bevat E2−E1∝m22−m12E_2 - E_1 \propto m_2^2 - m_1^2: de absolute massa’s vallen weg. 13. L4ℏcE\dfrac{L}{4\hbar cE} in de genoemde eenheden: 103 m/(4×1.973×10−7 eV m×109)=1.2710^{3}\,\mathrm{m}/(4 \times 1.973 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{m} \times 10^{9}) = 1.27 per eV2\mathrm{eV}^{2}. 14. Goed ontwikkeld van onderen: 1.27 Δm2×12800≳11.27\,\Delta m^2 \times 12800 \gtrsim 1, dus Δm2c4≳6×10−5 eV2\Delta m^2c^4 \gtrsim 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2}; verwaarloosbaar van boven: 1.27 Δm2×15≪11.27\,\Delta m^2 \times 15 \ll 1, dus ≪5×10−2\ll 5 \times 10^{-2}: ergens rond 10−410^{-4}–10−2 eV210^{-2}\,\mathrm{eV}^{2}. 15. Losc=πE/(1.27 Δm2c4)≈990 kmL_{\text{osc}} = \pi E/(1.27\,\Delta m^2c^4) \approx 990\,\mathrm{km} bij 1 GeV1\,\mathrm{GeV}: 15 km15\,\mathrm{km} blijft ongeroerd, 12 800 km12\,800\,\mathrm{km} is dertien volle lengten — precies het waargenomen patroon. 16. Over vele lengten en een spreiding aan energieën is ⟨sin⁡2⟩=12\langle\sin^2\rangle = \tfrac12: onderdrukking 12sin⁡22θ\tfrac12\sin^22 \theta; de gemeten helft dwingt sin⁡22θ≈1\sin^22\theta \approx 1 af, dus θ≈45∘\theta \approx 45^\circ — de natuur koos maximale menging. 17. m2c2≈2.5×10−3=0.05 eVm_2c^2 \approx \sqrt{2.5 \times 10^{-3}} = 0.05\,\mathrm{eV}: tien miljoen keer lichter dan het elektron — de lichtste materie die men kent, en niemand weet nog waarom. 18. Daya Bay: 1.27×2.5×10−3×1.5/0.004≈1.21.27 \times 2.5 \times 10^{-3} \times 1.5/0.004 \approx 1.2 — van de orde één, afgestemd; KamLAND: 1.27×7.5×10−5×180/0.004≈4.31.27 \times 7.5 \times 10^{-5} \times 180/0.004 \approx 4.3 — van de orde één voor de zonnesplitsing: elke basislijn is een interferometer die op één Δm2\Delta m^2 is gezet. 19. Het probleem: er kwam maar een derde van de voorspelde νe\nu_e van de zon aan. De oplossing: de ontbrekende twee derde komt aan als andere smaken, waarin de νe\nu_e zijn gedraaid (SNO telde het totaal en sprak de zon vrij). 20. Oscillatie vergt Δm2≠0\Delta m^2 \neq 0: ten minste één neutrino heeft massa — de eerste laboratoriumnatuurkunde voorbij het oorspronkelijke standaardmodel. 21. Fasecoherentie over 10710^7 meter betekent dat er onderweg in wezen niets heeft gewisselwerkt: werkzame doorsneden zo klein dat er kilotonnen water nodig zijn om er een handvol te vangen — vandaar de vijftigduizend ton van Super-Kamiokande. 22. Smaakoperatoren zijn diagonaal in de smaakbasis, die niet de energiebasis is: [H^,smaak]≠0[\hat H, \text{smaak}] \neq 0 — smaak is eenvoudigweg geen behouden grootheid van de vrije vlucht, terwijl energie en impuls dat wel zijn. 23. De twee splitsingen schelen een factor dertig: bij een gegeven L/EL/E is de ene oscillatie actief en de andere ofwel bevroren ofwel volledig uitgemiddeld — elke proef ziet een effectief stelsel met twee niveaus. 24. De productiebasis ≠\neq de voortplantingsbasis (de rotatie θ\theta); P6 levert de twee fasen; de regel van Born maakt van de relatieve fase een kans. 25. θ≈45∘\theta \approx 45^\circ en Δm2c4=2.5×10−3 eV2\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2} geven een muonneutrino van een GeV een oscillatielengte nabij 1000 km1000\,\mathrm{km}: lineaire algebra met twee niveaus, dwars door de planeet geverifieerd, en een Nobelprijs voor het verdwijnen van een halve flux.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst