O que é base de uma topologia?

Uma base de $\mathcal T$ é uma família $\mathcal B \subseteq \mathcal T$ tal que todo aberto é uma reunião de membros de $\mathcal B$ (por exemplo, as bolas abertas em um espaço métrico; os intervalos abertos em $\R$). Uma família $\mathcal B$ de subconjuntos de $X$ é base de alguma topologia se, e somente se, ela cobre $X$ e, para $B_1, B_2 \in \mathcal B$ e $x \in B_1 \cap B_2$, existe $B_3 \in \mathcal B$ com $x \in B_3 \subseteq B_1\cap B_2$ — e então “as reuniões de membros” formam uma topologia, a topologia gerada por $\mathcal B$.