O que é Ideal?

Exemplo 1.27 (Um mdc de polinômios, de duas maneiras)

Calcule $\gcd(X^3 - 1,\ X^2 - 1)$ em $\Q[X]$. Por Euclides:

logo o mdc é $X - 1$, e a substituição para trás dá a relação de Bézout

Pelos ideais: o ideal $(X^3 - 1)\Q[X] + (X^2 - 1)\Q[X]$ é principal (Teorema 1.26); ele contém $X - 1$ (a fórmula acima) e está contido em $(X - 1)\Q[X]$ (ambos os geradores se anulam em $1$, logo são múltiplos de $X - 1$): o gerador mônico é $X - 1$. A lição final: o ponto de vista dos ideais identifica o mdc sem dividir — as raízes comuns localizam o ideal, e Euclides apenas o certifica.

Exemplo 1.34 (Um morfismo de avaliação e seu núcleo)

Tome $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ e a avaliação $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$, $P \mapsto P(A)$. Como $A^2 = 0$,

(só sobrevivem os termos constante e linear de $P$). Logo $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$: um ideal principal, exatamente como prevê o Teorema 1.26, gerado pelo polinômio mônico $X^2$ de menor grau no núcleo — o polinômio minimal de $A$, estrela do Capítulo 3. A imagem é a álgebra comutativa de dimensão dois $\{aI + bA\}$: os morfismos de avaliação encolhem o espaço $\R[X]$, de dimensão infinita, sobre álgebras pequenas e calculáveis.

Exemplo 2.20 (Um anel sem fatoração única)

Nenhuma das implicações euclidiano $\Rightarrow$ DIP $\Rightarrow$ DFU é uma equivalência, e vale a pena ver ao menos uma vez, em detalhe completo, como a última falha. Em

a norma é multiplicativa e $N(z) = 1$ se, e somente se, $z \in A^\times = \{\pm1\}$. Considere

Os quatro fatores são irredutíveis: suas normas são $4, 9, 6, 6$, e uma fatoração própria $z = z_1z_2$ forçaria $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — mas $a^2 + 5b^2$ nunca vale $2$ nem $3$ ($b = 0$ deixa os não quadrados $2, 3$; $\abs b \geq 1$ dá $\geq 5$). E, no entanto, $2$ não é associado a nenhum dos $1 \pm \iu\sqrt5$ (normas $4 \neq 6$): duas fatorações genuinamente distintas de $6$ em irredutíveis. De maneira equivalente, aqui irredutível $\neq$ primo: $2$ divide o produto $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ mas não divide nenhum dos fatores (normas, de novo). O reparo desse fracasso pela via dos ideais — fatorar ideais em vez de elementos — é a certidão de nascimento da teoria algébrica dos números; em nosso nível, o exemplo calibra o quanto são especiais os anéis euclidianos $\Z$, $K[X]$ e $\Z[\iu]$ deste capítulo.