O que é elementos associados?

Exemplo 2.20 (Um anel sem fatoração única)

Nenhuma das implicações euclidiano $\Rightarrow$ DIP $\Rightarrow$ DFU é uma equivalência, e vale a pena ver ao menos uma vez, em detalhe completo, como a última falha. Em

a norma é multiplicativa e $N(z) = 1$ se, e somente se, $z \in A^\times = \{\pm1\}$. Considere

Os quatro fatores são irredutíveis: suas normas são $4, 9, 6, 6$, e uma fatoração própria $z = z_1z_2$ forçaria $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — mas $a^2 + 5b^2$ nunca vale $2$ nem $3$ ($b = 0$ deixa os não quadrados $2, 3$; $\abs b \geq 1$ dá $\geq 5$). E, no entanto, $2$ não é associado a nenhum dos $1 \pm \iu\sqrt5$ (normas $4 \neq 6$): duas fatorações genuinamente distintas de $6$ em irredutíveis. De maneira equivalente, aqui irredutível $\neq$ primo: $2$ divide o produto $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ mas não divide nenhum dos fatores (normas, de novo). O reparo desse fracasso pela via dos ideais — fatorar ideais em vez de elementos — é a certidão de nascimento da teoria algébrica dos números; em nosso nível, o exemplo calibra o quanto são especiais os anéis euclidianos $\Z$, $K[X]$ e $\Z[\iu]$ deste capítulo.

Exemplo 2.26

$X^n - p$ é irredutível sobre $\Q$ para todo primo $p$ e todo $n \geq 1$ (Eisenstein em $p$): há polinômios irredutíveis de todos os graus sobre $\Q$ — em contraste flagrante com $\C$ (grau $1$, d’Alembert–Gauss, demonstrado no Capítulo 16) e com $\R$ (graus $1, 2$). O truque da translação amplia o alcance de Eisenstein: o polinômio ciclotômico de índice $p$, $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$, satisfaz

que é de Eisenstein em $p$ ($p \mid \binom pk$ para $0 < k < p$, e $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$): logo $\Phi_p(X+1)$ e, com ele, $\Phi_p$ são irredutíveis sobre $\Q$. Esse é o coração algébrico da história do $17$-ágono contada no Capítulo 4.