什么是 cosh⁡, sinh⁡, tanh⁡？

Exemplo 4.20 (A fórmula de adição para $\tanh$)

Dividindo as duas fórmulas de adição da Proposição 4.18 (3) por $\cosh x\cosh y$:

a irmã hiperbólica da fórmula de adição da tangente — com um $+$ onde a trigonometria tem um $-$. Um dividendo: como $\abs{\tanh} < 1$, o lado direito é uma regra de “adição de velocidades” que nunca sai de $\intoo{-1}1$: se $u, v \in \intoo{-1}1$, então $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ também (escreva $u = \tanh a$, $v = \tanh b$, o que é possível pela bijetividade, e leia a fórmula ao contrário). Verificar isso algebricamente, sem funções hiperbólicas, é um exercício ligeiramente penoso; parametrizar por $\tanh$ o torna uma linha — a mesma estratégia que as funções circulares oferecem para o círculo unitário.

Exemplo 4.22 (Formas fechadas em ação)

A solução de $\cosh t = 2$ com $t \geq 0$ é, pela forma fechada, $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$; a outra solução é $-t$, pela paridade — e, de fato, $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$: as duas raízes $u = \eu^t$ da equação do segundo grau $u^2 - 4u + 1 = 0$ são recíprocas, como o seu produto $1$ (Girard) exige. Esse cálculo minúsculo exibe o padrão geral: equações hiperbólicas convertem-se em equações do segundo grau em $\eu^t$, e a simetria $t \mapsto -t$ aparece como a simetria $u \mapsto 1/u$ da equação quadrática — vale lembrar disso ao resolver o Exercício 4.7.