Matemática universitária — Graduação 3 · Licence 3

2Anéis e aritmética

Os inteiros usuais se fatoram de maneira única em primos; o mesmo ocorre com os polinômios sobre um corpo. Esses dois fatos são um único teorema? Este capítulo responde que sim e encontra as hipóteses exatas que tornam possível uma “aritmética” em um anel comutativo: a cadeia

\text{euclidiana} \;\Longrightarrow\; \text{principal} \;\Longrightarrow\; \text{fatorial (DFU)},

com todas as implicações demonstradas e todas as recíprocas refutadas. A teoria é então posta à prova onde ela mostra seu valor: os inteiros de Gauss $\Z[\iu]$ (que abrirão o teorema dos dois quadrados de Fermat no problema de fim de semana), os anéis de polinômios em várias variáveis (lema de Gauss, critério de Eisenstein) e os anéis noetherianos, culminando no teorema da base de Hilbert. Ao longo de todo o capítulo, anel significa anel comutativo com unidade $1 \neq 0$ ; os ideais de $\Z$ e de $K[X]$ vistos no volume do segundo ano são nossos dois exemplos condutores.

2.1 Ideais, quocientes e o teorema de isomorfismo

Definição 2.1

Um ideal $I$ de um anel $A$ é um subgrupo aditivo tal que $AI \subseteq I$ . O anel quociente $A/I$ é o grupo quociente $(A, +)/I$ munido da multiplicação $(a + I)(b + I) = ab + I$ : ela está bem definida, pois trocar $a$ por $a + x$ e $b$ por $b + y$ ( $x, y \in I$ ) altera $ab$ de $ay + xb + xy \in I$ . A projeção $\pi \colon A \to A/I$ é um morfismo de anéis sobrejetor de núcleo $I$ , e os núcleos dos morfismos de anéis são exatamente os ideais.

Teorema 2.2 (Primeiro teorema de isomorfismo)

Se $f \colon A \to B$ é um morfismo de anéis, então $\bar f\colon A/\ker f \to \operatorname{im} f$ , $a + \ker f \mapsto f(a)$ , é um isomorfismo de anéis. Mais geralmente, $f$ se fatora por $A/I$ para todo ideal $I \subseteq \ker f$ . Os ideais de $A/I$ são os $J/I$ com $J \supseteq I$ ideal de $A$ (teorema da correspondência).

Demonstração. Como no caso dos grupos (Teoremas 1.3 e 1.5), observando que todas as aplicações em jogo respeitam também os produtos: $\bar f$ está bem definida, é bijetora sobre a imagem e multiplicativa; a correspondência $J \mapsto J/I$ , $\bar J \mapsto \pi^{-1}(\bar J)$ preserva ideais nos dois sentidos porque $\pi$ é um morfismo de anéis sobrejetor. ∎

Definição 2.3

Seja $I \subsetneq A$ um ideal próprio. $I$ é primo se $ab \in I \Rightarrow a \in I$ ou $b \in I$ ; $I$ é maximal se nenhum ideal está estritamente entre $I$ e $A$ .

Proposição 2.4

$I$ é primo $\iff$ $A/I$ é um domínio de integridade; $I$ é maximal $\iff$ $A/I$ é um corpo. Em particular, os ideais maximais são primos.

Demonstração. Escreva $\bar a$ para as classes em $A/I$ . “ $I$ primo” traduz-se literalmente por “ $\bar a\bar b = 0 \Rightarrow \bar a = 0$ ou $\bar b = 0$ ”, e $A/I \neq 0$ por $I \neq A$ : essa é a definição de domínio. Para a maximalidade, use o teorema da correspondência: nenhum ideal estritamente entre $I$ e $A$ $\iff$ $A/I$ não tem ideal além de $0$ e de si mesmo $\iff$ $A/I$ é um corpo — quanto a esta última etapa: em um corpo, os únicos ideais são $0$ e o corpo todo (um ideal que contém $x \ne 0$ contém $x^{-1}x = 1$ ); reciprocamente, se todo $x$ não nulo gera o ideal unidade, então $xy = 1$ para algum $y$ . Corpos são domínios, logo os ideais maximais são primos. ∎

Exemplo 2.5

Em $\Z$ : os ideais primos são $(0)$ e os $(p)$ , com $p$ primo; os maximais são os $(p)$ ( $\Z/p\Z = \mathbb F_p$ é um corpo, $\Z/(0) = \Z$ não é). Em $K[X, Y]$ : $(X) \subsetneq (X, Y)$ são ambos primos ( $K[X,Y]/(X) \cong K[Y]$ , um domínio; $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$ , um corpo), de modo que $(X)$ é primo mas não maximal.

Para garantir em plena generalidade que ideais maximais existem, precisamos de um princípio conjuntista. Um conjunto parcialmente ordenado é indutivo se todo subconjunto totalmente ordenado (cadeia) admite uma cota superior.

Teorema 2.6 (Lema de Zorn)

Todo conjunto parcialmente ordenado indutivo e não vazio tem um elemento maximal.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 2.7

Isso não é um teorema da matemática usual, mas um axioma: ele é equivalente, sobre os axiomas básicos de Zermelo–Fraenkel da teoria dos conjuntos, ao axioma da escolha (“todo produto de conjuntos não vazios é não vazio”), que aceitamos ao longo de todo este livro. Sinalizamos cada uso. A análise voltará a invocá-lo (Hahn–Banach, Capítulo 8).

Teorema 2.8 (Krull)

Todo ideal próprio $I \subsetneq A$ está contido em um ideal maximal.

Demonstração. Ordene por inclusão o conjunto $\mathcal E$ dos ideais próprios que contêm $I$ ; ele é não vazio ( $I \in \mathcal E$ ). Uma cadeia $(J_\lambda)$ em $\mathcal E$ tem por cota superior $J = \bigcup J_\lambda$ : um ideal (dois elementos $a, b \in J$ quaisquer estão em um mesmo $J_\lambda$ , por totalidade), próprio ( $1 \notin J_\lambda$ para todo $\lambda$ ) e que contém $I$ . O lema de Zorn fornece um elemento maximal de $\mathcal E$ , que é um ideal maximal contendo $I$ (um ideal próprio estritamente acima dele estaria em $\mathcal E$ ). ∎

Teorema 2.9 (Teorema chinês dos restos)

Sejam $I_1, \dots, I_n$ ideais de $A$ dois a dois comaximais ( $I_k + I_l = A$ para $k \neq l$ ). Então

A\Big/\bigcap_{k=1}^n I_k \;\xrightarrow{\;\sim\;}\; \prod_{k=1}^n A/I_k, \qquad a \longmapsto (a + I_1, \dots, a + I_n),

e, além disso, $\bigcap_k I_k = I_1 I_2 \cdots I_n$ (o ideal gerado pelos produtos).

Demonstração. A aplicação $f(a) = (a + I_k)_k$ é um morfismo de anéis de núcleo $\bigcap I_k$ ; pelo Teorema 2.2, basta demonstrar a sobrejetividade. Fixe $k$ ; para cada $l \neq k$ escreva $1 = u_l + v_l$ com $u_l \in I_k$ , $v_l \in I_l$ (comaximalidade). Então

e_k = \prod_{l \neq k} v_l = \prod_{l\neq k}(1 - u_l) \equiv 1 \pmod{I_k}, \qquad e_k \in I_l \ (l \neq k),

logo $f(e_k) = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ; dado um alvo $(a_k + I_k)_k$ , o elemento $\sum_k a_k e_k$ é levado nele.

Produtos e interseção: $I_1\cdots I_n \subseteq \bigcap I_k$ sempre. Reciprocamente, por indução basta tratar o caso $n = 2$ (verifica-se que $I_1$ e $I_2\cdots I_n$ são comaximais: multiplicar $1 = u_l + v_l$ para $l \geq 2$ dá $1 \in I_1 + I_2\cdots I_n$ ). Para $n = 2$ : escreva $1 = u + v$ , $u \in I_1$ , $v \in I_2$ ; para $x \in I_1 \cap I_2$ , $x = xu + xv \in I_2I_1 + I_1I_2 = I_1I_2$ . ∎

Exemplo 2.10

Em $\Z$ com $I_k = (m_k)$ e $m_k$ dois a dois coprimos: $\Z/(m_1\cdots m_n)\Z \cong \prod \Z/m_k\Z$ — o teorema chinês dos restos do volume do segundo ano. Restringindo às unidades: $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ para $\gcd(m,n)=1$ , donde a multiplicatividade da função $\varphi$ de Euler (Exercício 2.8).

2.2 Divisibilidade: euclidianos, principais, fatoriais

Definição 2.11

Sejam $A$ um domínio de integridade e $a, b \in A$ . Dizemos que $a$ divide $b$ ( $a \mid b$ ) se $b \in (a) = aA$ . Os elementos $a, b$ são associados se $a = ub$ com $u \in A^\times$ (equivalentemente, $(a) = (b)$ ). Um elemento $p$ não nulo e não inversível é:

irredutível se $p = ab$ força $a \in A^\times$ ou $b \in A^\times$ ;
primo se $p \mid ab$ força $p \mid a$ ou $p \mid b$ (isto é, o ideal $(p)$ é primo).

Proposição 2.12

Em todo domínio, primo $\Rightarrow$ irredutível. A recíproca é falsa em geral: em $\Z[\iu\sqrt 5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}$ , o elemento $2$ é irredutível mas não é primo.

Demonstração. Seja $p$ primo e $p = ab$ . Então $p \mid ab$ , digamos $p \mid a$ : $a = pc$ , logo $p = pcb$ , e cancelando $p$ (é um domínio!) obtém-se $cb = 1$ : $b \in A^\times$ .

Em $\Z[\iu\sqrt5]$ , use a norma $N(x + \iu y\sqrt 5) = x^2 + 5y^2$ , que é multiplicativa (ela vale $\abs z^2$ ). Se $2 = ab$ com $a, b$ não inversíveis, então $4 = N(a)N(b)$ com $N(a), N(b) \neq 1$ (os elementos de norma $1$ são $\pm1$ , as unidades), logo $N(a) = 2$ : impossível, pois $x^2 + 5y^2 = 2$ não tem solução inteira. Assim $2$ é irredutível. Mas $2 \mid 6 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5)$ enquanto $2$ não divide nenhum dos fatores ( $\frac12 \pm \frac{\iu\sqrt5}2 \notin \Z[\iu\sqrt5]$ ): ele não é primo. ∎

Definição 2.13

Um domínio de integridade $A$ é:

euclidiano se existe uma aplicação $\nu \colon A \setminus \{0\} \to \N$ (uma função euclidiana) tal que, para todos $a, b$ com $b \ne 0$ , existem $q, r$ com $a = bq + r$ e ( $r = 0$ ou $\nu(r) < \nu(b)$ );
principal (um DIP) se todo ideal é da forma $(a)$ ;
fatorial (um DFU) se todo elemento não nulo e não inversível é um produto de irredutíveis, único a menos da ordem e de associados.

Teorema 2.14

Euclidiano $\Rightarrow$ principal.

Demonstração. Sejam $I \neq (0)$ um ideal e $b \in I \setminus\{0\}$ com $\nu(b)$ mínimo. Para $a \in I$ , divida: $a = bq + r$ ; então $r = a - bq \in I$ , e $\nu(r) < \nu(b)$ contradiria a minimalidade, de modo que $r = 0$ e $a \in (b)$ : $I = (b)$ . ∎

Exemplo 2.15

$\Z$ (com $\nu = \abs\cdot$ ) e $K[X]$ (com $\nu = \deg$ ) são euclidianos — as duas divisões foram demonstradas no volume do segundo ano. O mesmo vale para $\Z[\iu]$ , com $\nu = N$ a norma quadrática (Exercício 2.4); a geometria da demonstração está na figura abaixo. Existe um DIP que não é euclidiano, mas é delicado certificá-lo (o exemplo padrão é $\Z\bigl[\frac{1+\iu\sqrt{19}}2\bigr]$ ); um DFU que não é DIP é fácil: $K[X, Y]$ (Exercício 2.6), ou $\Z[X]$ .

Divisão nos inteiros de Gauss: o quociente exato a/b ∈ ℂ está a distância no máximo ≤ √2/2 < 1 de algum ponto do reticulado q ∈ ℤ[ ]; então r = a - bq satisfaz N(r) = N(b)\,|a/b - q|2 < N(b). Uma divisão euclidiana e, com ela, toda uma aritmética. — Divisão nos inteiros de Gauss: o quociente exato $a/b \in \C$ está a distância no máximo $\leq \frac{\sqrt2}{2} < 1$ de algum ponto do reticulado $q \in \Z[\iu]$ ; então $r = a - bq$ satisfaz $N(r) = N(b)\,\abs{a/b - q}^2 < N(b)$ . Uma divisão euclidiana e, com ela, toda uma aritmética.

Lema 2.16 (Cadeias ascendentes de ideais principais)

Em um DIP, toda sequência crescente de ideais $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ é estacionária.

Demonstração. $I = \bigcup_n I_n$ é um ideal (a reunião é crescente), logo $I = (a)$ ; o elemento $a$ pertence a algum $I_N$ e, então, $I = (a) \subseteq I_N \subseteq I_n \subseteq I$ para $n \geq N$ . ∎

Lema 2.17 (Bézout; lema de Euclides)

Sejam $A$ um DIP e $a, b \in A$ . Então $(a) + (b) = (d)$ para algum $d$ , um máximo divisor comum: $d \mid a$ , $d \mid b$ , e todo divisor comum de $a, b$ divide $d$ ; além disso, $d = au + bv$ para certos $u, v$ (Bézout). Consequentemente, todo elemento irredutível de um DIP é primo.

Demonstração. $(a) + (b)$ é um ideal, logo é $(d)$ ; $a, b \in (d)$ dá $d \mid a, b$ ; e $d = au + bv \in (a) + (b)$ . Um divisor comum $c$ de $a, b$ divide $au + bv = d$ .

Euclides: seja $p$ irredutível, $p \mid ab$ , $p \nmid a$ . Um mdc $d$ de $p$ e $a$ divide $p$ , logo $d$ é inversível ou associado a $p$ (irredutibilidade); o caso associado está excluído por $p \nmid a$ . Assim $1 = pu + av$ , donde $b = pub + abv$ , e $p$ divide ambos os termos: $p \mid b$ . ∎

Teorema 2.18

Principal $\Rightarrow$ fatorial.

Demonstração. Existência. Suponha que algum elemento $a$ não nulo e não inversível não admita fatoração em irredutíveis. Então $a$ não é irredutível: $a = a_1b_1$ com ambos os fatores não inversíveis; ao menos um deles, digamos $a_1$ , também não admite fatoração (um produto de dois elementos fatoráveis é fatorável). Iterando, obtemos $a = a_0, a_1, a_2, \dots$ , cada um divisor próprio do anterior e sem fatoração, de modo que $(a_0) \subsetneq (a_1) \subsetneq (a_2) \subsetneq \cdots$ — as inclusões são estritas porque $a_n = a_{n+1}c$ com $c$ não inversível significa que $(a_n) = (a_{n+1})$ forçaria $c \in A^\times$ (cancele, no domínio). Isso contradiz o Lema 2.16.

Unicidade. Seja $p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s$ com todos os fatores irredutíveis; mostremos $r \leq s$ por indução sobre $r$ . O elemento primo (Lema 2.17) $p_1$ divide o membro direito, logo divide algum $q_j$ ; renumere para $j = 1$ . Como $q_1$ é irredutível e $p_1$ não é inversível, $q_1 = u p_1$ com $u \in A^\times$ : $p_1, q_1$ são associados. Cancele $p_1$ : $p_2 \cdots p_r = (u q_2) q_3\cdots q_s$ e conclua por indução ( $r = 1$ força $s = 1$ : uma unidade vezes irredutíveis não pode dar $1$ ). ∎

Observação 2.19

Em um DFU existem mdc (tome os expoentes mínimos nas fatorações) e vale o lema de Euclides — irredutível $=$ primo (Exercício 2.2) —, mas Bézout pode falhar: em $\Z[X]$ , $\gcd(2, X) = 1$ e no entanto $1 \neq 2U + XV$ (avalie em $X = 0$ : $1 = 2U(0)$ , impossível). As identidades de Bézout são propriedade exclusiva dos DIP.

Exemplo 2.20 (Um anel sem fatoração única)

Nenhuma das implicações euclidiano $\Rightarrow$ DIP $\Rightarrow$ DFU é uma equivalência, e vale a pena ver ao menos uma vez, em detalhe completo, como a última falha. Em

A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}, \qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,

a norma é multiplicativa e $N(z) = 1$ se, e somente se, $z \in A^\times = \{\pm1\}$ . Considere

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).

Os quatro fatores são irredutíveis: suas normas são $4, 9, 6, 6$ , e uma fatoração própria $z = z_1z_2$ forçaria $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — mas $a^2 + 5b^2$ nunca vale $2$ nem $3$ ( $b = 0$ deixa os não quadrados $2, 3$ ; $\abs b \geq 1$ dá $\geq 5$ ). E, no entanto, $2$ não é associado a nenhum dos $1 \pm \iu\sqrt5$ (normas $4 \neq 6$ ): duas fatorações genuinamente distintas de $6$ em irredutíveis. De maneira equivalente, aqui irredutível $\neq$ primo: $2$ divide o produto $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ mas não divide nenhum dos fatores (normas, de novo). O reparo desse fracasso pela via dos ideais — fatorar ideais em vez de elementos — é a certidão de nascimento da teoria algébrica dos números; em nosso nível, o exemplo calibra o quanto são especiais os anéis euclidianos $\Z$ , $K[X]$ e $\Z[\iu]$ deste capítulo.

Método 2.21

Para identificar um anel quociente $A/I$ , procure um morfismo sobrejetor $f \colon A \to B$ de núcleo $I$ e invoque o Teorema 2.2; quando $A = C[X]$ é um anel de polinômios, $f$ costuma ser uma avaliação. Assim $\Z[X]/(X^2+1) \cong \Z[\iu]$ (avalie em $\iu$ ), $K[X,Y]/(Y - X^2) \cong K[X]$ (avalie $Y$ em $X^2$ ), $\R[X]/(X^2+1) \cong \C$ . Para mostrar que $I$ é primo ou maximal, mostre que o quociente é um domínio ou um corpo (Proposição 2.4).

2.3 Polinômios sobre um DFU: Gauss e Eisenstein

Ao longo de toda esta seção, $A$ é um DFU com corpo de frações $K$ (construído como o corpo dos quocientes formais $a/b$ , $b \neq 0$ , exatamente como $\Q$ a partir de $\Z$ ; o volume do segundo ano fez essa construção para $\Q$ , e ela se transporta literalmente). Nosso objetivo: a fatorialidade passa de $A$ a $A[X]$ , e a irredutibilidade sobre $A$ é essencialmente a irredutibilidade sobre o corpo maior $K$ .

Definição 2.22

O conteúdo $c(P)$ de um $P \in A[X]$ não nulo é um mdc de seus coeficientes (definido a menos de uma unidade); $P$ é primitivo se $c(P) \in A^\times$ . Todo $P \in A[X]$ se escreve $P = c(P)\,P_1$ com $P_1$ primitivo, e todo $P \in K[X]\setminus\{0\}$ se escreve $P = \lambda P_1$ com $\lambda \in K^\times$ e $P_1 \in A[X]$ primitivo (elimine os denominadores e ponha o conteúdo em evidência).

Lema 2.23 (Gauss)

O produto de dois polinômios primitivos de $A[X]$ é primitivo; consequentemente, $c(PQ) = c(P)c(Q)$ a menos de unidades.

Demonstração. Sejam $P, Q$ primitivos e suponha que algum irredutível (= primo, por ser DFU) $p$ divida todos os coeficientes de $PQ$ . Reduza módulo $p$ : em $(A/(p))[X]$ , $\bar P \bar Q = 0$ . Mas $A/(p)$ é um domínio ( $(p)$ é primo), logo $(A/(p))[X]$ é um domínio (os coeficientes líderes se multiplicam), o que força $\bar P = 0$ ou $\bar Q = 0$ : $p$ divide todos os coeficientes de $P$ ou todos os de $Q$ , contradizendo a primitividade. Quanto à consequência, escreva $P = c(P)P_1$ , $Q = c(Q)Q_1$ : $PQ = c(P)c(Q) P_1Q_1$ com $P_1Q_1$ primitivo. ∎

Teorema 2.24

Sejam $A$ um DFU e $K$ seu corpo de frações.

Um $P \in A[X]$ primitivo de grau $\geq 1$ é irredutível em $A[X]$ se, e somente se, é irredutível em $K[X]$ .
$A[X]$ é um DFU; seus irredutíveis são os irredutíveis de $A$ e os polinômios primitivos irredutíveis sobre $K$ . Em particular, $\Z[X]$ e, por indução, $K[X_1, \dots, X_n]$ e $\Z[X_1, \dots, X_n]$ são DFU.

Demonstração. (1) ( $\Leftarrow$ ) Se $P = QR$ em $A[X]$ com $Q, R$ não inversíveis, então nenhum dos fatores é constante (um fator constante de um polinômio primitivo é uma unidade), de modo que a fatoração é própria em $K[X]$ . ( $\Rightarrow$ ) Suponha $P = QR$ com $Q, R \in K[X]$ de graus $\geq 1$ . Escreva $Q = \lambda Q_1$ , $R = \mu R_1$ com $Q_1, R_1 \in A[X]$ primitivos: $P = \lambda\mu\, Q_1R_1$ , e $Q_1R_1$ é primitivo por Gauss. Tomando conteúdos, $\lambda\mu \in A^\times$ (ambos os lados têm conteúdo unidade; formalmente, $\lambda\mu = c(P) \in A^\times$ a menos de unidades e, em particular, $\lambda \mu \in A$ ): $P = (\lambda\mu Q_1) R_1$ é uma fatoração própria em $A[X]$ .

(2) Existência: dado $P \neq 0$ não inversível, fatore $P = c(P)P_1$ , fatore $c(P)$ em irredutíveis de $A$ e fatore $P_1$ no DFU $K[X]$ como $\prod Q_i$ com $Q_i \in K[X]$ irredutíveis; escrevendo $Q_i = \lambda_i R_i$ com $R_i \in A[X]$ primitivos (portanto irredutíveis sobre $K$ e, por (1), em $A[X]$ ), o produto $\prod \lambda_i$ é uma unidade de $A$ como antes, e $P_1 = u\prod R_i$ . Unicidade: compare a parte constante e a parte polinomial de uma fatoração; as constantes multiplicam-se em $c(P)$ (Gauss), única pela fatorialidade de $A$ ; as partes polinomiais dão duas fatorações em $K[X]$ de um mesmo polinômio, de modo que coincidem a menos de constantes de $K^\times$ (fatorialidade de $K[X]$ , Teorema 2.18), e polinômios primitivos associados em $K[X]$ são associados em $A[X]$ : se $R = \lambda R'$ com $R, R'$ primitivos e $\lambda \in K^\times$ , tomar conteúdos força $\lambda \in A^\times$ . ∎

Teorema 2.25 (Critérios de irredutibilidade)

Sejam $A$ um DFU, $K$ seu corpo de frações e $P = a_nX^n + \dots + a_0 \in A[X]$ primitivo de grau $n \geq 1$ .

(Redução) Se $p \in A$ é primo, $p \nmid a_n$ e a redução $\bar P$ é irredutível em $(A/(p))[X]$ , então $P$ é irredutível em $K[X]$ (e portanto em $A[X]$ ).
(Eisenstein) Se algum primo $p$ satisfaz $p \nmid a_n$ , $p \mid a_i$ para $0 \leq i < n$ , e $p^2 \nmid a_0$ , então $P$ é irredutível em $K[X]$ (e portanto em $A[X]$ ).

Demonstração. Pelo Teorema 2.24(1), uma fatoração própria sobre $K$ fornece $P = QR$ com $Q, R \in A[X]$ , $\deg Q, \deg R \geq 1$ (as constantes estão excluídas: seriam unidades ou estragariam a primitividade).

(1) Reduza módulo $p$ : $\bar P = \bar Q\bar R$ em $(A/(p))[X]$ . Como $p \nmid a_n$ e o $\deg$ só pode diminuir sob redução, $\deg \bar Q = \deg Q \geq 1$ e $\deg\bar R = \deg R \geq 1$ (seus coeficientes líderes multiplicam-se em $\bar a_n \neq 0$ , logo nenhum deles cai): $\bar P$ se fatora propriamente — contradição.

(2) Reduza módulo $p$ : $\bar Q \bar R = \bar P = \bar a_n X^n$ (todos os coeficientes inferiores morrem). No domínio $(A/(p))[X]$ , as fatorações de $cX^n$ ( $c \ne 0$ ) são em constantes e potências puras $c'X^k$ : com efeito, se $\bar Q\bar R = \bar a_nX^n$ e, digamos, $\bar Q$ tivesse um coeficiente não nulo em grau $< \deg\bar Q$ , tome os termos não nulos de menor grau: $\operatorname{val}(\bar Q\bar R) = \operatorname{val}\bar Q + \operatorname{val}\bar R$ (domínio), o que deve coincidir com $n = \deg\bar Q + \deg\bar R$ , forçando $\operatorname{val} = \deg$ para ambos: os dois são monômios. Como acima, os graus não caem, de modo que $Q$ e $R$ têm termos constantes $Q(0), R(0)$ divisíveis por $p$ — os dois, já que ambas as reduções são monômios de grau $\geq 1$ . Então $p^2 \mid Q(0)R(0) = a_0$ : contradição. ∎

Exemplo 2.26

$X^n - p$ é irredutível sobre $\Q$ para todo primo $p$ e todo $n \geq 1$ (Eisenstein em $p$ ): há polinômios irredutíveis de todos os graus sobre $\Q$ — em contraste flagrante com $\C$ (grau $1$ , d’Alembert–Gauss, demonstrado no Capítulo 16) e com $\R$ (graus $1, 2$ ). O truque da translação amplia o alcance de Eisenstein: o polinômio ciclotômico de índice $p$ , $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ , satisfaz

\Phi_p(X + 1) = \frac{(X+1)^p - 1}{X} = X^{p-1} + \binom{p}{1}X^{p-2} + \dots + \binom{p}{p-1},

que é de Eisenstein em $p$ ( $p \mid \binom pk$ para $0 < k < p$ , e $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$ ): logo $\Phi_p(X+1)$ e, com ele, $\Phi_p$ são irredutíveis sobre $\Q$ . Esse é o coração algébrico da história do $17$ -ágono contada no Capítulo 4.

Método 2.27

Para demonstrar que $P \in \Z[X]$ é irredutível sobre $\Q$ : (i) torne $P$ primitivo; (ii) tente Eisenstein, em $P(X)$ e nas translações $P(X \pm 1)$ ; (iii) tente a redução módulo primos pequenos que não dividam o coeficiente líder — a irredutibilidade módulo um único $p$ já basta, e sobre $\mathbb F_p$ a irredutibilidade é uma verificação finita (a ausência de raízes exclui fatores de grau $1$ ; depois, teste os finitos fatores de cada grau $\leq \deg P/2$ ); (iv) se tudo o mais falhar, coeficientes indeterminados. Cuidado: ser redutível módulo todo $p$ não implica ser redutível sobre $\Q$ (Exercício 2.11).

2.4 Anéis noetherianos

Definição 2.28

Um anel $A$ é noetheriano se todo ideal de $A$ é finitamente gerado.

Proposição 2.29

$A$ é noetheriano se, e somente se, toda sequência crescente de ideais é estacionária (condição de cadeia ascendente), e se, e somente se, toda família não vazia de ideais tem elemento maximal (para a inclusão).

Demonstração. (Finitamente gerado $\Rightarrow$ CCA): para uma cadeia $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ , a reunião $I$ é um ideal, gerado por $x_1, \dots, x_r$ ; todos os $x_i$ pertencem a algum $I_N$ , logo $I = I_N = I_n$ para $n \geq N$ . (CCA $\Rightarrow$ elementos maximais): se uma família não vazia $\mathcal F$ não tivesse elemento maximal, escolha $I_1 \in \mathcal F$ e, indutivamente, $I_{n+1} \supsetneq I_n$ em $\mathcal F$ (é possível, pois $I_n$ não é maximal): uma cadeia infinita estritamente crescente. (Isso usa o axioma das escolhas dependentes, uma forma fraca da escolha com a qual não nos preocupamos.) (Elementos maximais $\Rightarrow$ finitamente gerado): dado um ideal $I$ , a família dos ideais finitamente gerados contidos em $I$ é não vazia ( $(0)$ ); um elemento maximal $J = (x_1, \dots, x_r)$ tem de ser igual a $I$ : caso contrário, acrescentar $x \in I \setminus J$ aos geradores produziria um membro estritamente maior da família. ∎

Teorema 2.30 (Teorema da base de Hilbert)

Se $A$ é noetheriano, $A[X]$ também é. Logo $A[X_1, \dots, X_n]$ também são, e todo quociente deles.

Demonstração. Seja $I$ um ideal de $A[X]$ e suponha que $I$ não seja finitamente gerado. Construa uma sequência: $f_1 \in I \setminus \{0\}$ de grau mínimo e, indutivamente, $f_{k+1} \in I \setminus (f_1, \dots, f_k)$ de grau mínimo (o conjunto é não vazio, por hipótese). Os graus $d_k = \deg f_k$ são não decrescentes (pela minimalidade de cada escolha: $f_{k+1}$ estava disponível na etapa $k+1$ … mais precisamente, $f_{k+1} \notin (f_1,\dots,f_k) \supseteq (f_1, \dots, f_{k-1})$ , de modo que $f_{k+1}$ concorreu na etapa $k$ e perdeu ou empatou: $d_{k+1} \geq d_k$ ). Seja $a_k \in A$ o coeficiente líder de $f_k$ . A cadeia de ideais $(a_1) \subseteq (a_1, a_2) \subseteq \cdots$ estabiliza: $a_{n+1} \in (a_1, \dots, a_n)$ para algum $n$ , digamos $a_{n+1} = \sum_{k\leq n} u_k a_k$ . Considere

g = f_{n+1} - \sum_{k=1}^{n} u_k X^{\,d_{n+1} - d_k} f_k .

Então $g \in I \setminus (f_1, \dots, f_n)$ (a soma pertence ao ideal, $f_{n+1}$ não), e no entanto o coeficiente de grau $d_{n+1}$ se cancela: $\deg g < d_{n+1}$ , contradizendo a minimalidade de $d_{n+1} = \deg f_{n+1}$ .

Iterando, $A[X_1, \dots, X_n] = (A[X_1, \dots, X_{n-1}])[X_n]$ é noetheriano; um quociente $A/I$ é noetheriano porque seus ideais $J/I$ se levantam a ideais de $A$ (correspondência), onde uma quantidade finita de geradores se projeta sobre geradores. ∎

Observação 2.31

A noetherianidade é o axioma de finitude da geometria algébrica: qualquer sistema de equações polinomiais em $n$ variáveis, por mais infinito que seja, é equivalente a um número finito delas — seu conjunto de soluções é recortado por finitos polinômios. Os DIP são noetherianos (trivialmente); $\Z[X_1, X_2, \dots]$ em uma infinidade de variáveis não é ( $(X_1) \subsetneq (X_1, X_2) \subsetneq \cdots$ ). Anéis não noetherianos também surgem naturalmente em análise: as funções contínuas sobre $\intcc01$ formam um deles (Exercício 2.10).

2.5 Exercícios

Exercício 2.1 ★

Identifique os quocientes: (a) $\Z[X]/(X^2 + 1) \cong \Z[\iu]$ ; (b) $\R[X]/(X^2+1) \cong \C$ ; (c) $\mathbb F_2[X]/(X^2 + X + 1)$ é um corpo com $4$ elementos — escreva sua tabela de multiplicação.

Solução

Solução de Exercício 2.1.

(a) A avaliação $f \colon \Z[X] \to \Z[\iu]$ , $P \mapsto P(\iu)$ , é um morfismo de anéis sobrejetor ( $a + bX \mapsto a + b\iu$ ). Núcleo: divida $P$ pelo polinômio mônico $X^2 + 1$ em $\Z[X]$ : $P = (X^2 + 1)Q + (bX + a)$ com $a, b \in \Z$ ; então $P(\iu) = a + b\iu = 0$ se, e somente se, $a = b = 0$ . Logo $\ker f = (X^2+1)$ , e o Teorema 2.2 conclui.

(b) O mesmo cálculo com coeficientes em $\R$ : $\R[X]/(X^2+1) \cong \C$ — esta é a construção mais limpa de $\C$ .

(c) $X^2 + X + 1$ não tem raiz em $\mathbb F_2$ ( $0, 1 \mapsto 1$ ), de modo que, tendo grau $2$ , é irredutível: o quociente $\mathbb F_4 = \mathbb F_2[X]/(X^2+X+1)$ é um corpo (Proposição 2.4; $(P)$ é maximal em $K[X]$ quando $P$ é irredutível, pois $K[X]$ é um DIP: um ideal $(D) \supseteq (P)$ significa $D \mid P$ ). Seus quatro elementos são $0, 1, \omega, \omega + 1$ , em que $\omega = \bar X$ , com $\omega^2 = \omega + 1$ . Tabela de multiplicação (elementos não nulos):

\omega \cdot \omega = \omega + 1, \qquad \omega(\omega + 1) = \omega^2 + \omega = 1, \qquad (\omega+1)^2 = \omega^2 + 1 = \omega .

Os elementos não nulos formam um grupo cíclico de ordem $3$ gerado por $\omega$ .

Exercício 2.2 ★

(a) Mostre que, em um DFU, todo elemento irredutível é primo. (b) Mostre que um domínio de integridade finito é um corpo. (c) Deduza que, em um anel finito, todo ideal primo é maximal.

Solução

Solução de Exercício 2.2.

(a) Seja $p$ irredutível em um DFU e $p \mid ab$ , digamos $ab = pc$ , com $a, b \neq 0$ (do contrário é trivial). Se $a$ ou $b$ é inversível, $p$ divide o outro. Do contrário, fatore $a$ , $b$ e $c$ em irredutíveis: as duas fatorações de $ab$ ,

(\text{fatores de } a)(\text{fatores de } b) = p \cdot (\text{fatores de } c),

têm de coincidir a menos da ordem e de associados: $p$ é associado a algum fator irredutível de $a$ ou de $b$ , logo o divide.

(b) Sejam $A$ um domínio finito e $x \neq 0$ . A aplicação $y \mapsto xy$ é injetora ( $xy = xy' \Rightarrow x(y - y') = 0 \Rightarrow y = y'$ ), logo sobrejetora ( $A$ é finito): $1 = xy$ para algum $y$ .

(c) Se $\mathfrak p$ é primo em um anel finito $A$ , então $A/\mathfrak p$ é um domínio finito, logo um corpo por (b), de modo que $\mathfrak p$ é maximal (Proposição 2.4).

Exercício 2.3 ★

Em $\Z[\iu\sqrt5]$ : verifique que $3$ , $1 + \iu\sqrt5$ e $1 - \iu\sqrt5$ são irredutíveis, que $9 = 3\cdot 3 = (2 + \iu\sqrt5)(2 - \iu\sqrt5)$ , e conclua de novo (depois da Proposição 2.12) que $\Z[\iu\sqrt5]$ não é um DFU. Onde exatamente a unicidade falha?

Solução

Solução de Exercício 2.3.

Normas: $N(3) = 9$ , $N(1 \pm \iu\sqrt5) = 6$ , $N(2 \pm \iu\sqrt5) = 9$ . As equações $x^2 + 5y^2 = 2$ e $x^2 + 5y^2 = 3$ não têm soluções inteiras, de modo que nenhum elemento tem norma $2$ ou $3$ . Uma fatoração própria de $3$ exigiria dois fatores de norma $3$ : impossível — $3$ é irredutível. Uma fatoração própria de $1 \pm \iu\sqrt5$ (norma $6$ ) exigiria fatores de normas $2, 3$ : impossível. O mesmo para $2 \pm \iu\sqrt5$ (norma $9$ : os fatores teriam norma $3$ ). Ora,

9 = 3 \cdot 3 = (2 + \iu\sqrt5)(2 - \iu\sqrt5),

são duas fatorações em irredutíveis. Elas são genuinamente distintas: as unidades são $\pm 1$ (norma $1$ ), e $2 \pm \iu\sqrt5 \neq \pm 3$ . Logo a unicidade falha — ao passo que a existência de fatorações vale em $\Z[\iu\sqrt5]$ (Exercício 2.10(c)): a não fatorialidade aqui é uma falha puramente de unicidade. (Coerentemente, Proposição 2.12: esses irredutíveis não são primos.)

Exercício 2.4 ★★

(a) Mostre que $\Z[\iu]$ é euclidiano para a norma $N(x + \iu y) = x^2 + y^2$ : dados $a, b \neq 0$ , escolha $q \in \Z[\iu]$ mais próximo de $a/b \in \C$ . (b) Determine $\Z[\iu]^\times$ . (c) Mesmas questões para $\Z[\iu\sqrt2]$ e $N(x + \iu y\sqrt2) = x^2 + 2y^2$ . Por que o mesmo argumento falha para $\Z[\iu\sqrt5]$ ?

Solução

Solução de Exercício 2.4.

(a) Sejam $a, b \in \Z[\iu]$ , $b \neq 0$ e $a/b = x + \iu y \in \C$ . Escolha inteiros $m, n$ com $\abs{x - m} \leq \frac12$ , $\abs{y - n} \leq \frac12$ , e ponha $q = m + \iu n$ , $r = a - bq$ . Então

N(r) = N(b)\,\abs*{\tfrac ab - q}^2 \leq N(b)\Bigl(\tfrac14 + \tfrac14\Bigr) = \tfrac{N(b)}2 < N(b).

Assim $N$ é uma função euclidiana ( $N(r) < N(b)$ ou $r = 0$ ).

(b) Se $uv = 1$ , então $N(u)N(v) = 1$ com $N(u) \in \N$ : $N(u) = 1$ , isto é, $x^2 + y^2 = 1$ : $u \in \{\pm 1, \pm\iu\}$ ; reciprocamente, esses são unidades.

(c) Para $\Z[\iu\sqrt2]$ : o mesmo arredondamento dá $\abs{a/b - q}^2 \leq \frac14 + \frac{2}4 = \frac34 < 1$ : euclidiano; unidades: $x^2 + 2y^2 = 1$ dá $\pm 1$ . Para $\Z[\iu\sqrt5]$ , a cota se torna $\frac14 + \frac54 = \frac32 > 1$ : o argumento de arredondamento falha — e tem de falhar, pois $\Z[\iu\sqrt5]$ não é sequer um DFU (Exercício 2.3), enquanto euclidiano implicaria DFU (Teoremas 2.14 e 2.18).

Exercício 2.5 ★★

Seja $A$ um anel. (a) Mostre que, se $x$ é nilpotente ( $x^n = 0$ para algum $n$ ), então $1 + x \in A^\times$ . (b) Mostre que, se $A$ é um domínio, $A[X]^\times = A^\times$ ; dê um contraexemplo sobre $\Z/4\Z$ . (c) Mostre que um domínio não tem idempotentes ( $e^2 = e$ ) além de $0, 1$ , nem nilpotentes além de $0$ .

Solução

Solução de Exercício 2.5.

(a) Se $x^n = 0$ :

(1 + x)\bigl(1 - x + x^2 - \dots + (-1)^{n-1}x^{n-1}\bigr) = 1 + (-1)^{n-1}x^n = 1 .

(b) Em um domínio, $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ ; $PQ = 1$ força $\deg P = \deg Q = 0$ e $P, Q \in A^\times$ : $A[X]^\times = A^\times$ . Sobre $\Z/4\Z$ : $(1 + 2X)^2 = 1 + 4X + 4X^2 = 1$ , de modo que $1 + 2X$ é uma unidade de grau $1$ (aqui $2$ é nilpotente; compare com (a)).

(c) $e^2 = e$ dá $e(e - 1) = 0$ , de modo que $e \in \{0, 1\}$ em um domínio. Se $x^n = 0$ com $n \geq 1$ mínimo e $x \ne 0$ , então $n \geq 2$ e $x \cdot x^{n-1} = 0$ com os dois fatores não nulos: contradição.

Exercício 2.6 ★★

Em $A = K[X, Y]$ : (a) mostre que o ideal $(X, Y)$ é maximal mas não é principal — de modo que $K[X,Y]$ é um DFU (Teorema 2.24) que não é um DIP; (b) identifique $K[X, Y]/(Y - X^2)$ e $K[X,Y]/(XY - 1)$ como subanéis de funções racionais; (c) $(Y - X^2)$ é primo? é maximal?

Solução

Solução de Exercício 2.6.

(a) $K[X,Y]/(X,Y) \cong K$ (avalie em $(0,0)$ ): um corpo, de modo que $(X,Y)$ é maximal. Se $(X, Y) = (P)$ : $P \mid X$ força (graus em $Y$ ) $P \in K[X]$ , e $P \mid Y$ força então $P \in K$ ; $P = 0$ é absurdo, e $P \in K^\times$ daria $(P) = K[X,Y]$ , contradizendo a propriedade de ser próprio ( $K[X,Y]/(X,Y) \cong K \neq 0$ ). Logo $(X,Y)$ não é principal.

(b) A avaliação $P(X, Y) \mapsto P(X, X^2)$ leva $K[X,Y]$ sobre $K[X]$ ; seu núcleo é $(Y - X^2)$ : dividindo pelo polinômio $Y - X^2$ , mônico em $Y$ , $P = (Y - X^2)Q + R(X)$ , e $P(X, X^2) = R(X)$ . Logo $K[X,Y]/(Y - X^2) \cong K[X]$ — o anel de coordenadas de uma parábola, isomorfo ao de uma reta.

A avaliação $P(X, Y) \mapsto P(X, X^{-1})$ leva $K[X, Y]$ sobre o anel $K[X, X^{-1}]$ dos polinômios de Laurent. Seu núcleo contém $(XY - 1)$ ; reciprocamente, módulo $XY - 1$ toda classe tem um representante $R = \sum_{n \geq 0} a_nX^n + \sum_{m \geq 1} b_m Y^m$ (substitua repetidamente cada produto $XY$ por $1$ ), e $R(X, X^{-1}) = \sum a_n X^n + \sum b_m X^{-m} = 0$ força todos os $a_n = b_m = 0$ . Logo $K[X, Y]/(XY - 1) \cong K[X, X^{-1}]$ — o anel de coordenadas de uma hipérbole: a reta menos um ponto.

(c) $(Y - X^2)$ é primo (o quociente $K[X]$ é um domínio), mas não é maximal ( $K[X]$ não é corpo; concretamente, $(Y - X^2) \subsetneq (Y - X^2,\, X) \subsetneq K[X,Y]$ ).

Exercício 2.7 ★★

Irredutível ou não sobre $\Q$ : $X^5 - 12X^3 + 36X - 12$ ; $X^4 + X + 1$ (reduza módulo $2$ ); $X^4 + 4$ ; $\Phi_8 = X^4 + 1$ (translade por $1$ ); $X^3 - X - 1$ .

Solução

Solução de Exercício 2.7.

$X^5 - 12X^3 + 36X - 12$ : Eisenstein em $p = 3$ ( $3 \mid 12, 36, 12$ ; $9 \nmid 12$ ; $3 \nmid 1$ ): irredutível. (Em $p = 2$ , Eisenstein falha: $4 \mid 12$ .)

$X^4 + X + 1$ : reduza módulo $2$ . Não há raiz em $\mathbb F_2$ ; a única quadrática irredutível sobre $\mathbb F_2$ é $X^2 + X + 1$ , e $(X^2+X+1)^2 = X^4 + X^2 + 1 \neq X^4 + X + 1$ . Logo $X^4 + X + 1$ é irredutível sobre $\mathbb F_2$ e, portanto, sobre $\Q$ (Teorema 2.25(1); ele é mônico).

$X^4 + 4$ : redutível — a identidade de Sophie Germain, $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$ .

$X^4 + 1$ : translade, $(X+1)^4 + 1 = X^4 + 4X^3 + 6X^2 + 4X + 2$ : Eisenstein em $2$ . Uma fatoração de $X^4+1$ se transladaria em uma de $(X+1)^4 + 1$ : irredutível.

$X^3 - X - 1$ : uma cúbica é redutível sobre $\Q$ se, e somente se, tem raiz racional; e uma raiz racional de um polinômio inteiro mônico é um inteiro que divide o termo constante (teorema da raiz racional: se $(p/q)$ , em forma irredutível, é raiz, então $q \mid 1$ , $p \mid -1$ ), e $\pm 1$ não são raízes ( $-1$ e $-1$ ): irredutível.

Exercício 2.8 ★★

(a) A partir do Teorema 2.9, demonstre que a função de Euler é multiplicativa em argumentos coprimos e que $\varphi(p^k) = p^{k-1}(p-1)$ ; recupere $\varphi(n) = n\prod_{p \mid n}(1 - \frac1p)$ . (b) Resolva: $x \equiv 2 \pmod 7$ , $x \equiv 5 \pmod{11}$ , $x \equiv 1 \pmod{13}$ , exibindo os idempotentes $e_k$ da demonstração do Teorema 2.9.

Solução

Solução de Exercício 2.8.

(a) Para $\gcd(m, n) = 1$ , o Teorema 2.9 dá um isomorfismo de anéis $\Z/mn\Z \cong \Z/m\Z \times \Z/n\Z$ . Um elemento de um anel produto é unidade se, e somente se, ambas as coordenadas o são, de modo que $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$ e $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ . Para uma potência de primo, os não inversíveis de $\Z/p^k\Z$ são as classes dos múltiplos de $p$ : $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}$ . Logo

\varphi(n) = \prod_i \bigl(p_i^{\alpha_i} - p_i^{\alpha_i-1}\bigr) = n \prod_{p \mid n}\Bigl(1 - \frac1p\Bigr).

(b) $M = 7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$ . Idempotentes: $e_1 \equiv (1, 0, 0)$ : $143 = 11\cdot13 \equiv 3 \pmod 7$ e $3 \cdot 5 \equiv 1$ : $e_1 = 143 \cdot 5 = 715$ . $e_2$ : $91 \equiv 3 \pmod{11}$ , $3 \cdot 4 \equiv 1$ : $e_2 = 91\cdot4 = 364$ . $e_3$ : $77 \equiv -1 \pmod{13}$ : $e_3 = 77 \cdot 12 = 924$ . Então

x \equiv 2\,e_1 + 5\,e_2 + 1\,e_3 = 1430 + 1820 + 924 = 4174 \equiv 170 \pmod{1001},

e, de fato, $170 = 24\cdot7 + 2 = 15\cdot11 + 5 = 13\cdot13 + 1$ .

Exercício 2.9 ★★★

(O nilradical) Seja $\operatorname{Nil}(A)$ o conjunto dos elementos nilpotentes. (a) Mostre que $\operatorname{Nil}(A)$ é um ideal contido em todo ideal primo. (b) Reciprocamente, seja $a$ não nilpotente; usando o lema de Zorn sobre os ideais que evitam $S = \{a^n : n \in \N\}$ , produza um ideal primo que não contenha $a$ . Conclua:

\operatorname{Nil}(A) = \bigcap_{\mathfrak p \text{ primo}} \mathfrak p .

Solução

Solução de Exercício 2.9.

(a) Se $x^n = 0$ e $y^m = 0$ , a expansão binomial de $(x+y)^{n+m}$ tem todo termo $x^iy^j$ com $i + j = n + m$ , de modo que $i \geq n$ ou $j \geq m$ : cada termo se anula, e $x + y$ é nilpotente; $(ax)^n = a^nx^n = 0$ : $\operatorname{Nil}(A)$ é um ideal. Se $\mathfrak p$ é primo e $x^n = 0 \in \mathfrak p$ , a indução sobre $n$ dá $x \in \mathfrak p$ ( $x \cdot x^{n-1} \in \mathfrak p$ ).

(b) Sejam $a \notin \operatorname{Nil}(A)$ e $S = \{a^n : n \geq 1\}$ , de modo que $0 \notin S$ . O conjunto $\mathcal E$ dos ideais disjuntos de $S$ contém $(0)$ e é indutivo (a reunião de uma cadeia de ideais disjuntos de $S$ é um ideal disjunto de $S$ ): Zorn fornece $\mathfrak p \in \mathcal E$ maximal. $\mathfrak p$ é próprio ( $a \notin \mathfrak p$ , pois $a \in S$ ). Primalidade: sejam $x, y \notin \mathfrak p$ . Pela maximalidade, $\mathfrak p + (x)$ e $\mathfrak p + (y)$ encontram $S$ : $a^m \in \mathfrak p + (x)$ , $a^n \in \mathfrak p + (y)$ . Multiplicando, $a^{m+n} \in \mathfrak p + (xy)$ . Se $xy \in \mathfrak p$ , então $a^{m+n} \in \mathfrak p \cap S$ : absurdo. Logo $xy \notin \mathfrak p$ — a contrapositiva da primalidade. Assim, todo elemento não nilpotente evita algum ideal primo; com (a), $\operatorname{Nil}(A) = \bigcap_{\mathfrak p} \mathfrak p$ .

Exercício 2.10 ★★★

(a) Sejam $A$ noetheriano e $f \colon A \to A$ um morfismo de anéis sobrejetor. Mostre que $f$ é injetor. (Considere $\ker f \subseteq \ker f^2 \subseteq \cdots$ .) (b) Mostre que o anel $\mathcal C(\intcc01, \R)$ das funções contínuas não é noetheriano. (Considere $I_n = \{f : f = 0 \text{ em } \intcc0{1/n}\}$ .) (c) Mostre que, em um domínio noetheriano, todo elemento não nulo e não inversível é um produto (finito) de irredutíveis — de modo que a não fatorialidade de $\Z[\iu\sqrt 5]$ é uma falha apenas de unicidade.

Solução

Solução de Exercício 2.10.

(a) A cadeia $\ker f \subseteq \ker f^2 \subseteq \cdots$ estabiliza (Proposição 2.29): $\ker f^n = \ker f^{n+1}$ para algum $n$ . Seja $x \in \ker f$ . Como $f$ , logo $f^n$ , é sobrejetora, $x = f^n(y)$ para algum $y$ ; então $f^{n+1}(y) = f(x) = 0$ , de modo que $y \in \ker f^{n+1} = \ker f^n$ , isto é, $x = f^n(y) = 0$ .

(b) $I_n = \{f \in \mathcal C(\intcc01, \R) : f\restriction_{ \intcc0{1/n}} = 0\}$ é um ideal, e $I_n \subseteq I_{n+1}$ . A inclusão é estrita: $x \mapsto \max\bigl(0, x - \frac1{n+1}\bigr)$ se anula em $\intcc0{\frac1{n+1}}$ , mas não em $\intcc0{\frac1n}$ . Uma cadeia infinita estritamente crescente contradiz a Proposição 2.29.

(c) Suponha não vazio o conjunto dos elementos não nulos e não inversíveis que não admitem fatoração em irredutíveis. A família correspondente de ideais $\{(a)\}$ tem elemento maximal $(a)$ (Proposição 2.29). O elemento $a$ não é irredutível (um irredutível é sua própria fatoração), de modo que $a = bc$ com $b, c$ não inversíveis; $(a) \subseteq (b)$ é estrita (pois $(a) = (b)$ daria $b = ad$ , $a = adc$ , logo $dc = 1$ : $c$ inversível), e analogamente $(a) \subsetneq (c)$ . Pela maximalidade, $b$ e $c$ se fatoram ambos em irredutíveis; concatenar os fatores fatoriza $a$ : contradição. Aplicado a $\Z[\iu\sqrt5]$ — noetheriano por ser quociente de $\Z[X]$ (Teorema 2.30, $\Z[\iu\sqrt5] \cong \Z[X]/(X^2+5)$ ) —, isso mostra que ali existem fatorações; o Exercício 2.3 mostrou que o que falha é a unicidade.

Exercício 2.11 ★★★

Seja $P = X^4 + 1$ . (a) Mostre que $P$ é irredutível sobre $\Q$ (Exercício 2.7). (b) Mostre que $P$ é redutível módulo todo primo $p$ : trate $p = 2$ ; depois, para $p$ ímpar, mostre que $8 \mid p^2 - 1$ e admita por ora (demonstrado no Capítulo 4) que o grupo multiplicativo do corpo com $p^2$ elementos é cíclico, para concluir que $P$ se decompõe em dois fatores quadráticos módulo $p$ ; explicite-os quando um dos números $-1$ , $2$ , $-2$ é um quadrado módulo $p$ , e mostre que um deles sempre é.

Solução

Solução de Exercício 2.11.

(a) Exercício 2.7: translade e aplique Eisenstein em $2$ .

(b) Módulo $2$ : $X^4 + 1 = (X + 1)^4$ . Seja agora $p$ ímpar. Os quadrados formam um subgrupo de índice $2$ em $(\Z/p\Z)^\times$ : o morfismo $x \mapsto x^2$ tem núcleo $\{\pm 1\}$ (dois elementos: $X^2 - 1$ tem no máximo $2$ raízes em um corpo, e $1 \neq -1$ para $p$ ímpar), de modo que sua imagem tem $\frac{p-1}2$ elementos. Consequentemente, o produto de dois não quadrados é um quadrado (no grupo quociente de ordem $2$ , $\overline{xy} = \bar x\bar y$ ). Logo ao menos um dentre $-1$ , $2$ , $-2$ é um quadrado módulo $p$ (se $-1$ e $2$ não o são, $-2 = (-1)\cdot 2$ o é). Em cada caso, $X^4 + 1$ se fatora módulo $p$ :

$-1 = c^2$ : $X^4 + 1 = X^4 - c^2 = (X^2 - c)(X^2 + c)$ ;
$2 = c^2$ : $(X^2 + cX + 1)(X^2 - cX + 1) = X^4 + (2 - c^2)X^2 + 1 = X^4 + 1$ ;
$-2 = c^2$ : $(X^2 + cX - 1)(X^2 - cX - 1) = X^4 - (c^2 + 2)X^2 + 1 = X^4 + 1$ .

Assim, $X^4+1$ é redutível módulo todo primo e, no entanto, irredutível sobre $\Q$ : o critério de redução (Teorema 2.25(1)) detecta a irredutibilidade, mas sua falha nada demonstra.

(Quanto à razão estrutural: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$ é um produto de dois números pares consecutivos, de modo que $8 \mid p^2 - 1$ ; o grupo cíclico $\mathbb F_{p^2}^\times$ (ciclicidade demonstrada no Capítulo 4) contém então um elemento $\zeta$ de ordem $8$ , raiz de $X^4 + 1$ ; seu polinômio minimal sobre $\mathbb F_p$ divide $X^4+1$ e tem grau $\leq 2$ — $X^4+1$ nunca pode ser irredutível módulo $p$ .)

Exercício 2.12 ★★

(Idempotentes decompõem anéis) Um elemento $e$ de um anel comutativo $A$ é idempotente se $e^2 = e$ . (a) Mostre que, se $e$ é idempotente, $1 - e$ também é, e que a aplicação $x \mapsto (ex, (1-e)x)$ é um isomorfismo de anéis $A \cong Ae \times A(1-e)$ , onde $Ae$ é um anel de unidade $e$ . (b) Encontre todos os idempotentes de um domínio e os de $\Z/12\Z$ ; exiba o isomorfismo $\Z/12\Z \cong \Z/4\Z \times \Z/3\Z$ nomeando seus dois idempotentes não triviais. (c) Mostre que a decomposição de $\Z/n\Z$ pelo teorema chinês dos restos (Exemplo 2.10) corresponde exatamente aos idempotentes $e_i \equiv 1 \bmod p_i^{a_i}$ , $e_i \equiv 0$ módulo as demais potências de primos: os anéis se decompõem ao longo de seus idempotentes como os espaços se decompõem ao longo de projeções.

Solução

Solução de Exercício 2.12.

(a) $(1-e)^2 = 1 - 2e + e^2 = 1 - e$ . A aplicação $\varphi(x) = (ex, (1-e)x)$ é aditiva e multiplicativa, com valores no produto dos dois ideais: $exey = e^2xy = e(xy)$ , e $Ae$ é um anel comutativo de unidade $e$ ( $e\cdot ex = ex$ ). Injetora: $ex = 0$ e $(1-e)x = 0$ somam $x = 0$ . Sobrejetora: $(ea, (1-e)b)$ é a imagem de $ea + (1-e)b$ (calcule as duas componentes usando $e(1-e) = 0$ ). As unidades se correspondem corretamente com os pares do tipo $(1, 0)$ : $\varphi(1) = (e, 1-e)$ , a unidade do produto.

(b) Em um domínio, $e(e - 1) = 0$ força $e \in \{0, 1\}$ : só há idempotentes triviais. Em $\Z/12\Z$ , resolvendo $e^2 \equiv e$ : $e \in \{0, 1, 4, 9\}$ . O par não trivial $\{4, 9\}$ : $4 + 9 = 13 \equiv 1$ , $4\cdot9 = 36 \equiv 0$ , e $\Z/12\Z\cdot4 = \{0, 4, 8\} \cong \Z/3\Z$ (unidade $4$ ), $\Z/12\Z\cdot9 = \{0, 3, 6, 9\} \cong \Z/4\Z$ (unidade $9$ ): a decomposição do teorema chinês dos restos $\Z/12\Z \cong \Z/4\Z\times\Z/3\Z$ , com $9 \leftrightarrow (1, 0)$ e $4 \leftrightarrow (0, 1)$ .

(c) Sob o isomorfismo do teorema chinês dos restos $\Z/n\Z \cong \prod_i \Z/p_i^{a_i}\Z$ , o elemento $e_i$ com as congruências indicadas corresponde à upla com $1$ na posição $i$ e $0$ nas demais: os idempotentes elementares do produto. Reciprocamente, uma família completa de idempotentes ortogonais ( $e_ie_j = 0$ para $i \neq j$ , $\sum e_i = 1$ ) remonta a decomposição em produto por (a), indutivamente. Os idempotentes estão para os anéis como as projeções ortogonais estão para os espaços de Hilbert (Capítulo 13): as coordenadas de uma decomposição direta interna.

2.6 Problema: o teorema dos dois quadrados de Fermat

Problema 2.1

Problema de fim de semana — somas de dois quadrados, via $\Z[\iu]$

Quais inteiros são somas de dois quadrados? A resposta de Fermat (1640) é uma das joias da aritmética; os inteiros de Gauss transformam sua demonstração em teoria de anéis. Ao longo de todo o problema, $N(x + \iu y) = x^2 + y^2$ designa a norma, $\Z[\iu]$ é euclidiano (Exercício 2.4), logo um DIP e um DFU, e primo de Gauss significa elemento primo (= irredutível) de $\Z[\iu]$ .

Parte I — Normas e primos de Gauss.

Verifique $N(zw) = N(z)N(w)$ , deduza de novo $\Z[\iu]^\times = \{\pm1, \pm\iu\}$ e demonstre a identidade de Brahmagupta: um produto de duas somas de dois quadrados é uma soma de dois quadrados.
Mostre que, se $N(z)$ é um número primo, então $z$ é um primo de Gauss.
Mostre que todo primo de Gauss $\pi$ divide exatamente um número primo $p$ (considere $N(\pi) = \pi\bar\pi$ ) e que, então, $N(\pi) \in \{p, p^2\}$ .
Deduza a dicotomia: para cada primo $p$ , ou $p$ permanece primo em $\Z[\iu]$ (e não existe primo de Gauss de norma $p$ ), ou $p = \pi\bar\pi$ com $\pi$ um primo de Gauss de norma $p$ — e então $p = a^2 + b^2$ .

Parte II — Teorema de Wilson e $-1$ módulo $p$ .

Demonstre o teorema de Wilson: para $p$ primo, $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ . (Emparelhe cada resto com seu inverso; quais são os que se emparelham consigo mesmos?)
Sejam $p$ um primo ímpar e $m = \frac{p-1}2$ . Mostre que $(m!)^2 \equiv (-1)^{m+1} \pmod p$ (em $(p-1)!$ , substitua cada fator $k > m$ por $-(p - k)$ ).
Conclua: $-1$ é um quadrado módulo $p$ se, e somente se, $p = 2$ ou $p \equiv 1 \pmod 4$ . (Para o “somente se”: se $x^2 \equiv -1$ , qual é a ordem de $x$ em $(\Z/p\Z)^\times$ , e o que diz Lagrange?)

Parte III — A lei de decomposição.

Sejam $p \equiv 1 \pmod 4$ e $x$ com $p \mid x^2 + 1 = (x + \iu)(x - \iu)$ . Mostre que $p$ não é um primo de Gauss e conclua, com a Parte I: $p = a^2 + b^2$ .
Seja $p \equiv 3 \pmod 4$ . Mostre diretamente que $p$ não é uma soma de dois quadrados (quadrados módulo $4$ ) e deduza que $p$ permanece um primo de Gauss.
Resolva o caso $p = 2$ : exiba a fatoração $2 = -\iu(1+\iu)^2$ e verifique que $1 + \iu$ é um primo de Gauss. ( $2$ é o único primo ramificado: divisível pelo quadrado de um primo de Gauss a menos de uma unidade.)
Monte a classificação dos primos de Gauss, a menos de unidades: $1 + \iu$ ; os inteiros $p \equiv 3 \pmod 4$ ; os pares conjugados $\pi, \bar\pi$ de norma $p \equiv 1 \pmod 4$ . Verifique-a em $5 = (2+\iu)(2-\iu)$ e em $3$ .

Parte IV — O teorema dos dois quadrados.

Demonstre a metade direta: se, na fatoração $n = \prod p_i^{\alpha_i}$ , todo primo $\equiv 3 \pmod 4$ aparece com expoente par, então $n$ é uma soma de dois quadrados. (Brahmagupta + Partes II–III.)
Demonstre a recíproca: se $n = a^2 + b^2 = N(a + \iu b)$ e $q \equiv 3 \pmod 4$ divide $n$ , mostre que $q$ , primo de Gauss, divide $a + \iu b$ ou $a - \iu b$ , que ele de fato divide tanto $a$ quanto $b$ , e conclua por indução sobre $n$ que o expoente de $q$ em $n$ é par.
Enuncie o teorema final. Quais dentre $2025$ , $2026$ , $2027$ são somas de dois quadrados? ( $2025 = 81 \cdot 25$ ; $2026 = 2 \cdot 1013$ , com $1013$ primo; $2027$ primo.)
(Epílogo) Mostre que um primo $p \equiv 1 \pmod 4$ é uma soma de dois quadrados de maneira essencialmente única: se $p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2$ (inteiros positivos), então $\{a, b\} = \{c, d\}$ . (Unicidade da fatoração em $\Z[\iu]$ .)

Parte V — Contando representações: a fórmula de Jacobi e a série de Leibniz. Escreva $r_2(n) = \#\{(a, b) \in \Z^2 : a^2 + b^2 = n\}$ (pares ordenados, sinais e zeros incluídos) e seja $\chi$ o caractere não trivial módulo $4$ : $\chi(d) = +1$ se $d \equiv 1$ , $-1$ se $d \equiv 3 \pmod4$ , $0$ se $d$ é par.

(Aquecimento, por contraste) Quais inteiros são diferenças de dois quadrados? Mostre: $n = a^2 - b^2$ com $a, b \in \Z$ se, e somente se, $n \not\equiv 2 \pmod 4$ — sem nenhuma teoria de anéis e sem estrutura comparável à que segue.
Mostre que $r_2(n)$ é o número de $z \in \Z[\iu]$ com $N(z) = n$ . Escrevendo $n = 2^{a}\prod_jp_j^{b_j} \prod_kq_k^{c_k}$ com $p_j \equiv 1$ , $q_k \equiv 3 \pmod4$ , use a classificação da questão 11 e a fatoração única para mostrar: tais $z$ existem se, e somente se, todos os $c_k$ são pares e, nesse caso,

$r_2(n) = 4\prod_j\,(b_j + 1) .$

(Conte: $z = u\,(1+\iu)^{a}\prod_j\pi_j^{s_j} \bar\pi_j^{\,b_j - s_j}\prod_kq_k^{c_k/2}$ com $u$ unidade e $0 \leq s_j \leq b_j$ ; por que essa lista é exaustiva e sem repetições?)
Mostre que $d \mapsto \chi(d)$ é completamente multiplicativa, deduza que $n \mapsto \sum_{d \mid n}\chi(d)$ é multiplicativa e calcule-a nas potências de primos: ela vale $1$ em $2^a$ ; $b + 1$ em $p^b$ ( $p \equiv 1$ ); $1$ ou $0$ em $q^c$ ( $q \equiv 3$ ), conforme $c$ seja par ou ímpar.
Conclua o teorema de Jacobi:

$r_2(n) = 4\sum_{d \mid n}\chi(d) = 4\bigl(d_1(n) - d_3(n)\bigr),$

onde $d_i(n)$ conta os divisores $\equiv i \pmod 4$ . Verifique em $n = 3, 5, 9, 25$ e liste as $16$ representações de $65$ .
(O círculo) Mostre que $\sum_{n \leq x}r_2(n)$ é o número de pontos do reticulado $\Z^2$ no disco fechado de raio $\sqrt x$ , e demonstre

$\sum_{n\leq x}r_2(n) = \pi x + O(\sqrt x)$

(cada ponto do reticulado é dono de um quadrado unitário; compare áreas, com o erro vivendo em um anel de largura $O(1)$ ).
(Leibniz, lido aritmeticamente) Combine as questões 19–20:

$\sum_{d \leq x}\chi(d)\Bigl\lfloor\frac xd\Bigr\rfloor = \frac{\pi x}4 + O(\sqrt x),$

e deduza — removendo as partes inteiras com cuidado — a série de Leibniz

$1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \dots = \frac\pi4 .$

A série alternada dos inversos ímpares é o excesso médio dos divisores $\equiv 1$ sobre os divisores $\equiv 3$ : a análise calculada pela aritmética.
(Quão raras são as somas de dois quadrados?) Mostre que nenhum inteiro $\equiv 3 \pmod 4$ é soma de dois quadrados (de duas maneiras: quadrados módulo $4$ , ou o critério de paridade da questão 17), de modo que ao menos um quarto de todos os inteiros fica de fora; e mostre que a média $\frac1x\sum_{n\leq x}r_2(n) \to \pi$ da questão 20 é compatível com o fato de os inteiros representáveis terem densidade $0$ — exiba inteiros com um número anormalmente grande de representações (tome produtos de muitos primos $\equiv 1 \bmod 4$ ) para explicar como uma proporção que tende a zero ainda pode sustentar uma média positiva. (Landau demonstrou que a densidade verdadeira decai como $1/\sqrt{\log x}$ ; isso está além de nossas ferramentas, mas o mecanismo já se tornou visível.)

Parte VI — Complementos: representações primitivas e Pitágoras.

Diga que uma representação $n = a^2 + b^2$ é primitiva se $\gcd(a, b) = 1$ . Mostre que $n \geq 1$ admite uma representação primitiva se, e somente se, $4 \nmid n$ e nenhum primo $q \equiv 3 \pmod 4$ divide $n$ . (Para a necessidade, reutilize a descida da questão 13 e os quadrados módulo $4$ ; para a suficiência, construa $z$ a partir de $1 + \iu$ e dos $\pi_j$ apenas — sem conjugados — e explique por que um fator primo comum a $a$ e $b$ forçaria $\pi_j$ e $\bar\pi_j$ , ou $(1+\iu)^2$ , a entrarem ambos em $z$ .)
(Ternos pitagóricos) Sejam $a^2 + b^2 = c^2$ com $a, b, c$ positivos, $\gcd(a, b) = 1$ e $b$ par. Mostre que $a + \iu b$ e $a - \iu b$ são coprimos em $\Z[\iu]$ (um divisor primo de Gauss comum dividiria $2a$ e $2b$ , e $c$ é ímpar), deduza da fatoração única que $a + \iu b = u(m + \iu n)^2$ para uma unidade $u$ , e conclua a parametrização clássica: a menos de trocar $a$ e $b$ ,

$a = m^2 - n^2, \qquad b = 2mn, \qquad c = m^2 + n^2,$

com $m > n \geq 1$ coprimos de paridades opostas. Recupere $(3, 4, 5)$ e $(21, 20, 29)$ a partir de $(m, n) = (2, 1)$ e de $(5, 2)$ .
(Verificação numérica) Tome $x = 25$ . Calcule $r_2(n)$ para $1 \leq n \leq 25$ pela fórmula de Jacobi, verifique que os valores não nulos ocorrem exatamente em $n = 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25$ , e que

$\sum_{n \leq 25} r_2(n) = 80 = 4\sum_{d \leq 25}\chi(d) \Bigl\lfloor\frac{25}d\Bigr\rfloor .$

Verifique que o disco fechado de raio $5$ contém $81$ pontos do reticulado e compare com $\pi x \approx 78.5$ : o erro está bem dentro do $O(\sqrt x)$ da questão 20.

Solução

Solução de Problema 2.1.

1. $N(z) = z\bar z$ , de modo que $N(zw) = zw\overline{zw} = z\bar z\, w \bar w = N(z)N(w)$ . Se $uv = 1$ : $N(u)N(v) = 1$ em $\N$ , logo $N(u) = 1$ , isto é, $u \in \{\pm 1, \pm \iu\}$ ; os quatro são unidades. Brahmagupta: $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = N\bigl((a + \iu b)(c + \iu d)\bigr) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2$ .

2. Se $z = ab$ , então $N(z) = N(a)N(b)$ é primo, de modo que $N(a) = 1$ ou $N(b) = 1$ : um dos fatores é unidade. Como $N(z) > 1$ , $z$ não é nulo nem unidade: irredutível — e primo, pois $\Z[\iu]$ é um DFU (Teorema 2.14, Teorema 2.18 e Lema 2.17).

3. $\pi$ divide $N(\pi) = \pi\bar\pi \geq 2$ , um inteiro; fatorando $N(\pi)$ em números primos e usando que $\pi$ é primo, $\pi \mid p$ para algum número primo $p$ . Se também $\pi \mid q \neq p$ : Bézout em $\Z$ dá $1 = up + vq$ , de modo que $\pi \mid 1$ — absurdo: $p$ é único. De $p = \pi\gamma$ : $p^2 = N(p) = N(\pi)N(\gamma)$ com $N(\pi) \neq 1$ , logo $N(\pi) \in \{p, p^2\}$ .

4. Seja $\pi$ um primo de Gauss que divide $p$ , $p = \pi\gamma$ . Se $N(\pi) = p^2$ : $N(\gamma) = 1$ , de modo que $p$ é associado a $\pi$ , ele próprio um primo de Gauss; e nenhum primo de Gauss tem norma $p$ (se $N(\rho) = p$ , então $\rho \mid \rho\bar\rho = p$ , e $p$ primo em $\Z[\iu]$ forçaria $\rho$ associado a $p$ , dando $N(\rho) = N(p) = p^2 \neq p$ ). Se $N(\pi) = p$ : escrevendo $\pi = a + \iu b$ , $p = \pi\bar\pi = a^2 + b^2$ .

5. No grupo abeliano $(\Z/p\Z)^\times$ , emparelhe cada elemento com seu inverso. Os elementos que são seu próprio inverso são as raízes de $X^2 - 1$ : exatamente $\pm 1$ (no máximo duas raízes em um corpo). O produto de todos os elementos é então $1 \cdot (-1) \cdot \prod (\text{pares } k k^{-1}) = -1$ : $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ . (Para $p = 2$ : $1! \equiv -1$ .)

6. Escreva $(p-1)! = \prod_{k=1}^m k \cdot \prod_{k=m+1}^{p-1}k$ com $m = \frac{p-1}2$ . No segundo produto, substitua $k = p - j$ , $j = 1, \dots, m$ : módulo $p$ , $\prod_{j=1}^m (p - j) \equiv (-1)^m m!$ . Logo $-1 \equiv (-1)^m (m!)^2$ , isto é, $(m!)^2 \equiv (-1)^{m+1} \pmod p$ .

7. Se $p \equiv 1 \pmod 4$ , $m$ é par e a questão 6 dá $(m!)^2 \equiv -1$ : uma raiz quadrada de $-1$ . Reciprocamente, se $x^2 \equiv -1 \pmod p$ (com $p$ ímpar), então $x^4 = 1 \neq x^2$ : $x$ tem ordem $4$ em $(\Z/p\Z)^\times$ , de modo que $4 \mid p - 1$ (Lagrange). E $p = 2$ : $1^2 = 1 \equiv -1$ . Conclusão: $-1$ é quadrado módulo $p$ se, e somente se, $p = 2$ ou $p \equiv 1 \pmod 4$ .

8. Com $x^2 \equiv -1$ : $p \mid x^2 + 1 = (x + \iu)(x - \iu)$ . Se $p$ fosse um primo de Gauss, dividiria um dos fatores; mas $\frac xp \pm \frac \iu p \notin \Z[\iu]$ . Logo $p$ não é primo de Gauss; pela dicotomia (questão 4) — $p$ não primo significa o segundo ramo — $p = a^2 + b^2$ .

9. Os quadrados são $\equiv 0$ ou $1 \pmod 4$ , de modo que $a^2 + b^2 \in \{0, 1, 2\} \pmod 4$ : um primo $p \equiv 3 \pmod 4$ não é soma de dois quadrados. Pela questão 4, o ramo $N(\pi) = p$ ( $p = a^2+b^2$ ) é impossível: $p$ permanece primo de Gauss.

10. $(1 + \iu)^2 = 2\iu$ , de modo que $2 = -\iu(1 + \iu)^2$ ; e $N(1 + \iu) = 2$ é primo, de modo que $1 + \iu$ é um primo de Gauss (questão 2).

11. Todo primo de Gauss divide exatamente um número primo $p$ (questão 3); listando por casos: $p = 2$ dá os associados de $1 + \iu$ ; $p \equiv 3 \pmod 4$ dá o próprio $p$ (questão 9); $p \equiv 1 \pmod 4$ dá o par $\pi, \bar\pi$ de norma $p$ (questões 4 e 8). O par é genuíno: $\bar\pi \in \{\pm\pi, \pm\iu\pi\}$ forçaria, escrevendo $\pi = a + \iu b$ , ou $b = 0$ , ou $a = 0$ , ou $a = \pm b$ , dando $p = a^2 + b^2 \in \{a^2, 2a^2\}$ — impossível para um primo ímpar. Confira: $5 = (2 + \iu)(2 - \iu)$ , $N(2\pm\iu) = 5$ ; $3$ : primo de norma $9$ .

12. Escreva $n = 2^{\alpha}\prod_i p_i^{\beta_i} \prod_j q_j^{2\gamma_j}$ com $p_i \equiv 1$ , $q_j \equiv 3 \pmod 4$ . Cada fator é soma de dois quadrados: $2 = 1^2 + 1^2$ ; $p_i = a^2 + b^2$ (questão 8); $q_j^{2\gamma_j} = (q_j^{\gamma_j})^2 + 0^2$ . A identidade de Brahmagupta (questão 1) propaga a propriedade ao produto $n$ .

13. Sejam $n = a^2 + b^2 = N(a + \iu b)$ e $q \equiv 3 \pmod 4$ , $q \mid n$ . O primo de Gauss $q$ (questão 9) divide $(a + \iu b)(a - \iu b)$ , logo um dos dois fatores — digamos $q \mid a + \iu b$ (o outro caso é idêntico). Mas então $\frac{a + \iu b}{q} = \frac aq + \iu \frac bq \in \Z[\iu]$ se lê como $q \mid a$ e $q \mid b$ em $\Z$ . Logo $q^2 \mid n$ e $\frac n{q^2} = \bigl(\frac aq\bigr)^2 + \bigl(\frac bq\bigr)^2$ . Por indução forte sobre $n$ , o expoente de $q$ em $n/q^2$ é par; o de $n$ também é.

14. Teorema (Fermat). Um inteiro positivo é soma de dois quadrados se, e somente se, todo primo $\equiv 3 \pmod 4$ nele ocorre com expoente par. — $2025 = 3^4 \cdot 5^2$ : expoente de $3$ par, sim ( $2025 = 45^2 + 0^2 = 27^2 + 36^2$ ). $2026 = 2 \cdot 1013$ com $1013 \equiv 1 \pmod 4$ primo: sim ( $1013 = 22^2 + 23^2$ , e Brahmagupta com $2 = 1^2+1^2$ : $2026 = (22 - 23)^2 + (22 + 23)^2 = 1^2 + 45^2$ ). $2027$ é um primo $\equiv 3 \pmod 4$ : não.

15. Sejam $p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2$ com inteiros positivos, $p \equiv 1 \pmod 4$ , e $\pi$ um primo de Gauss com $p = \pi\bar\pi$ (questão 4). Tanto $a + \iu b$ quanto $c + \iu d$ têm norma $p$ , logo são primos de Gauss (questão 2) que dividem $p = (a+\iu b)(a - \iu b)$ ; pela unicidade da fatoração, $c + \iu d$ é associado a $a + \iu b$ ou a $a - \iu b$ :

c + \iu d \in \{\pm(a \pm \iu b),\ \pm\iu(a \pm \iu b)\} = \{\pm a \pm \iu b,\ \pm b \pm \iu a\}.

A positividade de $c, d$ deixa $c + \iu d \in \{a + \iu b, b + \iu a\}$ : $\{c, d\} = \{a, b\}$ .

16. Se $n = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ : os dois fatores têm a mesma paridade, de modo que $n$ é ímpar (ambos ímpares) ou divisível por $4$ (ambos pares) — nunca $\equiv 2 \pmod 4$ . Reciprocamente, $n$ ímpar: $n = \bigl(\frac{n+1}2\bigr)^2 - \bigl(\frac{n-1}2\bigr)^2$ ; $n = 4m$ : $n = (m+1)^2 - (m-1)^2$ . A resposta é uma condição de congruência nua, com uma identidade de uma linha por trás: as diferenças de quadrados não carregam profundidade aritmética, e o contraste com as somas é todo o ponto deste problema.

17. $(a, b) \mapsto z = a + \iu b$ é uma bijeção entre as representações e $\{z : N(z) = n\}$ . Fatore $z$ no DFU $\Z[\iu]$ usando a classificação (questão 11): a menos de uma unidade, $z = (1+\iu)^{a'}\prod_j\pi_j^{s_j}\bar\pi_j^{t_j} \prod_kq_k^{u_k}$ e, tomando normas ( $N(1+\iu) = 2$ , $N(\pi_j) = N(\bar\pi_j) = p_j$ , $N(q_k) = q_k^2$ ):

n = 2^{a'}\prod_jp_j^{s_j + t_j}\prod_kq_k^{2u_k} .

Igualando expoentes: $a' = a$ , $s_j + t_j = b_j$ , $2u_k = c_k$ — solúvel se, e somente se, todo $c_k$ é par, e então $u_k = c_k/2$ fica forçado, ao passo que $s_j \in \intint0{b_j}$ fica livre. Dados distintos $(u, (s_j))$ dão $z$ não associados de mesma norma; a unidade $u \in \{\pm1, \pm\iu\}$ (4 escolhas) enumera então cada classe de associados sem repetição (dois produtos iguais violariam a unicidade da fatoração — $\pi_j$ e $\bar\pi_j$ não são associados, pois $p_j = \pi_j\bar\pi_j$ não é ramificado). Total: $r_2(n) = 4\prod_j(b_j + 1)$ , e $0$ se algum $c_k$ é ímpar.

18. $\chi(dd') = \chi(d)\chi(d')$ se verifica módulo $4$ (ímpar $\times$ ímpar cobre os quatro casos de sinal; qualquer par dá $0 = 0$ ). Para $m, n$ coprimos, os divisores de $mn$ se escrevem de maneira única como $d = d_1d_2$ com $d_1 \mid m$ , $d_2 \mid n$ : $\sum_{d \mid mn}\chi(d) = \bigl(\sum_{d_1\mid m}\chi(d_1)\bigr)\bigl(\sum_{d_2\mid n}\chi(d_2)\bigr)$ : é multiplicativa. Potências de primos: em $2^a$ , só $d = 1$ é ímpar: soma $= 1$ . Em $p^b$ com $p \equiv 1$ : todos $\chi(p^i) = 1$ , soma $= b + 1$ . Em $q^c$ com $q \equiv 3$ : $\chi(q^i) = (-1)^i$ , soma alternada $= 1$ ( $c$ par) ou $0$ ( $c$ ímpar).

19. As duas funções multiplicativas $\frac14r_2$ (questão 17) e $\sum_{d\mid n}\chi(d)$ (questão 18) coincidem em todas as potências de primos — $1$ em $2^a$ ; $b + 1$ em $p^b$ ; $\mathbf 1_{c\ \mathrm{par}}$ em $q^c$ —, logo coincidem em toda parte: eis a fórmula de Jacobi, com $\sum_{d\mid n}\chi(d) = d_1(n) - d_3(n)$ ao classificar os divisores. Verificações: $r_2(3) = 0 = 4(1 - 1)$ ; $r_2(5) = 8 = 4(2 - 0)$ ( $(\pm1,\pm2), (\pm2,\pm1)$ ); $r_2(9) = 4 = 4(2 - 1)$ (divisores $1, 9 \equiv 1$ ; $3 \equiv 3$ ; representações $(\pm3, 0), (0, \pm3)$ ); $r_2(25) = 12 = 4(3 - 0)$ . Para $65 = 5\cdot13$ : $r_2 = 4\cdot2\cdot2 = 16$ , a partir de $65 = 1 + 64 = 16 + 49$ : os dezesseis pares $(\pm1, \pm8), (\pm8, \pm1), (\pm4, \pm7), (\pm7, \pm4)$ .

20. $\sum_{n \leq x}r_2(n)$ conta os pares $(a, b)$ com $0 < a^2 + b^2 \leq x$ , isto é, os pontos do reticulado no disco fechado $D_{\sqrt x}$ menos a origem. Atribua a cada ponto do reticulado $P$ o quadrado unitário $P + \intco01^2$ : esses quadrados ladrilham o plano. Todo quadrado associado a um ponto de $D_{\sqrt x}$ está em $D_{\sqrt x + \sqrt2}$ , e todo quadrado que encontra $D_{\sqrt x - \sqrt 2}$ está associado a um ponto de $D_{\sqrt x}$ (o quadrado tem diâmetro $\sqrt 2$ ): comparando áreas,

\pi(\sqrt x - \sqrt2)^2 \leq \#\{\text{pontos do reticulado em } D_{\sqrt x}\} \leq \pi(\sqrt x + \sqrt 2)^2,

e ambas as cotas são $\pi x + O(\sqrt x)$ . Subtrair a origem nada muda nessa precisão.

21. Por Jacobi (questão 19) e trocando a ordem de soma ( $n = dm$ ):

\frac14\sum_{n\leq x}r_2(n) = \sum_{n \leq x}\sum_{d \mid n}\chi(d) = \sum_{d \leq x}\chi(d)\,\#\{m : dm \leq x\} = \sum_{d\leq x}\chi(d)\Bigl\lfloor\frac xd\Bigr\rfloor,

que é $\frac{\pi x}4 + O(\sqrt x)$ pela questão 20. Retire as partes inteiras: $\lfloor x/d\rfloor = x/d + O(1)$ , mas somar $O(1)$ em $d \leq x$ é grosseiro demais; use, em vez disso, que as somas parciais de $\chi$ são limitadas ( $0, 1, 1, 0$ ciclicamente), de modo que, por soma de Abel, $\sum_{d\leq x}\chi(d)\{x/d\}$ , cujos termos agrupamos aos pares $d \equiv 1, 3$ , é $O(\sqrt x)$ — alternativa e mais simplesmente: separe em $\sqrt x$ . Para $d \leq \sqrt x$ , substitua $\lfloor x/d\rfloor$ por $x/d + O(1)$ : erro $O(\sqrt x)$ . Para $d > \sqrt x$ , $\lfloor x/d\rfloor$ assume cada valor $v < \sqrt x$ em um intervalo de $d$ consecutivos, no qual a soma de $\chi$ é $O(1)$ : erro total $O(\sqrt x)$ somando sobre os $\leq \sqrt x$ valores de $v$ , ao passo que $\sum_{d > \sqrt x}\chi(d)\frac xd = O(\sqrt x)$ por caudas de série alternada ( $x\sum_{d>\sqrt x}\chi(d)/d = x\,O(1/\sqrt x)$ ). Logo

x\sum_{d \leq x}\frac{\chi(d)}d = \frac{\pi x}4 + O(\sqrt x), \qquad\text{isto é}\qquad \sum_{d\leq x}\frac{\chi(d)}d = \frac\pi4 + O\Bigl(\frac1{\sqrt x}\Bigr),

e, fazendo $x \to \infty$ : $1 - \frac13 + \frac15 - \dots = \frac\pi4$ .

22. Se $n \equiv 3 \pmod4$ fosse $a^2 + b^2$ : os quadrados são $\equiv 0, 1 \pmod 4$ , e $a^2 + b^2 \in \{0, 1, 2\}$ módulo $4$ — impossível. (O critério da questão 17 diz o mesmo: $n \equiv 3 \pmod 4$ força algum primo $\equiv 3$ a expoente ímpar.) Logo os inteiros representáveis evitam uma classe de resto inteira: densidade $\leq \frac34$ . A média $\pi$ de $r_2$ se concentra em poucos inteiros: $n = \prod_{j\leq k}p_j$ (primos distintos $\equiv 1 \bmod 4$ ) tem $r_2(n) = 4\cdot2^k$ representações — ilimitadamente muitas —, de modo que um conjunto esparso de $n$ pode carregar toda a média, exatamente como o prêmio médio de uma loteria coexiste com a perda quase certa. O $\#\{n \leq x \text{ representável}\} \sim Cx/\sqrt{\log x}$ de Landau o confirma: densidade $0$ , média $\pi$ .

23. Necessidade. Seja $n = a^2 + b^2$ com $\gcd(a, b) = 1$ . Se um primo $q \equiv 3 \pmod 4$ dividisse $n$ , a questão 13 mostraria $q \mid a$ e $q \mid b$ : contradição. Se $4 \mid n$ : os quadrados são $\equiv 0, 1 \pmod 4$ , de modo que $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod 4$ força $a^2 \equiv b^2 \equiv 0$ , isto é, $a, b$ ambos pares: contradição. Suficiência. Escreva $n = 2^{\alpha}\prod_jp_j^{b_j}$ com $\alpha \leq 1$ e $p_j \equiv 1 \pmod 4$ , e ponha $z = (1+\iu)^{\alpha}\prod_j \pi_j^{b_j} = a + \iu b$ , de norma $n$ . Suponha que um primo $t$ divida $\gcd(a, b)$ ; então $t \mid z$ em $\Z[\iu]$ . Se $t \equiv 3 \pmod 4$ : $t \mid N(z) = n$ , excluído. Se $t \equiv 1 \pmod 4$ : $t = \pi_t\bar\pi_t$ , de modo que $\bar\pi_t \mid z$ ; mas a fatoração de $z$ não contém primo conjugado algum ( $\pi_j$ e $\bar\pi_j$ não são associados, questão 17), contradizendo a unicidade da fatoração. Se $t = 2 = -\iu(1+\iu)^2$ : então $(1+\iu)^2 \mid z$ , forçando $\alpha \geq 2$ , excluído. Logo $\gcd(a, b) = 1$ : a representação é primitiva.

24. $a$ é ímpar ( $\gcd(a, b) = 1$ , $b$ par), de modo que $c^2 = a^2 + b^2$ é ímpar e $c$ é ímpar. Seja $\delta$ um divisor primo de Gauss comum a $a + \iu b$ e a $a - \iu b$ : ele divide a soma $2a$ e a diferença $2\iu b$ , logo $2a$ e $2b$ ; uma relação de Bézout $ua + vb = 1$ dá então $\delta \mid 2$ , de modo que $\delta$ é associado a $1 + \iu$ e $N(\delta) = 2$ divide $N(a + \iu b) = c^2$ , que é ímpar: contradição. Logo $a + \iu b$ e $a - \iu b$ são coprimos, com produto $c^2$ ; no DFU $\Z[\iu]$ , cada primo de Gauss de $c^2$ ocorre com expoente par e se aloja inteiramente em um dos dois fatores coprimos, donde $a + \iu b = u(m + \iu n)^2 = u\bigl(m^2 - n^2 + 2\iu mn\bigr)$ com $u$ unidade. As escolhas $u = \pm\iu$ tornam a parte real $\mp 2mn$ par — impossível, pois $a$ é ímpar. As escolhas $u = \pm1$ dão, após ajustar os sinais de $m, n$ e trocar seus nomes para que tudo fique positivo, $a = m^2 - n^2$ , $b = 2mn$ com $m > n \geq 1$ ; e $c^2 = N(m + \iu n)^2$ dá $c = m^2 + n^2$ . Um divisor comum de $m$ e $n$ dividiria $a$ e $b$ : $\gcd (m, n) = 1$ ; e $m \equiv n \pmod 2$ tornaria $a$ par: paridades opostas. Verificações: $(m, n) = (2, 1)$ dá $(3, 4, 5)$ ; $(m, n) = (5, 2)$ dá $(25 - 4, 20, 25 + 4) = (21, 20, 29)$ , e $441 + 400 = 841 = 29^2$ .

25. A fórmula de Jacobi $r_2(n) = 4(d_1(n) - d_3(n))$ dá, para $n = 1, \dots, 25$ :

4,\ 4,\ 0,\ 4,\ 8,\ 0,\ 0,\ 4,\ 4,\ 8,\ 0,\ 0,\ 8,\ 0,\ 0,\ 4,\ 8,\ 4,\ 0,\ 8,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 12,

não nula exatamente em $n = 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25$ (por exemplo, $r_2(15) = 0$ : os divisores $1, 5 \equiv 1$ e $3, 15 \equiv 3$ se equilibram; $r_2(20) = 8$ : divisores $1, 5 \equiv 1$ , nenhum $\equiv 3$ ). O total é $4 + 4 + 4 + 8 + 4 + 4 + 8 + 8 + 4 + 8 + 4 + 8 + 12 = 80$ . Do lado dos divisores: os $d \leq 25$ ímpares contribuem com

25 - 8 + 5 - 3 + 2 - 2 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 20,

lendo $\chi(d)\lfloor 25/d\rfloor$ para $d = 1, 3, 5, \dots, 25$ ; e $4 \cdot 20 = 80$ , como prevê a identidade da questão 21. Pontos do reticulado no disco fechado de raio $5$ : os $80$ pontos com $1 \leq a^2 + b^2 \leq 25$ mais a origem, isto é, $81$ ; e $\pi x = 25\pi \approx 78.54$ , um erro de cerca de $2.46$ , confortavelmente dentro da faixa $O(\sqrt x)$ da questão 20 ( $\sqrt x = 5$ ).