¿Qué es base de una topología?

Una base de $\mathcal T$ es una familia $\mathcal B \subseteq \mathcal T$ tal que todo abierto es unión de miembros de $\mathcal B$ (por ejemplo, las bolas abiertas en un espacio métrico o los intervalos abiertos en $\R$). Una familia $\mathcal B$ de subconjuntos de $X$ es base de alguna topología si y solo si recubre $X$ y, para $B_1, B_2 \in \mathcal B$ y $x \in B_1 \cap B_2$, existe $B_3 \in \mathcal B$ con $x \in B_3 \subseteq B_1\cap B_2$ — y entonces «las uniones de miembros» forman una topología, la topología generada por $\mathcal B$.