Matemática universitária — Graduação 1 · Licence 1

14Derivação

As derivadas foram calculadas ao longo de todo o volume do ensino médio; o que faltava é a cadeia de teoremas que transforma cálculo em informação sobre as funções: o teorema de Rolle, o teorema do valor médio e as suas consequências — critérios de monotonicidade, estimativas de Lipschitz, convexidade. Tudo neste capítulo diz respeito a funções definidas num intervalo $I$ .

14.1 A derivada

Definição 14.1

$f \colon I \to \R$ é derivável em $x_0 \in I$ quando o quociente de diferenças $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ tem limite (finito) quando $x \to x_0$ ; o limite é escrito $f'(x_0)$ . Equivalentemente:

f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\,h + h\,\varepsilon(h), \qquad \varepsilon(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 ,

admitindo então o gráfico a reta tangente $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ . A derivabilidade em $x_0$ implica a continuidade em $x_0$ (leia a expressão). $f$ é derivável em $I$ quando o é em todo ponto; $f$ é de classe $C^1$ quando, além disso, $f'$ é contínua, e de classe $C^k$ quando $f$ pode ser derivada $k$ vezes com $f^{(k)}$ contínua.

Exemplo 14.2

A recíproca de “derivável $\Rightarrow$ contínua” falha: $\abs{\,\cdot\,}$ em $0$ . Mais surpreendentemente, derivável não implica $C^1$ : a função $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ( $f(0) = 0$ ) é derivável em toda parte, com $f'(0) = 0$ , mas $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ não tem limite em $0$ (Exercício 14.2).

Exemplo 14.3 (Derivável em exatamente um ponto)

Sejam $f(x) = x^2$ para $x \in \Q$ e $f(x) = 0$ para $x \notin \Q$ . Em $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$ , de modo que $f$ é derivável em $0$ , com $f'(0) = 0$ . Em qualquer $x_0 \neq 0$ , $f$ nem sequer é contínua: sequências racionais e irracionais que convergem a $x_0$ mandam $f$ a $x_0^2 \neq 0$ e a $0$ , respectivamente (densidade, Teorema 10.14). Assim, a derivabilidade é uma noção genuinamente pontual: ela pode valer num ponto de $\R$ e em nenhum outro. A moral para a prática: enunciados como o critério de monotonicidade ou Rolle exigem a derivada num intervalo — possuir $f'(x_0)$ em pontos isolados, por mais numerosos que sejam, não sustenta conclusão global alguma.

Teorema 14.4 (Operações)

Se $f, g$ são deriváveis em $x_0$ (e onde as fórmulas fazem sentido):

(f + g)' = f' + g', \qquad (fg)' = f'g + fg', \qquad \Bigl(\frac fg\Bigr)' = \frac{f'g - fg'}{g^2},

e, se $g$ é derivável em $f(x_0)$ : $\;(g \circ f)'(x_0) = g'\bigl(f(x_0)\bigr)\, f'(x_0)$ (regra da cadeia).

Demonstração. Soma: imediata. Produto: escreva

f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = \bigl(f(x) - f(x_0)\bigr) g(x) + f(x_0)\bigl(g(x) - g(x_0)\bigr),

divida por $x - x_0$ e faça $x \to x_0$ ( $g$ é contínua em $x_0$ ). Quociente: trate $\frac 1g$ via $\frac{1/g(x) - 1/g(x_0)}{x - x_0} = \frac{-1}{g(x)g(x_0)}\cdot\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}$ e aplique depois a regra do produto. Regra da cadeia: com $y_0 = f(x_0)$ , defina $\theta(y) = \frac{g(y) - g(y_0)}{y - y_0}$ para $y \neq y_0$ e $\theta(y_0) = g'(y_0)$ : $\theta$ é contínua em $y_0$ e, para $x \neq x_0$ ,

\frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{x - x_0} = \theta\bigl(f(x)\bigr)\cdot \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \longrightarrow g'(y_0)\, f'(x_0),

o primeiro fator pela composição de limites (esse artifício trata limpamente o caso $f(x) = f(x_0)$ , em que o ingênuo “multiplicar e dividir por $f(x) - f(x_0)$ ” se quebra). ∎

Teorema 14.5 (Derivada de uma função inversa)

Seja $f$ contínua e estritamente monótona em $I$ , derivável em $x_0$ com $f'(x_0) \neq 0$ . Então $f^{-1}$ (Teorema 13.16) é derivável em $y_0 = f(x_0)$ , com

(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y_0)\bigr)} .

Se $f'(x_0) = 0$ , a inversa tem tangente vertical em $y_0$ .

Demonstração. Para $y \to y_0$ , ponha $x = f^{-1}(y)$ : a continuidade de $f^{-1}$ dá $x \to x_0$ , e

\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y - y_0} = \frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} = \frac{1}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} \longrightarrow \frac{1}{f'(x_0)} .

Afirmação da tangente vertical: se $f'(x_0) = 0$ , o quociente exibido é o inverso de uma quantidade que tende a $0$ mantendo um sinal constante (para $f$ estritamente crescente, $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} > 0$ para todo $x \neq x_0$ ): o quociente de diferenças de $f^{-1}$ tende, portanto, a $+\infty$ (a $-\infty$ para $f$ decrescente). A inversa permanece contínua, mas não é derivável em $y_0$ — o seu gráfico, reflexão do de $f$ na diagonal, fica vertical exatamente onde o de $f$ corria horizontal, como $x^{1/3}$ em $0$ ilustra contra $x^3$ . ∎

Exemplo 14.6 (Derivadas de inversas, duas vezes)

O teorema recalcula as derivadas clássicas sem nenhum trabalho com limites. Para $\ln = \exp^{-1}$ : em $y = \eu^x$ ,

(\ln)'(y) = \frac{1}{\exp'(x)} = \frac{1}{\eu^{x}} = \frac1y ,

válido para todo $y > 0$ , pois $\exp' = \exp$ nunca se anula. Para $\arctan = \tan^{-1}$ : em $y = \tan x$ ,

(\arctan)'(y) = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + y^2} ,

usando $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$ . A ideia de fechamento: a fórmula converte conhecimento sobre uma função em conhecimento sobre a sua inversa ao preço de uma substituição — e a substituição ( $x = \ln y$ , $x = \arctan y$ ) é exatamente a afirmação de que as duas variáveis vivem em lados opostos da bijeção.

14.2 Rolle e o teorema do valor médio

Proposição 14.7 (Extremo interior)

Se $f$ é derivável num ponto interior $x_0$ de $I$ e tem ali um extremo local, então $f'(x_0) = 0$ .

Demonstração. Digamos que seja um máximo local: existe $r > 0$ com $f(x) \leq f(x_0)$ para $\abs{x - x_0} \leq r$ , e a interioridade garante que os dois lados de $x_0$ estão disponíveis dentro de $I$ . Para $0 < h \leq r$ , o quociente $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ tem numerador $\leq 0$ e denominador $> 0$ : ele é $\leq 0$ , e o seu limite $f'(x_0)$ herda $\leq 0$ (desigualdades largas passam ao limite, Teorema 11.7); para $-r \leq h < 0$ , o quociente é $\geq 0$ , o que dá $f'(x_0) \geq 0$ . Portanto, $f'(x_0) = 0$ . (Numa extremidade, só um sinal está disponível: a conclusão falha ali — pense em $x$ em $\intcc{0}{1}$ , máximo em $1$ com derivada $1$ .) ∎

Teorema 14.8 (Rolle)

Seja $f$ contínua em $\intcc{a}{b}$ , derivável em $\intoo{a}{b}$ , com $f(a) = f(b)$ . Então $f'(c) = 0$ para algum $c \in \intoo{a}{b}$ .

Demonstração. Pelo teorema de Weierstrass (Teorema 13.13), $f$ atinge o seu máximo e o seu mínimo em $\intcc{a}{b}$ . Se ambos são atingidos nas extremidades, então (como $f(a) = f(b)$ ) máximo $=$ mínimo e $f$ é constante: qualquer $c$ interior serve. Caso contrário, um extremo é atingido num ponto interior $c$ , e a Proposição 14.7 dá $f'(c) = 0$ . ∎

Teorema 14.9 (Teorema do valor médio)

Seja $f$ contínua em $\intcc{a}{b}$ , derivável em $\intoo{a}{b}$ . Existe $c \in \intoo{a}{b}$ com

f(b) - f(a) = f'(c)\,(b - a) .

Desigualdade do valor médio: se, além disso, $m \leq f' \leq M$ em $\intoo{a}{b}$ , então $m(b-a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b-a)$ ; em particular, $\abs{f'} \leq K$ implica que $f$ é $K$ -lipschitziana.

Demonstração. Aplique Rolle a $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ : $g$ é contínua em $\intcc{a}{b}$ , derivável no interior, e $g(a) = f(a) = g(b)$ . No ponto $c$ em que $g'(c) = 0$ : $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . A desigualdade decorre de estimar $f'(c)$ ; o enunciado de Lipschitz a aplica a todo par de pontos. ∎

O teorema do valor médio: alguma tangente (tracejada) é paralela à corda (cinza). A sua abscissa c é onde o teorema de Rolle, aplicado à função menos a sua corda, encontra um ponto crítico. — O teorema do valor médio: alguma tangente (tracejada) é paralela à corda (cinza). A sua abscissa $c$ é onde o teorema de Rolle, aplicado à função menos a sua corda, encontra um ponto crítico.

Exemplo 14.10 (O método de Newton é o de Heron)

O método de Newton para resolver $f(x) = 0$ substitui a curva pela sua tangente na estimativa atual $x_n$ e toma a raiz da tangente como estimativa seguinte:

0 = f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1} - x_n) \quad\Longrightarrow\quad x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .

Execute-o em $f(x) = x^2 - 2$ :

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n} = \frac12\Bigl(x_n + \frac{2}{x_n}\Bigr) :

exatamente a iteração de Heron (Exemplo 11.24), dois milênios antes. A velocidade quadrática ali observada fica agora explicada pelo retrato da tangente: perto de uma raiz simples, curva e tangente diferem por um erro de segunda ordem, de modo que cada passo aproximadamente eleva o erro ao quadrado — o enunciado geral decorre das estimativas de Taylor do Capítulo 16. A ideia de fechamento: onde a dicotomia (Exemplo 13.12) usa apenas continuidade e ganha um bit por passo, Newton gasta uma derivada para dobrar o número de algarismos corretos por passo.

Exemplo 14.11 (O teorema do valor médio como estimador)

Quanto vale $\sqrt{101}$ ? Aplique o teorema a $f(t) = \sqrt t$ em $\intcc{100}{101}$ : para algum $c \in \intoo{100}{101}$ ,

\sqrt{101} - 10 = \frac{1}{2\sqrt c}, \qquad\text{logo}\qquad \frac{1}{2\sqrt{101}} < \sqrt{101} - 10 < \frac{1}{20} = 0.05 ,

e, como $\sqrt{101} < 10.05$ , a estimativa da esquerda excede $\frac{1}{20.1} > 0.0497$ : assim, $10.0497 < \sqrt{101} < 10.05$ (valor verdadeiro: $10.049875\dots$ ) — três casas decimais corretas a partir de uma avaliação de derivada. Do mesmo modo, $\abs{\sin a - \sin b} \leq \abs{a - b}$ (estimativa $\abs{\cos}\leq 1$ ): as estimativas de Lipschitz usadas desde o Capítulo 11 são todas este teorema. A ideia de fechamento: o teorema do valor médio é uma fórmula de Taylor de ordem zero — ele troca um ponto desconhecido $c$ por uma desigualdade firme, e o Capítulo 16 iterará exatamente essa troca.

Corolário 14.12 (Critério de monotonicidade)

Seja $f$ contínua em $I$ e derivável no interior.

$f' \geq 0$ no interior $\iff$ $f$ é crescente; $f' = 0$ $\iff$ $f$ constante.
Se $f' > 0$ salvo em finitos pontos em que ela se anula, $f$ é estritamente crescente.

Demonstração. Se $f' \geq 0$ : para $x < y$ em $I$ , o teorema do valor médio em $\intcc{x}{y}$ dá $f(y) - f(x) = f'(c)(y - x) \geq 0$ . Reciprocamente, os quocientes de diferenças de uma função crescente são $\geq 0$ , de modo que os seus limites também. O caso constante: aplique o anterior a $f'$ e a $-f' \geq 0$ . Versão estrita: $f$ é crescente; a igualdade $f(x) = f(y)$ para $x < y$ congelaria $f$ em $\intcc{x}{y}$ , forçando $f' = 0$ ali — infinitos pontos. ∎

Exemplo 14.13 (Derivadas iguais, funções diferentes)

Em $\R^* = \intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{0}{+\infty}$ , tanto $f(x) = \ln\abs x$ quanto $g(x) = \ln\abs x + \mathbf{1}_{x>0}$ (some $1$ apenas na semirreta direita) satisfazem $f' = g' = \frac1x$ . Elas não diferem por uma constante: o critério “ $f' = 0 \implies f$ constante” é um enunciado de intervalo — a sua demonstração roda o teorema do valor médio entre dois pontos, o que exige que todo o segmento que os une esteja no domínio. Em cada semirreta separadamente, as primitivas de $\frac1x$ são $\ln\abs x + c$ , com uma constante por semirreta, duas constantes independentes no total. O Capítulo 15 herda essa letra miúda: “a” primitiva de uma função fica bem definida a menos de uma constante em cada intervalo do seu domínio, e as tabelas de primitivas supõem silenciosamente a conexidade.

Exemplo 14.14 (Estrita de graça)

$x \mapsto x^3$ é estritamente crescente em $\R$ , ainda que a sua derivada se anule em $0$ : a cláusula do critério “ $f' > 0$ salvo em finitos pontos” foi desenhada exatamente para tais pontos planos. Em contrapartida, $f' \geq 0$ sozinho só dá crescimento no sentido largo (uma função constante se qualifica), e uma derivada que se anula num subintervalo inteiro de fato congela a função ali. A regra prática: para afirmar monotonicidade estrita, liste os zeros de $f'$ ; finitos (ou, mais geralmente, nenhum em subintervalo algum) é inofensivo, e um intervalo deles é fatal.

Exemplo 14.15 (Um estudo de variação completo)

Estude $f(x) = x^3 - 3x + 1$ em $\R$ . Derivada: $f'(x) = 3(x^2 - 1)$ , positiva em $\intoo{-\infty}{-1}$ , negativa em $\intoo{-1}{1}$ , positiva em $\intoo{1}{+\infty}$ : pelo critério de monotonicidade, $f$ cresce, depois decresce, depois cresce, com um máximo local $f(-1) = 3$ e um mínimo local $f(1) = -1$ . Limites: $\mp\infty$ em $\mp\infty$ . Consequências, lidas na tabela de variação com o teorema do valor intermediário em cada ramo monótono: $f$ se anula exatamente uma vez em cada um de

\intoo{-\infty}{-1}, \qquad \intoo{-1}{1}, \qquad \intoo{1}{+\infty}

(os valores nas junções têm sinais opostos: $3 > 0 > -1$ ), de modo que a equação $x^3 - 3x + 1 = 0$ tem exatamente três raízes reais; numericamente, elas ficam perto de $-1.88$ , $0.35$ e $1.53$ . A ideia de fechamento: uma tabela de variação é um instrumento de demonstração, não um esboço — ramo monótono mais mudança de sinal é igual a exatamente uma raiz, e a tabela enumera os ramos exaustivamente.

Teorema 14.16 (Fórmula de Leibniz)

Se $f, g$ são $n$ vezes deriváveis, então $fg$ também é, e

(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk f^{(k)}\, g^{(n-k)} .

Demonstração. Indução em $n$ , exatamente paralela ao teorema binomial. O caso $n = 1$ é a regra do produto. Supondo a fórmula no posto $n$ , derive mais uma vez:

(fg)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \Bigl( f^{(k+1)} g^{(n-k)} + f^{(k)} g^{(n-k+1)} \Bigr),

depois reindexe a primeira soma com $j = k + 1$ e reúna o coeficiente de $f^{(j)} g^{(n+1-j)}$ : ele é $\binom{n}{j-1} + \binom nj = \binom{n+1}{j}$ , pela regra de Pascal (Proposição 2.15), com os termos de fronteira $j = 0$ e $j = n + 1$ carregando $\binom{n+1}{0} = \binom{n+1}{n+1} = 1$ , como devem. ∎

Exemplo 14.17 (Leibniz em ação)

Calcule $\bigl(x^2 \eu^x\bigr)^{(n)}$ para $n \geq 2$ . Tome $f = x^2$ , cujas derivadas morrem depressa ( $f' = 2x$ , $f'' = 2$ , $f^{(k)} = 0$ para $k \geq 3$ ), e $g = \eu^x$ : só três termos da soma de Leibniz sobrevivem,

\bigl(x^2\eu^x\bigr)^{(n)} = \binom n0 x^2 \eu^x + \binom n1 (2x)\,\eu^x + \binom n2\, 2\,\eu^x = \eu^x\bigl(x^2 + 2nx + n(n-1)\bigr).

Verificação de sanidade em $n = 1$ : $\eu^x(x^2 + 2x)$ , que é de fato $(x^2\eu^x)'$ . A ideia de fechamento: use Leibniz quando um dos fatores for um polinômio — a soma tem então apenas $\deg + 1$ termos, e a fórmula é uma forma fechada, não uma identidade abstrata. (Para dois fatores infinitamente vivos, como $\eu^x\sin x$ , as exponenciais complexas do Capítulo 3 são a ferramenta melhor.)

14.3 Convexidade

Definição 14.18

$f \colon I \to \R$ é convexa quando toda corda fica acima do gráfico:

\forall x, y \in I,\ \forall t \in \intcc{0}{1}, \quad f\bigl(tx + (1-t)y\bigr) \leq t f(x) + (1-t) f(y).

( $f$ é côncava quando $-f$ é convexa.)

Teorema 14.19 (Caracterizações diferenciais)

Seja $f$ derivável em $I$ . São equivalentes:

$f$ é convexa;
$f'$ é crescente em $I$ ;
o gráfico fica acima de toda tangente: $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y - x)$ para todos $x, y \in I$ .

Se $f$ é duas vezes derivável: $f$ convexa $\iff f'' \geq 0$ .

Demonstração. (1 $\Rightarrow$ 3) A convexidade escrita como $\frac{f(x + t(y-x)) - f(x)}{t} \leq f(y) - f(x)$ para $t \in \intoc{0}{1}$ ; faça $t \to 0^+$ : $f'(x)(y - x) \leq f(y) - f(x)$ .

(3 $\Rightarrow$ 2) Para $x < y$ , as duas desigualdades de tangente em $x$ e em $y$ dão $f'(x)(y-x) \leq f(y) - f(x) \leq f'(y)(y - x)$ , donde $f'(x) \leq f'(y)$ .

(2 $\Rightarrow$ 1) Fixe $x < y$ e $t \in \intoo{0}{1}$ , e seja $z = tx + (1-t)y \in \intoo{x}{y}$ . Pelo teorema do valor médio em $\intcc{x}{z}$ e em $\intcc{z}{y}$ , existem $c_1 < z < c_2$ com

\frac{f(z) - f(x)}{z - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(y) - f(z)}{y - z} ,

e eliminar denominadores ( $z - x = (1-t)(y-x)$ , $y - z = t(y-x)$ ) rearranja exatamente na desigualdade de convexidade.

Caso duas vezes derivável: $f'' \geq 0 \iff f'$ crescente (Corolário 14.12). ∎

Convexidade, duas vezes: toda corda (cinza) fica acima do gráfico, e o gráfico fica acima de toda tangente (tracejada).

Exemplo 14.20 (Desigualdades clássicas de convexidade)

$\exp$ é convexa ( $\exp'' = \exp > 0$ ): a sua tangente em $0$ dá $\eu^x \geq 1 + x$ para todo $x$ . $\ln$ é côncava: a sua tangente em $1$ dá $\ln x \leq x - 1$ ; as suas cordas dão, para $0 < a \leq b$ , a desigualdade entre as médias geométrica e aritmética: tomando $t = \frac12$ na concavidade,

\ln\frac{a + b}{2} \geq \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln\sqrt{ab}, \qquad\text{logo}\qquad \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} .

A desigualdade aritmético-geométrica geral é o Exercício 14.9.

Exemplo 14.21 (Uma desigualdade de convexidade do zero)

A função $f(t) = t\ln t$ é convexa em $\intoo{0}{+\infty}$ : $f''(t) = \frac1t > 0$ . A sua desigualdade do ponto médio, multiplicada por $2$ , diz: para todos $a, b > 0$ ,

a\ln a + b\ln b \;\geq\; (a + b)\,\ln\frac{a + b}{2} ,

com igualdade se, e somente se, $a = b$ (convexidade estrita). Teste: $a = 1$ , $b = 3$ dá $3\ln 3 = 3.296$ contra $4\ln 2 = 2.773$ . Esta desigualdade inócua é o caso de dois pontos da comparação de entropia que reaparece com a desigualdade de Jensen (Exercício 14.9) e nas assintóticas da teoria da informação do volume do terceiro ano. A ideia de fechamento: para fabricar uma desigualdade, encontre uma função cuja segunda derivada tenha sinal e escreva o que a convexidade diz — a caracterização diferencial converte uma verificação de sinal em infinitas desigualdades.

Observação 14.22 (Armadilhas frequentes com derivadas)

(i) Uma derivada positiva num ponto não dá monotonicidade perto dele: $f(x) = \frac x2 + x^2\sin\frac1x$ (com $f(0) = 0$ ) tem $f'(0) = \frac12 > 0$ e, no entanto,

f'(x) = \frac12 + 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x

vale $-\frac12$ em cada $x_n = \frac{1}{2\pi n}$ : toda vizinhança de $0$ contém descidas. A monotonicidade exige $f' \geq 0$ num intervalo (Corolário 14.12); o sinal pontual só controla o cruzamento da reta tangente. (ii) As três hipóteses de Rolle estão todas ativas: $\abs x$ em $\intcc{-1}{1}$ (sem derivabilidade interior), $x$ em $\intcc{0}{1}$ (extremidades não iguais) e $x - \lfloor x\rfloor$ em $\intcc{0}{1}$ (a continuidade falha em $1$ ) quebram cada uma exatamente uma hipótese e a conclusão. (iii) As derivadas podem ser descontínuas, mas não arbitrariamente: $f'$ pode oscilar (Exemplo 14.2) e, ainda assim, sempre satisfaz a propriedade do valor intermediário (Darboux, Exercício 14.10): uma derivada nunca salta — se você calcular um “limite de derivada” lateral com salto, terá derivado uma função não derivável. (iv) A fórmula da inversa precisa de $f' \neq 0$ : $x \mapsto x^3$ é uma bijeção suave estritamente crescente cuja inversa $x^{1/3}$ tem tangente vertical em $0$ — a derivabilidade da inversa se perde exatamente onde $f'$ se anula (Teorema 14.5).

Observação 14.23 (Onde o teorema do valor médio trabalha em seguida)

Quase todo enunciado quantitativo dos próximos capítulos é o teorema do valor médio deste capítulo fantasiado: o teorema fundamental do cálculo (Capítulo 15) deriva a função área e conclui com o critério de monotonicidade; a fórmula de Taylor–Lagrange (Capítulo 16) é o teorema do valor médio iterado $n$ vezes; a análise de erro do método de Newton e das iterações de ponto fixo (Exercício 14.11) é a forma de Lipschitz; e o problema de fim de semana deste capítulo (Problema 14.1) converte a mesma estimativa de Lipschitz em teoria dos números — uma desigualdade de repulsão entre números algébricos e racionais, que produz o primeiro número transcendente da história. No volume do segundo ano, a desigualdade do valor médio sobrevive em várias variáveis, quando a igualdade não sobrevive.

Exemplo 14.24 (A desigualdade de Young a partir da concavidade)

Sejam $p, q > 1$ com $\frac1p + \frac1q = 1$ . Para todos $a, b > 0$ :

ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} .

Demonstração por uma aplicação da concavidade de $\ln$ com pesos $\frac1p, \frac1q$ (a desigualdade de Jensen em dois pontos, como no Exercício 14.9):

\ln\Bigl(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\Bigr) \;\geq\; \frac1p \ln(a^p) + \frac1q \ln(b^q) = \ln a + \ln b = \ln(ab),

e, sendo $\ln$ crescente, a desigualdade dos logaritmos se converte na afirmação; a igualdade vale se, e somente se, $a^p = b^q$ (concavidade estrita). O caso $p = q = 2$ é a desigualdade aritmético-geométrica $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ disfarçada. A ideia de fechamento: a desigualdade de Young é a semente algébrica das desigualdades de Hölder e Minkowski do volume do segundo ano — um enunciado de concavidade sobre $\ln$ , colhido para normas.

Observação 14.25 (Perspectivas dentro deste volume)

A derivada ganha três vidas novas antes que o volume termine. No Capítulo 16 ela itera: $n$ derivadas num ponto se comprimem num polinômio mais um erro controlado, e o teorema do valor médio se torna o resto de Lagrange. No Capítulo 24, a derivação se torna geométrica: para uma curva parametrizada $t \mapsto (x(t), y(t))$ , o par $(x'(t), y'(t))$ é um vetor velocidade, a tangência se torna colinearidade, e os pontos críticos se tornam cúspides a classificar. No Capítulo 25, uma variável é congelada de cada vez: as derivadas parciais repetem este capítulo duas vezes, e a reta tangente cresce num plano tangente. Os três capítulos herdam a mesma gramática — aproximação linear local mais um termo de erro — falada aqui pela primeira vez.

14.4 Exercícios

Exercício 14.1 ★

Derive (especificando os domínios): $x^x$ ; $\;\ln\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr)$ ; $\;\arctan\frac{1}{x}$ ; $\;\sqrt{1 + \eu^{2x}}$ .

Solução

Solução de Exercício 14.1.

$x^x = \eu^{x\ln x}$ em $\intoo{0}{+\infty}$ : derivada $(\ln x + 1)\,x^x$ .

$\ln(x + \sqrt{x^2+1})$ em $\R$ (o argumento é sempre $> 0$ ): derivada $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (calculada na Proposição 4.21 — é $\operatorname{arsinh}$ ).

$\arctan\frac1x$ em $\R^*$ : derivada $\frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1}{1 + x^2}$ (coerente com a Proposição 4.12 (2): a função é $\pm\frac\pi2 - \arctan x$ em cada semirreta).

$\sqrt{1 + \eu^{2x}}$ em $\R$ : derivada $\frac{\eu^{2x}}{\sqrt{1 + \eu^{2x}}}$ .

Exercício 14.2 ★

Complete o Exemplo 14.2: demonstre que $f(x) = x^2 \sin\frac1x$ , $f(0) = 0$ , é derivável em $0$ com $f'(0) = 0$ , e que $f'$ não tem limite em $0$ .

Solução

Solução de Exercício 14.2.

Em $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| = \abs{h \sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$ , de modo que $f'(0) = 0$ . Para $x \neq 0$ , as regras usuais dão $f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$ . Ao longo de $x_n = \frac{1}{2\pi n}$ : $f'(x_n) = 0 - 1 \to -1$ ; ao longo de $y_n = \frac{1}{(2n+1)\pi}$ : $f'(y_n) = 0 + 1 \to 1$ . Duas sequências que tendem a $0$ com limites diferentes de $f'$ : não há limite (Teorema 13.3), de modo que $f'$ não é contínua em $0$ e $f$ é derivável sem ser $C^1$ .

Exercício 14.3 ★

Usando o teorema do valor médio ou as desigualdades de tangente, demonstre que, para todo $x > 0$ :

\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x .

Deduza que $\lim_{n\to\infty} \bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^x$ para todo $x > 0$ .

Solução

Solução de Exercício 14.3.

$\ln(1+x) < x$ para $x > 0$ : desigualdade de tangente por concavidade em $0$ (estrita fora do ponto de contato, pois $\ln$ é estritamente côncava; ou aplique o teorema do valor médio: $\ln(1+x) = \frac{x}{1+c}$ para algum $c \in \intoo{0}{x}$ , e $\frac{x}{1+c} < x$ ). A mesma identidade do valor médio dá a estimativa inferior: $\frac{x}{1+c} > \frac{x}{1+x}$ .

Consequência: com $x/n$ no lugar de $x$ ,

\frac{x/n}{1 + x/n} < \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < \frac xn \quad\implies\quad \frac{x}{1 + x/n} < n \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < x .

O membro da esquerda tende a $x$ : pelo confronto, $n\ln(1 + \frac xn) \to x$ , e, pela continuidade de $\exp$ , $\bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^{n\ln(1 + x/n)} \to \eu^x$ .

Exercício 14.4 ★

Seja $P$ um polinômio real com $k$ raízes reais distintas. Demonstre que $P'$ tem pelo menos $k - 1$ raízes reais distintas, intercaladas com as de $P$ . Deduza que, se $P$ tem todas as raízes reais, então $P'$ também tem.

Solução

Solução de Exercício 14.4.

Sejam $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ raízes distintas de $P$ . Em cada $\intcc{x_i}{x_{i+1}}$ , Rolle (Teorema 14.8) produz $c_i \in \intoo{x_i}{x_{i+1}}$ com $P'(c_i) = 0$ : são $k - 1$ raízes de $P'$ , distintas porque os intervalos abertos são disjuntos — e intercaladas por construção.

Se $P$ (de grau $n$ ) tem todas as raízes reais, escreva-as com multiplicidades $m_1 + \dots + m_k = n$ . Cada raiz de multiplicidade $m_i \geq 2$ é raiz de $P'$ de multiplicidade $m_i - 1$ (Proposição 8.11), contribuindo com $\sum (m_i - 1) = n - k$ ; Rolle contribui com mais $k - 1$ , todas distintas dessas. Total $\geq n - 1 = \deg P'$ : todas as raízes de $P'$ são reais.

Exercício 14.5 ★★

Seja $f$ derivável em $\R$ com $f' (x)\to \ell$ quando $x \to +\infty$ . Demonstre que $\frac{f(x)}{x} \to \ell$ (teorema do valor médio em $\intcc{A}{x}$ ). E $f(x+1) - f(x) \to \ell$ , também vale?

Solução

Solução de Exercício 14.5.

Fixe $\varepsilon > 0$ e $A$ com $\abs{f'(t) - \ell} \leq \varepsilon$ para $t \geq A$ . Para $x > A$ , o teorema do valor médio em $\intcc{A}{x}$ dá $c \in \intoo{A}{x}$ com

f(x) = f(A) + f'(c)(x - A), \qquad\text{logo}\qquad \Bigl|\frac{f(x)}{x} - \ell\Bigr| \leq \frac{\abs{f(A)} + \abs\ell A}{x} + \abs{f'(c) - \ell} \cdot\frac{x - A}{x} \leq \frac{C_A}{x} + \varepsilon .

Para $x$ grande, $\frac{C_A}{x} \leq \varepsilon$ : portanto, $\frac{f(x)}{x} \to \ell$ .

Sim: $f(x+1) - f(x) = f'(c_x)$ com $c_x \in \intoo{x}{x+1}$ (teorema do valor médio em $\intcc{x}{x+1}$ ), e $c_x \to +\infty$ , de modo que $f(x+1) - f(x) \to \ell$ .

Exercício 14.6 ★★

(Um Rolle discreto) Seja $f$ $n$ vezes derivável em $I$ e que se anule em $n + 1$ pontos distintos. Demonstre que $f^{(n)}$ se anula ao menos uma vez. Aplicação: um polinômio de grau $\leq n$ que se anula em $n+1$ pontos é nulo (de novo).

Solução

Solução de Exercício 14.6.

Indução em $n$ . Para $n = 1$ : Rolle. Se a afirmação vale para $n - 1$ : $f$ se anula em $n+1$ pontos, de modo que, por Rolle aplicado nos $n$ intervalos, $f'$ se anula em $n$ pontos distintos; a hipótese de indução aplicada a $f'$ ( $n-1$ vezes derivável, com $n$ zeros) faz $(f')^{(n-1)} = f^{(n)}$ se anular em algum ponto.

Aplicação: se $P$ de grau $\leq n$ se anula em $n+1$ pontos, então $P^{(n)}$ , uma constante igual a $n!$ vezes o coeficiente líder, se anula: o coeficiente líder é $0$ , e conclui-se por indução descendente (ou diretamente: todos os coeficientes se anulam).

Exercício 14.7 ★★

Seja $f$ duas vezes derivável em $\intcc{a}{b}$ com $f(a) = f(b) = 0$ e $f(x_0) > 0$ para algum $x_0$ interior. Demonstre que $f''(c) < 0$ para algum $c \in \intoo{a}{b}$ . (Dois teoremas do valor médio e uma comparação de inclinações.)

Solução

Solução de Exercício 14.7.

Pelo teorema do valor médio em $\intcc{a}{x_0}$ e em $\intcc{x_0}{b}$ :

f'(c_1) = \frac{f(x_0) - f(a)}{x_0 - a} = \frac{f(x_0)}{x_0 - a} > 0, \qquad f'(c_2) = \frac{f(b) - f(x_0)}{b - x_0} = \frac{-f(x_0)}{b - x_0} < 0,

com $c_1 < x_0 < c_2$ . Então o teorema do valor médio aplicado a $f'$ em $\intcc{c_1}{c_2}$ dá $c$ com

f''(c) = \frac{f'(c_2) - f'(c_1)}{c_2 - c_1} < 0 . \qedhere

Exercício 14.8 ★★

Estude a função $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ em $\intoo{0}{+\infty}$ : variações, limites, máximo. Deduza que $a^b > b^a$ para todos os reais $\eu \leq a < b$ , e resolva o famoso caso particular: qual é maior, $\eu^\pi$ ou $\pi^\eu$ ? Confira contra os pares de inteiros pequenos $(2,3)$ e $(2,4)$ : por que eles se comportam de modo diferente?

Solução

Solução de Exercício 14.8.

$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ : $f$ cresce em $\intoc{0}{\eu}$ , decresce em $\intco{\eu}{+\infty}$ , com máximo $f(\eu) = \frac1\eu$ ; limites $-\infty$ em $0^+$ e $0$ em $+\infty$ (comparação de crescimentos).

Para $\eu \leq a < b$ : $f$ estritamente decrescente ali dá $\frac{\ln a}{a} > \frac{\ln b}{b}$ , isto é, $b \ln a > a \ln b$ , ou seja, $a^b > b^a$ .

Com $a = \eu < b = \pi$ : $\eu^\pi > \pi^\eu$ .

Pares pequenos: $(2, 3)$ : $2^3 = 8 < 9 = 3^2$ — invertido! A razão: $2 < \eu$ , e em $\intoo{0}{\eu}$ a função $f$ é crescente, de modo que a comparação se inverte quando os dois números ficam abaixo de $\eu$ , e é imprevisível quando eles cercam $\eu$ ( $f(2) = f(4)$ explica o empate $2^4 = 4^2 = 16$ ).

Exercício 14.9 ★★

(Desigualdade aritmético-geométrica) Usando a concavidade de $\ln$ com pesos gerais (a desigualdade de Jensen para $n$ pontos, a ser demonstrada por indução em $n$ ), mostre que, para reais positivos $a_1, \dots, a_n$ :

\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + \dots + a_n}{n},

com igualdade se, e somente se, todos os $a_i$ forem iguais.

Solução

Solução de Exercício 14.9.

Jensen para $\ln$ , por indução em $n$ . Afirmação: para $x_i$ positivos e pesos $\lambda_i > 0$ com $\sum \lambda_i = 1$ : $\ln\bigl(\sum \lambda_i x_i\bigr) \geq \sum \lambda_i \ln x_i$ . Para $n = 2$ isso é a concavidade. Passo: com $\Lambda = \lambda_1 + \dots + \lambda_{n-1} = 1 - \lambda_n$ e $y = \sum_{i<n} \frac{\lambda_i}{\Lambda} x_i$ ,

\ln\Bigl(\sum_{i \leq n} \lambda_i x_i\Bigr) = \ln\bigl(\Lambda y + \lambda_n x_n\bigr) \geq \Lambda \ln y + \lambda_n \ln x_n \geq \Lambda \sum_{i<n} \frac{\lambda_i}{\Lambda}\ln x_i + \lambda_n \ln x_n,

usando a concavidade ( $n = 2$ ) e depois a hipótese de indução.

Com $\lambda_i = \frac 1n$ e $x_i = a_i$ : $\ln\frac{\sum a_i}{n} \geq \frac 1n \sum \ln a_i = \ln\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$ ; exponencie. Igualdade: $\ln$ é estritamente côncava ( $\ln'' < 0$ ), de modo que a igualdade em cada passo força os pontos promediados a coincidir — isto é, todos os $a_i$ iguais; e, se todos são iguais, a igualdade é clara.

Exercício 14.10 ★★★

(Darboux: as derivadas assumem valores intermediários) Seja $f$ derivável em $I$ e sejam $a < b$ em $I$ com $f'(a) < v < f'(b)$ . Considerando $g(x) = f(x) - vx$ e o ponto em que $g$ atinge o seu mínimo em $\intcc{a}{b}$ , demonstre que $f'(c) = v$ para algum $c \in \intoo{a}{b}$ — mesmo que $f'$ não precise ser contínua (Exercício 14.2).

Solução

Solução de Exercício 14.10.

Seja $g(x) = f(x) - vx$ : derivável, com $g'(a) = f'(a) - v < 0$ e $g'(b) = f'(b) - v > 0$ . Pelo teorema de Weierstrass, $g$ atinge o seu mínimo em $\intcc{a}{b}$ em algum $c$ . Não é em $a$ : como $g'(a) < 0$ , pontos logo à direita de $a$ têm $g < g(a)$ . Não é em $b$ : como $g'(b) > 0$ , pontos logo à esquerda de $b$ têm $g < g(b)$ . Logo, $c$ é interior, e a Proposição 14.7 dá $g'(c) = 0$ , isto é, $f'(c) = v$ .

Exercício 14.11 ★★★

Seja $f \colon \R \to \R$ derivável com $\abs{f'(x)} \leq k < 1$ para todo $x$ (uma contração). Demonstre que $f$ tem exatamente um ponto fixo $\ell$ e que toda sequência $u_{n+1} = f(u_n)$ converge para $\ell$ , com $\abs{u_n - \ell} \leq k^n\abs{u_0 - \ell}$ . (Existência: aplique o teorema do valor intermediário a $f(x) - x$ num segmento grande, usando a estimativa de Lipschitz; ou use a completude com o critério de Cauchy.)

Solução

Solução de Exercício 14.11.

Unicidade: dois pontos fixos $\ell \neq \ell'$ dariam $\abs{\ell - \ell'} = \abs{f(\ell) - f(\ell')} \leq k\abs{\ell - \ell'} < \abs{\ell - \ell'}$ , absurdo.

Existência: $g(x) = f(x) - x$ satisfaz, pela desigualdade do valor médio, $f(x) \leq f(0) + k\abs x$ ; de modo que, para $x \geq \frac{\abs{f(0)}}{1 - k}$ , $g(x) \leq f(0) + kx - x \leq 0$ e, simetricamente, $g(-x) \geq 0$ para $x$ grande. O teorema do valor intermediário dá um zero $\ell$ de $g$ : um ponto fixo.

Convergência: de novo a desigualdade do valor médio:

\abs{u_{n+1} - \ell} = \abs{f(u_n) - f(\ell)} \leq k\abs{u_n - \ell},

de modo que, por indução, $\abs{u_n - \ell} \leq k^n \abs{u_0 - \ell} \to 0$ .

Exercício 14.12 ★★★

(Teorema do valor médio de Cauchy e regra de l’Hôpital)

Sejam $f, g$ contínuas em $\intcc{a}{b}$ , deriváveis em $\intoo{a}{b}$ , com $g'$ nunca nula ali. Demonstre que $g(b) \neq g(a)$ e que algum $c \in \intoo{a}{b}$ satisfaz

$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

(aplique Rolle a $h = f - \lambda g$ para a constante $\lambda$ certa).
Deduza a regra de l’Hôpital na forma $\frac00$ num ponto: se $f(a) = g(a) = 0$ e $\frac{f'(x)}{g'(x)} \to \ell$ quando $x \to a^+$ , então $\frac{f(x)}{g(x)} \to \ell$ .
Mostre que a recíproca falha: para $f(x) = x^2\sin\frac1x$ ( $f(0) = 0$ ) e $g(x) = x$ , o quociente $\frac{f}{g}$ tem limite em $0$ , mas $\frac{f'}{g'}$ não tem.

Solução

Solução de Exercício 14.12.

Se $g(b) = g(a)$ , Rolle daria um zero interior de $g'$ : excluído. Ponha $\lambda = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$ e $h = f - \lambda g$ : $h$ é contínua em $\intcc{a}{b}$ , derivável no interior, e $h(b) - h(a) = f(b) - f(a) - \lambda(g(b) - g(a)) = 0$ . Rolle fornece $c$ com $h'(c) = 0$ , isto é, $f'(c) = \lambda\,g'(c)$ ; divida por $g'(c) \neq 0$ .
Para $x > a$ próximo de $a$ , a parte (1) em $\intcc{a}{x}$ (em que $g' \neq 0$ ) dá $g(x) \neq 0$ e $c_x \in \intoo{a}{x}$ com

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} .$

Quando $x \to a^+$ , $c_x \to a^+$ (confronto), de modo que o lado direito tende a $\ell$ : $\frac{f}{g} \to \ell$ .
$\frac{f(x)}{g(x)} = x\sin\frac1x \to 0$ , ao passo que $\frac{f'(x)}{g'(x)} = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$ não tem limite em $0$ (Exercício 14.2): a regra de l’Hôpital transfere informação apenas de $\frac{f'}{g'}$ para $\frac fg$ , nunca de volta.

14.5 Problema: A desigualdade de Liouville e o primeiro número transcendente

Problema 14.1

Problema de fim de semana — os números algébricos repelem os racionais: $\abs{x - p/q} \geq C/q^d$ , e a transcendência de $\sum 10^{-n!}$

Um número real é algébrico quando é raiz de um polinômio não nulo com coeficientes inteiros, e transcendente caso contrário. Em 1844, Liouville produziu o primeiro número jamais demonstrado transcendente, e o motor da sua demonstração é o teorema do valor médio deste capítulo: um número algébrico de grau $d$ não pode ser aproximado por racionais melhor do que $C/q^d$ — de modo que um número aproximável mais depressa que qualquer potência não pode ser algébrico. Este problema constrói a desigualdade, constrói o número de Liouville $L = 0.110001000\dots$ (uns nas posições fatoriais, via a maquinaria de algarismos do Problema 10.1), demonstra a sua transcendência e termina com a demonstração rival de Cantor e com estimativas efetivas para $\sqrt2$ e $2^{1/3}$ .

Parte I — Quão bem os racionais podem ser aproximados?

Mostre que dois racionais distintos $\frac ab \neq \frac pq$ (escritos com $b, q \geq 1$ ) satisfazem $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{bq}$ . Deduza: se $x = \frac ab$ e $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{bq}$ , então $\frac pq$ algum assim existe — um racional repele todos os outros racionais na escala $\frac 1q$ .
Demonstre que, para todo racional $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ): $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{4q^2}$ (se a distância excede $1$ , isso é claro; caso contrário, estime $\abs{\sqrt2 + p/q} < 4$ e use o inteiro não nulo $\abs{p^2 - 2q^2} \geq 1$ ).
Na outra direção: verifique que $(p, q) \mapsto (p + 2q, p + q)$ preserva $\abs{p^2 - 2q^2} = 1$ , gere a partir de $(1,1)$ os pares $(3,2)$ , $(7,5)$ , $(17,12)$ , $(41,29)$ , $(99,70)$ , e mostre que cada um satisfaz

$\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2\,(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} :$

infinitas aproximações de ordem $2$ . Com a questão 2: o expoente de aproximação de $\sqrt 2$ é exatamente $2$ .
(Dirichlet) Seja $x$ irracional e $N \in \N^*$ . Considere as $N + 1$ partes fracionárias de $0, x, 2x, \dots, Nx$ nas $N$ casas $\intco{\frac kN}{\frac{k + 1}{N}}$ : pelo princípio da casa dos pombos (Corolário 2.3), duas caem numa mesma casa. Deduza a existência de $q \leq N$ e de $p$ com $\abs{qx - p} < \frac 1N$ , e portanto de infinitos racionais com $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$ : todo irracional é aproximável na ordem $2$ .

Parte II — A desigualdade de Liouville. Seja $x$ irracional e algébrico.

Mostre que, entre os polinômios inteiros não nulos que se anulam em $x$ , existe um, digamos $P$ de grau $d$ , sem raiz racional; e verifique que $d \geq 2$ (divida por um fator $X - \frac ab$ sobre $\Q$ e elimine denominadores; grau $1$ tornaria $x$ racional).
Mostre que, para todo racional $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ): $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq \frac{1}{q^d}$ ( $q^d P(p/q)$ é um inteiro não nulo).
Seja $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} \abs{P'}$ (Teorema 13.13). Usando o teorema do valor médio entre $x$ e $\frac pq$ , demonstre a desigualdade de Liouville: com $C = \min\bigl(1, \frac 1M\bigr) > 0$ ,

$\Bigl| x - \frac pq \Bigr| \geq \frac{C}{q^{\,d}} \qquad\text{para todo racional} \frac pq,\ q \geq 1 .$
Chame $x$ de número de Liouville quando, para todo $n \in \N$ , existir um racional $\frac pq$ com $q \geq 2$ e $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < q^{-n}$ . Demonstre que um número de Liouville é irracional (questão 1: escolha $n$ com $2^{\,n-1} > b$ ).
Demonstre o teorema de Liouville: um número de Liouville é transcendente (combine as questões 7 e 8: a desigualdade $C < q^{\,d-n}$ falha para $n$ grande).

Parte III — O número $L$ .

Seja $L$ o valor (no sentido do Problema 10.1) da cadeia decimal de algarismos com algarismo $1$ nas posições $n!$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ) e $0$ nas demais, isto é, $L = \sup_k t_k$ com $t_k = \sum_{n=1}^{k} 10^{-n!}$ . Escreva os $25$ primeiros algarismos de $L$ .
Demonstre o enquadramento da cauda, para todo $k \geq 1$ :

$10^{-(k+1)!} \;\leq\; L - t_k \;\leq\; \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} \;<\; 2\cdot 10^{-(k+1)!}$

(estime toda soma parcial além de $t_k$ por uma soma geométrica finita).
Escreva $t_k = \frac{p_k}{q_k}$ com $q_k = 10^{k!}$ . Mostre que $0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}}$ e conclua que $L$ é um número de Liouville no sentido da questão 8.
Conclua: $L$ é transcendente — o primeiro exemplo explícito da história (Liouville, 1844). Verifique diretamente a sua irracionalidade: os seus algarismos não são periódicos a partir de ponto algum (espaçamentos crescentes, como no Problema 10.1, questão 20).
Generalize: substitua cada algarismo $1$ por um algarismo não nulo arbitrário $d_n \in \intint{1}{9}$ . Mostre que o valor ainda é um número de Liouville e deduza — pelo argumento diagonal do Problema 10.1 (questão 22), aplicado a essas escolhas de algarismos — que existe uma quantidade não enumerável de números transcendentes dessa forma.

Parte IV — A hierarquia das ordens de aproximação. Diga que $x$ é aproximável na ordem $\mu$ quando, para alguma constante $c > 0$ , infinitos racionais satisfazem $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^{\mu}}$ .

Monte a hierarquia a partir das Partes I–III: os racionais são aproximáveis na ordem $1$ e não melhor; $\sqrt 2$ na ordem $2$ e não melhor; todo irracional em ordem pelo menos $2$ ; um número algébrico de grau $d$ em ordem alguma além de $d$ ; os números de Liouville em toda ordem. Justifique cada afirmação citando a questão pertinente.
Mostre que $L + r$ é um número de Liouville para todo racional $r = \frac ab$ (translade os aproximantes: os novos denominadores são $b\,q_k$ ). Conclua que os números de Liouville — logo, os transcendentes — são densos em $\R$ .
(Cantor, 1874) Demonstre que o conjunto dos números algébricos é enumerável: há finitos polinômios inteiros com grau mais soma dos $\abs{\text{coeficientes}}$ limitados por $h$ , cada um com no máximo $\deg$ raízes; e uma união enumerável de conjuntos finitos é enumerável. Como sequência alguma esgota $\R$ (Problema 10.1, questão 22), existem números transcendentes — de fato, eles formam um conjunto não enumerável. Compare as duas demonstrações: o que a de Liouville dá que a de Cantor não pode dar?
Demonstre diretamente, a partir da questão 2, que $\sqrt 2$ não é um número de Liouville (para $n \geq 3$ , a desigualdade $q^{-n} > \frac{1}{4q^2}$ limita $q$ ; restam então apenas finitos racionais candidatos, todos a distância positiva de $\sqrt2$ ). Generalize: nenhum número algébrico é de Liouville.

Parte V — Constantes efetivas.

Para o par de Pell $(99, 70)$ : verifique que $99^2 - 2\cdot70^2 = 1$ e avalie o erro exato

$\sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{-1}{70^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac{99}{70}\bigr)}, \qquad \Bigl|\sqrt 2 - \frac{99}{70}\Bigr| \approx 7.2\cdot 10^{-5} :$

cinco algarismos corretos a partir de uma fração de três algarismos.
Execute a Parte II em $x = 2^{1/3}$ , $P = X^3 - 2$ : verifique que $P$ não tem raiz racional, estime $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 16$ e conclua a desigualdade efetiva

$\Bigl| 2^{1/3} - \frac pq \Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad \text{para todos} \frac pq .$
Recompensa: mostre que todo racional que aproxime $2^{1/3}$ a menos de $10^{-6}$ deve ter denominador $q \geq 40$ .
Mostre que a base $10$ é irrelevante: o análogo binário $\sum_{n\geq1} 2^{-n!}$ (valor da cadeia binária com uns nas posições fatoriais) também é um número de Liouville, logo transcendente.

Parte VI — Fronteiras e síntese.

Seja $x^\dagger$ o valor da cadeia decimal com uns exatamente nas posições $3^k$ ( $k \geq 0$ ). Mostre que $x^\dagger$ é aproximável na ordem $3$ e deduza, da desigualdade de Liouville, que $x^\dagger$ não é racional nem um irracional quadrático. Explique por que o método empaca aí: ordem $3$ é compatível com algebricidade de grau $\geq 3$ , e fechar essa lacuna (qualquer expoente $> 2$ basta, para todo número algébrico) é o teorema de Roth, muito além deste volume.
Quantifique Cantor: mostre que os números algébricos de grau $\leq d$ dados por polinômios com coeficientes em $\intint{-H}{H}$ são no máximo $d\,(2H + 1)^{d+1}$ . (Essa finitude é o que fez a questão 17 funcionar.)
Síntese, uma frase para cada: (i) localize o único ingrediente analítico da demonstração de Liouville (qual teorema deste capítulo, usado onde); (ii) enuncie a tensão que a alimenta (a integralidade força $\abs{P(p/q)} \geq q^{-d}$ , e a suavidade proíbe $\abs{P(p/q)} > M\abs{x - p/q}$ ); (iii) contraste as demonstrações de Liouville e de Cantor da existência de números transcendentes; (iv) nomeie onde este volume reencontra o tema — o problema de fim de semana do Capítulo 15 demonstra que $\pi$ é irracional pelo mesmo confronto entre integralidade e pequenez, com integrais no lugar de derivadas.

Solução

Solução de Problema 14.1.

1. $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| = \frac{\abs{aq - bp}}{bq}$ , e $aq - bp$ é um inteiro não nulo quando as frações diferem: a distância é $\geq \frac{1}{bq}$ . Assim, nenhum racional além do próprio $x$ entra no intervalo perfurado de raio $\frac{1}{bq}$ em torno de $x = \frac ab$ .

2. Se $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq 1 \geq \frac{1}{4q^2}$ , pronto. Caso contrário, $\frac pq \in \intoo{\sqrt2 - 1}{\sqrt2 + 1}$ , de modo que $0 < \sqrt2 + \frac pq < 2\sqrt2 + 1 < 4$ . Como $\sqrt 2 \notin \Q$ , $p^2 - 2q^2$ é um inteiro não nulo, e

\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{\abs{2q^2 - p^2}}{q^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac pq\bigr)} \geq \frac{1}{4q^2} .

3. $(p + 2q)^2 - 2(p + q)^2 = -(p^2 - 2q^2)$ : o valor $\pm1$ se propaga. A partir de $(1,1)$ :

(3,2),\ (7,5),\ (17,12),\ (41,29),\ (99,70),

com $p^2 - 2q^2$ alternando $-1, +1, \dots$ Para esses, $\frac pq \geq 1$ , de modo que $\sqrt2 + \frac pq > 2$ e

\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} ,

com $q \to \infty$ : infinitas aproximações de ordem $2$ . Com a questão 2, o expoente $2$ é exato para $\sqrt 2$ .

4. Os $N + 1$ números $kx - \lfloor kx\rfloor$ ( $0 \leq k \leq N$ ) ficam nas $N$ casas $\intco{\frac jN}{\frac{j+1}{N}}$ : dois partilham uma casa (Corolário 2.3), digamos para $i < j$ . Com $q = j - i \leq N$ e $p = \lfloor jx\rfloor - \lfloor ix\rfloor$ : $\abs{qx - p} < \frac1N$ , de modo que $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{Nq} \leq \frac{1}{q^2}$ . Fazendo $N \to \infty$ : como $x$ é irracional, cada fração fixada está a distância positiva de $x$ , ao passo que $\frac{1}{Nq} \leq \frac 1N \to 0$ força novas frações a aparecer: infinitos $\frac pq$ distintos com $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$ .

5. Parta de um inteiro não nulo $P_0$ qualquer com $P_0(x) = 0$ . Se $P_0$ tem uma raiz racional $\frac ab$ , o teorema do fator (Teorema 8.7) escreve $P_0 = \bigl(X - \frac ab\bigr)Q$ com $Q \in \Q[X]$ ; como $x \neq \frac ab$ ( $x$ irracional), $Q(x) = 0$ e, eliminando denominadores, obtém-se um polinômio inteiro não nulo de grau menor que se anula em $x$ . O grau cai a cada passo, de modo que o processo para: chegamos a $P \in \Z[X]$ , $P(x) = 0$ , sem raiz racional, de certo grau $d$ . Se $d \leq 1$ , $P = uX + v$ faria de $x = -\frac vu$ um racional: logo, $d \geq 2$ .

6. $q^d\,P\bigl(\frac pq\bigr) = a_d p^d + a_{d-1} p^{d-1} q + \dots + a_0 q^d$ é um inteiro, e é não nulo, pois $P$ não tem raiz racional: $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq q^{-d}$ .

7. Note que $M > 0$ : $P'$ é um polinômio não nulo ( $d \geq 2$ ), de modo que não pode se anular identicamente em $\intcc{x-1}{x+1}$ . Se $\bigl|x - \frac pq\bigr| > 1$ , então ele excede $\frac{C}{q^d}$ trivialmente. Caso contrário, $\frac pq \in \intcc{x-1}{x+1}$ , e o teorema do valor médio (Teorema 14.9) dá $c$ entre $x$ e $\frac pq$ com

\Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr)\Bigr| = \Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr) - P(x)\Bigr| = \abs{P'(c)}\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| \leq M\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| ,

de modo que, com a questão 6: $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{Mq^d} \geq \frac{C}{q^d}$ .

8. Suponha que $x = \frac ab$ seja de Liouville. Tome $n$ com $2^{n-1} > b$ e o correspondente $\frac pq$ , com $q \geq 2$ :

0 < \Bigl|x - \frac pq\Bigr| < \frac{1}{q^n} = \frac{1}{q^{n-1}\,q} \leq \frac{1}{2^{n-1} q} < \frac{1}{bq} ,

contradizendo a questão 1. Logo, os números de Liouville são irracionais.

9. Se um $x$ de Liouville fosse algébrico: ele é irracional (questão 8), de modo que as questões 5–7 fornecem $d \geq 2$ e $C > 0$ com $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^d}$ sempre. Para cada $n$ , o aproximante de Liouville dá $\frac{C}{q^d} < q^{-n}$ , isto é, $C < q^{d-n} \leq 2^{d-n}$ (pois $q \geq 2$ ). Para $n$ grande, $2^{d-n} < C$ : contradição. Os números de Liouville são transcendentes.

10. Uns nas posições $1, 2, 6, 24$ ; todos os demais algarismos entre os $25$ primeiros se anulam:

L = 0.1100010000\,0000000000\,00010\dots

11. Para $m > k$ , as posições $n!$ com $n > k$ são inteiros distintos $\geq (k+1)!$ , de modo que a soma geométrica finita dá

t_m - t_k = \sum_{n=k+1}^{m} 10^{-n!} \leq \sum_{j = (k+1)!}^{m!} 10^{-j} < 10^{-(k+1)!}\,\frac{1}{1 - \frac1{10}} = \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} ;

tomando o supremo em $m$ : $L - t_k \leq \frac{10}{9}10^{-(k+1)!} < 2\cdot10^{-(k+1)!}$ . Estimativa inferior: $L \geq t_{k+1} = t_k + 10^{-(k+1)!}$ .

12. $p_k = 10^{k!}\,t_k \in \N$ , $q_k = 10^{k!}$ , e $(k+1)! = (k+1)\,k!$ dá $10^{-(k+1)!} = q_k^{-(k+1)}$ : a questão 11 diz que

0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}} .

Dado $n$ : para $k \geq n$ , $2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ (com efeito, $q_k^{\,k+1-n} \geq q_k \geq 10 > 2$ ), e $q_k \geq 2$ : a definição da questão 8 está satisfeita. $L$ é um número de Liouville.

13. Pela questão 9, $L$ é transcendente — o primeiro número da história demonstrado transcendente (Liouville, 1844). Verificação pelos algarismos: a cadeia tem infinitos uns com espaçamentos consecutivos $(k+1)! - k! = k\cdot k! \to \infty$ , de modo que ela não é periódica a partir de ponto algum, e $L \notin \Q$ pelo critério de periodicidade do Problema 10.1 (questão 18) — coerente.

14. Com algarismos $d_n \in \intint{1}{9}$ nas posições fatoriais: a estimativa da cauda da questão 11 é multiplicada no máximo por $9$ : $0 < L' - t'_k \leq 9\cdot\frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} = 10\,q_k^{-(k+1)}$ (a positividade vem de o algarismo na posição $(k+1)!$ ser não nulo). Para $k \geq n$ : $10\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ , pois $q_k^{\,k+1-n} \geq 10$ : de novo um número de Liouville, logo transcendente. Esses valores são dois a dois distintos para escolhas distintas de algarismos (as cadeias são próprias — há zeros em abundância — e cadeias próprias determinam o seu valor, Problema 10.1, questão 10). Dada qualquer lista $k \mapsto x_k$ deles, escolha o $k$ -ésimo algarismo fatorial em $\intint{1}{9}$ diferente do de $x_k$ : um número da mesma forma que falta na lista. Uma quantidade não enumerável de transcendentes explícitos.

15. Primeiro um lema: se $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^s}$ para todo $\frac pq \neq x$ , então $x$ não é aproximável em ordem $\mu > s$ alguma. Com efeito, infinitos $\frac pq \neq x$ com $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^\mu}$ forçariam $\frac{C}{q^s} < \frac{c}{q^\mu}$ , isto é, $q^{\mu - s} < \frac cC$ : os $q$ ficam limitados, e há uma quantidade limitada de frações a distância $1$ de $x$ — finitos candidatos, não infinitos. Agora a hierarquia: os racionais são aproximáveis na ordem $1$ ( $\frac pq$ com $p = \lfloor qx\rfloor + 1$ dá erro $\leq \frac1q < \frac2q$ ) e em ordem $\mu > 1$ alguma (a questão 1 dá a hipótese do lema com $s = 1$ , $C = \frac1b$ ); $\sqrt2$ : ordem $2$ (questão 3) e não mais (questão 2 e o lema); todo irracional: ao menos $2$ (questão 4); algébrico de grau $d$ : no máximo $d$ (questão 7 e o lema); números de Liouville: toda ordem (a expressão da questão 12, com $c = 2$ ).

16. Com $r = \frac ab$ : $\frac{p_k}{q_k} + \frac ab = \frac{b p_k + a q_k}{b q_k} =: \frac{P_k}{Q_k}$ , $Q_k = b q_k \geq 2$ , e

\Bigl|(L + r) - \frac{P_k}{Q_k}\Bigr| = L - \frac{p_k}{q_k} < 2\,q_k^{-(k+1)} = 2\,b^{\,k+1} Q_k^{-(k+1)} .

Dado $n$ : para $k$ grande, $Q_k^{\,k+1-n} \geq Q_k = b\,10^{k!} \geq 2\,b^{\,k+1}$ (o fatorial esmaga a potência), de modo que o erro é $< Q_k^{-n}$ : $L + r$ é de Liouville. Como $\Q$ é denso e cada $L + r$ é transcendente, os números transcendentes são densos em $\R$ .

17. Para $h \geq 1$ há finitos $P \in \Z[X]$ com $\deg P + \sum_i \abs{a_i} \leq h$ (grau $\leq h$ e cada coeficiente em $\intint{-h}{h}$ : no máximo $(2h+1)^{h+1}$ ). Todo polinômio inteiro não nulo tem uma tal altura e tem no máximo $\deg P$ raízes reais: os números algébricos formam uma união enumerável (em $h$ ) de conjuntos finitos e, portanto, podem ser listados como uma única sequência. Se os transcendentes também pudessem ser listados, intercalar as duas listas listaria $\R$ , contradizendo o Problema 10.1 (questão 22). Assim, os números transcendentes formam um conjunto não enumerável. Comparação: Cantor demonstra que quase todos os reais são transcendentes sem exibir nenhum; Liouville exibe um, com constantes efetivas (Parte V) — existência por abundância contra existência por construção.

18. Pela questão 2, a hipótese do lema vale com $s = 2$ , $C = \frac14$ . Se $\sqrt2$ fosse de Liouville, então, para $n = 3$ : $\frac{1}{4q^2} < q^{-3}$ forçaria $q < 4$ , de modo que $q \in \{2, 3\}$ ; apenas finitos $\frac pq$ com esses $q$ ficam a menos de $1$ de $\sqrt2$ , cada um a alguma distância positiva $\geq \varepsilon_0$ ( $\sqrt2$ irracional); escolher $n$ com $2^{-n} < \varepsilon_0$ não deixa $\frac pq$ admissível algum: contradição. O mesmo argumento com $\frac{C}{q^d}$ mostra que nenhum número algébrico é de Liouville — a questão 9 em roupagem efetiva.

19. $99^2 - 2\cdot70^2 = 9801 - 9800 = 1$ . Portanto,

\sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{2 - (99/70)^2}{\sqrt2 + 99/70} = \frac{-1}{4900\,\bigl(\sqrt2 + \tfrac{99}{70}\bigr)} , \qquad \Bigl|\sqrt2 - \frac{99}{70}\Bigr| = \frac{1}{4900 \times 2.8284\dots} \approx 7.2\cdot10^{-5} :

$\frac{99}{70} = 1.414285\dots$ contra $\sqrt2 = 1.414213\dots$ — cinco algarismos corretos.

20. Teste da raiz racional para $P = X^3 - 2$ : candidatos $\pm1, \pm2, \pm\frac12$ , nenhum deles raiz. Logo, $d = 3$ , e a Parte II se aplica a $x = 2^{1/3} = 1.2599\dots$ Em $\intcc{x - 1}{x + 1} \subseteq \intcc{0.25}{2.26}$ : $\abs{P'(t)} = 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 3\times(2.26)^2 = 15.32 < 16$ , de modo que $M < 16$ e $C \geq \frac{1}{16}$ :

\Bigl|2^{1/3} - \frac pq\Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad\text{para todos os racionais.}

21. Se $\bigl|2^{1/3} - \frac pq\bigr| < 10^{-6}$ , então $\frac{1}{16 q^3} < 10^{-6}$ , isto é, $q^3 > \frac{10^6}{16} = 62\,500$ ; como $39^3 = 59\,319 < 62\,500 \leq 64\,000 = 40^3$ : $q \geq 40$ .

22. Execute a Parte III na base $2$ : $B = \sup_k \sum_{n\leq k} 2^{-n!}$ , $q_k = 2^{k!}$ , e a cauda geométrica (razão $\frac12$ ) dá $0 < B - \frac{p_k}{q_k} \leq 2\cdot2^{-(k+1)!} = 2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ para $k \geq n$ . Assim, $B$ é de Liouville, logo transcendente: nada no argumento é decimal.

23. Com uns nas posições $3^k$ : $q_k = 10^{3^k}$ e a estimativa da cauda dá $0 < x^\dagger - \frac{p_k}{q_k} < 2\cdot10^{-3^{k+1}} = 2\,q_k^{-3}$ (pois $3^{k+1} = 3\cdot3^k$ ): infinitas aproximações de ordem $3$ . Pelo lema da questão 15: ordem $3 > 1$ exclui a racionalidade, e ordem $3 > 2$ exclui ser um irracional quadrático (cuja desigualdade de Liouville tem $s = d = 2$ ). Mas um número algébrico de grau $\geq 3$ só é repelido em ordem $d \geq 3$ : o método de Liouville não consegue separar $x^\dagger$ dos cúbicos. A lacuna é fechada pelo teorema de Roth — todo irracional algébrico tem ordem de aproximação exatamente $2$ — um resultado do século XX muito além deste volume; admitido ele, $x^\dagger$ também é transcendente.

24. Há no máximo $(2H+1)^{d+1}$ uplas $(a_0, \dots, a_d)$ com entradas em $\intint{-H}{H}$ , e cada polinômio não nulo entre elas tem no máximo $d$ raízes reais: surgem no máximo $d\,(2H+1)^{d+1}$ números algébricos — a finitude que permitiu à questão 17 enumerá-los todos.

25. (i) O único ingrediente analítico é o teorema do valor médio, na questão 7, convertendo o anulamento $P(x) = 0$ na repulsão lipschitziana $\abs{P(p/q)} \leq M\abs{x - p/q}$ . (ii) A tensão: a integralidade empurra $\abs{P(p/q)}$ para cima até $q^{-d}$ , e a suavidade a puxa para baixo até $M\abs{x - p/q}$ — um racional próximo demais de $x$ seria esmagado entre as duas. (iii) Liouville constrói um transcendente com constantes efetivas; Cantor mostra que quase todos os reais são transcendentes sem nomear nenhum: construção contra cardinalidade. (iv) O problema de fim de semana do Capítulo 15 demonstra a irracionalidade de $\pi$ pelo mesmo confronto — uma integral que seria um inteiro positivo e, no entanto, fica presa em $\intoo{0}{1}$ — com a integração substituindo a derivação como metade analítica.