Wat is basis van een topologie?

Een basis van $\mathcal T$ is een familie $\mathcal B \subseteq \mathcal T$ zodanig dat elke open verzameling een vereniging van leden van $\mathcal B$ is (bijvoorbeeld de open ballen in een metrische ruimte, of de open intervallen in $\R$). Een familie $\mathcal B$ van deelverzamelingen van $X$ is een basis van een topologie dan en slechts dan als ze $X$ overdekt en er voor $B_1, B_2 \in \mathcal B$ en $x \in B_1 \cap B_2$ een $B_3 \in \mathcal B$ is met $x \in B_3 \subseteq B_1\cap B_2$ — dan is “verenigingen van leden” een topologie, de door $\mathcal B$ voortgebrachte topologie.