Matemática universitária — Graduação 1 · Licence 1

3Números Complexos

Os números complexos foram encontrados no volume do ensino médio como um recurso de cálculo para equações do segundo grau. Este capítulo os trata como objeto central: a forma exponencial e suas consequências (De Moivre, raízes $n$ -ésimas, raízes da unidade), a tradução sistemática entre $\C$ e a geometria plana, e o uso de $\eu^{\iu\theta}$ como uma máquina para demonstrar identidades trigonométricas.

3.1 O corpo $\C$ , módulo e conjugado

Definição 3.1 (O corpo dos complexos)

$\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\}$ com a adição usual e a multiplicação determinada por $\iu^2 = -1$ . Todo $z = a + \iu b$ não nulo tem um inverso: $z^{-1} = \frac{a - \iu b}{a^2 + b^2}$ — na linguagem do Capítulo 7, $\C$ é um corpo. Escreve-se $a = \Re(z)$ , $b = \Im(z)$ , $\conj{z} = a - \iu b$ (o conjugado) e $\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (o módulo).

Proposição 3.2 (Regras do conjugado e do módulo)

Para $z, w \in \C$ :

$\conj{z + w} = \conj z + \conj w$ , $\conj{zw} = \conj z\, \conj w$ , $\conj{\conj z} = z$ ;
$z \conj z = \abs z^2$ ; $\;\Re(z) = \frac{z + \conj z}{2}$ , $\Im(z) = \frac{z - \conj z}{2\iu}$ ;
$\abs{zw} = \abs z\, \abs w$ , e $\abs{z^{-1}} = \abs{z}^{-1}$ para $z \neq 0$ ;
(desigualdade triangular) $\abs{z + w} \leq \abs z + \abs w$ , com igualdade se, e somente se, $z$ e $w$ estão numa mesma semirreta com origem em $0$ ( $w = \lambda z$ ou $z = \lambda w$ com $\lambda \geq 0$ );
(desigualdade triangular inversa) $\bigl|\abs z - \abs w\bigr| \leq \abs{z - w}$ .

Demonstração. (1) e (2) são cálculos diretos sobre as partes real e imaginária. (3): $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ , e depois extraia raízes quadradas; aplique a $z \cdot z^{-1} = 1$ para o inverso.

(4) Os dois lados são não negativos; compare então os quadrados:

\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\,\Re(z \conj w),

e $\Re(z\conj w) \leq \abs{z \conj w} = \abs z \abs w$ dá $\abs{z+w}^2 \leq (\abs z + \abs w)^2$ . A igualdade força $\Re(z \conj w) = \abs{z \conj w}$ , isto é, $z \conj w \in \R_+$ ; se $w \neq 0$ , isso dá $z = \frac{z\conj w}{\abs w^2}\, w = \lambda w$ com $\lambda \geq 0$ (e o caso $w = 0$ é trivial).

(5) $\abs z = \abs{(z - w) + w} \leq \abs{z-w} + \abs w$ dá $\abs z - \abs w \leq \abs{z - w}$ ; troque $z$ e $w$ para o outro sinal. ∎

Exemplo 3.3 (Um exercício completo de módulo e argumento)

Ponha $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ na forma algébrica e calcule o seu módulo de duas maneiras. Multiplicando pelo conjugado do denominador:

w = \frac{(3 + 4\iu)(1 + 2\iu)}{(1 - 2\iu)(1 + 2\iu)} = \frac{3 + 6\iu + 4\iu - 8}{1 + 4} = \frac{-5 + 10\iu}{5} = -1 + 2\iu .

Diretamente: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$ . Pela regra do quociente (Proposição 3.2 (3)): $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — mesma resposta, sem precisar da forma algébrica. A lição se generaliza: módulos e argumentos viajam bem através de produtos e quocientes; partes reais e imaginárias viajam bem através de somas. Escolha a representação que corresponde às operações em jogo e converta apenas quando for obrigado.

Exemplo 3.4 (Equações que envolvem o conjugado)

Resolva em $\C$ : $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$ . Uma equação que mistura $z$ e $\conj z$ não é polinomial em $z$ ; a jogada segura é separar em coordenadas reais. Com $z = x + \iu y$ :

z + 2\conj z = 3x - \iu y ,

de modo que a equação diz que $3x = 6$ e $-y = 2$ : a única solução é $z = 2 - 2\iu$ . (Verificação: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$ .) Alternativamente, conjugue a equação inteira para obter $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ e resolva o sistema linear nas incógnitas $z, \conj z$ — mesma resposta, e um truque útil quando os coeficientes são complexos. Equações em $z$ e $\conj z$ são realmente sistemas de duas equações reais; esperar “grau $1$ , uma solução” é seguro aqui, mas $z\conj z = -1$ (sem solução) mostra a intuição polinomial falhando assim que aparecem produtos.

3.2 Forma exponencial

Definição 3.5 (Exponencial complexa de argumento imaginário)

Para $\theta \in \R$ define-se

\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu \sin\theta .

Todo $z \neq 0$ pode ser escrito como $z = r\,\eu^{\iu\theta}$ com $r = \abs z > 0$ ; $\theta$ é um argumento de $z$ , determinado a menos de um múltiplo de $2\pi$ . O valor em $\intoc{-\pi}{\pi}$ é o argumento principal, escrito $\arg z$ .

Exemplo 3.6 (Primeiros valores, e uma identidade famosa)

Lendo a definição nos ângulos cardeais:

\eu^{\iu\pi/2} = \iu, \qquad \eu^{\iu\pi} = -1, \qquad \eu^{2\iu\pi} = 1, \qquad \eu^{\iu\pi/4} = \frac{\sqrt2}2\,(1 + \iu) .

A segunda, reorganizada como $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$ , é a célebre identidade de Euler, que liga $\eu$ , $\iu$ , $\pi$ , $1$ e $0$ ; nesta altura do livro ela é uma definição sendo desenrolada, e não um teorema, e o seu verdadeiro conteúdo — por que a função exponencial analítica do Capítulo 4, estendida a argumentos imaginários, merece o mesmo nome — fica resolvido pelas séries de potências do Capítulo 17. Enquanto isso, vale memorizar o destaque acima como tabela de conversão: ele é usado silenciosamente sempre que um argumento é lido numa figura.

Teorema 3.7 (A equação funcional)

Para todos $\theta, \varphi \in \R$ :

\eu^{\iu\theta}\, \eu^{\iu\varphi} = \eu^{\iu(\theta + \varphi)}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta} = (\eu^{\iu\theta})^{-1}.

Consequentemente, $\abs{zw} = \abs z \abs w$ transporta também os argumentos: $\arg(zw) \equiv \arg z + \arg w \pmod{2\pi}$ .

Demonstração. Expanda o produto e use as fórmulas de adição:

(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\varphi + \iu\sin\varphi) = (\cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi) + \iu\,(\sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi),

que é $\cos(\theta+\varphi) + \iu\sin(\theta+\varphi)$ . O módulo é $\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1$ , e a fórmula do conjugado é a paridade do cosseno e do seno; ela inverte $\eu^{\iu\theta}$ , pois $\eu^{\iu\theta}\eu^{-\iu\theta} = \eu^0 = 1$ . ∎

Corolário 3.8 (Fórmula de De Moivre)

Para $\theta \in \R$ e $n \in \Z$ : $\;(\cos\theta + \iu\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + \iu\sin(n\theta)$ .

Demonstração. Para $n \geq 0$ , faça indução. O caso $n = 0$ diz $1 = 1$ . Supondo a fórmula para $n$ , a equação funcional (Teorema 3.7) dá

\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n+1} = \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu n\theta}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu(n+1)\theta} ,

que é a fórmula no posto $n + 1$ . Para $n < 0$ , escreva $n = -m$ com $m > 0$ : como $\eu^{\iu m\theta}$ tem inverso $\eu^{-\iu m\theta}$ (Teorema 3.7, novamente),

\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{-m} = \bigl(\eu^{\iu m\theta}\bigr)^{-1} = \eu^{\iu(-m)\theta} . \qedhere

∎

Exemplo 3.9 (Expandindo $\cos 3\theta$ por De Moivre)

Escreva $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ . De Moivre e o teorema binomial dão

\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta = (c + \iu s)^3 = c^3 - 3cs^2 + \iu\,(3c^2 s - s^3),

e, identificando as partes reais e substituindo depois $s^2 = 1 - c^2$ :

\cos 3\theta = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta .

A parte imaginária fornece $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ de graça: uma identidade complexa carrega sempre duas identidades reais. Lida ao contrário, a identidade em destaque é a chave da clássica equação da trissecção: construir $\cos(\theta/3)$ a partir de $\cos\theta$ significa resolver a cúbica $4x^3 - 3x = \cos\theta$ , e é aí que a álgebra do Capítulo 8 assume o comando.

Proposição 3.10 (Fórmulas de Euler)

\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}.

Demonstração. Some e, respectivamente, subtraia $\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta$ e $\eu^{-\iu\theta} = \cos\theta - \iu\sin\theta$ . ∎

Método 3.11 (Trigonometria via exponenciais)

Linearizar $\cos^p\theta \sin^q\theta$ (converter potências numa soma de $\cos k\theta$ , $\sin k\theta$ ): substitua as fórmulas de Euler, expanda com o teorema binomial (Teorema 2.16) e reagrupe os termos conjugados.
Expandir $\cos n\theta$ como polinômio em $\cos\theta$ : escreva $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr)$ , expanda e converta as potências pares de $\sin$ por $\sin^2 = 1 - \cos^2$ .
Somar séries trigonométricas como $\sum_k \cos k\theta$ : reconheça a parte real de uma soma geométrica $\sum_k (\eu^{\iu\theta})^k$ .
A fatoração do arco metade: para todos $p, q$ ,

$\eu^{\iu p} + \eu^{\iu q} = 2 \cos\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}}, \qquad \eu^{\iu p} - \eu^{\iu q} = 2\iu \sin\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}} .$

Exemplo 3.12 (Linearização)

\cos^3\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\Bigr)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}.

Essa forma se integra imediatamente — a razão exata pela qual a linearização importa no Capítulo 15. Um produto misto funciona do mesmo modo, apenas com as duas fórmulas de Euler ao mesmo tempo:

\sin^2\theta\cos^2\theta = \Bigl(\frac{\sin2\theta}2\Bigr)^{\!2} = \frac{1}{4}\cdot \Bigl(\frac{\eu^{2\iu\theta} - \eu^{-2\iu\theta}}{2\iu} \Bigr)^{\!2} = \frac{2 - \eu^{4\iu\theta} - \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{1 - \cos4\theta}{8} ,

em que o atalho do arco duplo, no primeiro passo, poupou uma expansão binomial — sempre vale procurar por ele antes de mecanizar.

Exemplo 3.13 (Uma soma trigonométrica binomial)

Para $n \in \N$ e $\theta \in \R$ , avalie $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$ . Reconheça a parte real de uma expansão binomial:

S = \Re\sum_{k=0}^n \binom nk \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^k = \Re\bigl(1 + \eu^{\iu\theta}\bigr)^n ,

e depois fatore o arco metade (Método 3.11 (4)): $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$ , de modo que

S = \Re\Bigl(2^n\cos^n\frac\theta2\;\eu^{\iu n\theta/2}\Bigr) = 2^n \cos^n\frac\theta2\,\cos\frac{n\theta}2 .

A parte imaginária fornece $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$ de graça. Verificações de sanidade: $\theta = 0$ recupera $\sum\binom nk = 2^n$ , e $\theta = \pi$ dá $S = 0$ para $n \geq 1$ (cada fator $\cos\frac\pi2$ se anula), isto é, a soma alternada de uma linha do Exemplo 2.17. O método — “ver a soma de cossenos como a sombra de uma potência complexa e depois fatorar arcos metade” — é exatamente o do Exercício 3.6, com o teorema binomial no lugar da série geométrica.

3.3 Raízes de números complexos

Teorema 3.14 (Raízes $n$ -ésimas)

Sejam $a = r\,\eu^{\iu\alpha} \neq 0$ e $n \in \N^*$ . A equação $z^n = a$ tem exatamente $n$ soluções:

z_k = r^{1/n}\, \eu^{\iu\left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1 .

Demonstração. Escreva $z = \rho\,\eu^{\iu\theta}$ ( $\rho > 0$ ). Então $z^n = \rho^n \eu^{\iu n\theta} = r \eu^{\iu\alpha}$ se, e somente se, $\rho^n = r$ (módulos) e $n\theta \equiv \alpha \pmod{2\pi}$ (argumentos), isto é, $\rho = r^{1/n}$ e $\theta = \frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}$ para algum $k \in \Z$ . Resta ver quando dois inteiros $k, k'$ dão o mesmo número: isso acontece exatamente quando os ângulos diferem por um múltiplo de $2\pi$ ,

\frac{2k\pi}n - \frac{2k'\pi}n \in 2\pi\Z \iff \frac{k - k'}n \in \Z \iff n \mid k - k' .

Pela divisão euclidiana, todo $k \in \Z$ é congruente módulo $n$ a exatamente um elemento de $\{0, 1, \dots, n-1\}$ , de modo que esse intervalo lista cada solução uma única vez e a contagem é exatamente $n$ . (O mesmo argumento, feito dentro de $\mathbb U_n$ , mostra que as raízes formam um $n$ -ágono regular: valores consecutivos de $k$ rodam pelo ângulo fixo $\frac{2\pi}n$ .) ∎

Exemplo 3.15 (Raízes cúbicas de $-27$ )

Resolva $z^3 = -27$ . Forma exponencial do lado direito: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$ , de modo que as três raízes são

z_k = 3\,\eu^{\iu(\frac\pi3 + \frac{2k\pi}3)}, \quad k = 0, 1, 2 : \qquad z_0 = 3\eu^{\iu\pi/3} = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2\,\iu, \quad z_1 = -3, \quad z_2 = \conj{z_0} .

Duas verificações. Primeiro, a raiz real $-3$ é a evidente, e as outras duas são suas rotações de $\pm\frac{2\pi}3$ — equivalentemente, $-3j$ e $-3j^2$ . Segundo, a álgebra confirma: $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$ , e a equação do segundo grau tem discriminante $9 - 36 = -27 < 0$ com raízes $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$ . A ideia: para lados direitos reais, as raízes não reais vêm sempre em pares conjugados, de modo que uma figura do conjunto solução é simétrica em relação ao eixo real — uma antecipação do teorema de fatoração real do Capítulo 8.

Exemplo 3.16 (Um lado direito não real)

Resolva $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$ . Forma exponencial do lado direito: módulo $\sqrt{64 + 192} = 16$ , argumento $\theta$ com $\cos\theta = -\frac12$ , $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$ , isto é, $\theta = \frac{2\pi}3$ . As quatro raízes são

z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,

z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .

(Verificação: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$ , logo $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$ .) Uma vez encontrada uma raiz, as outras três saem de graça: são as suas rotações sucessivas de $\frac\pi2$ , isto é, os seus produtos pelas raízes quartas da unidade — a estrutura geral por trás do Teorema 3.14, que vale explorar antes de recalcular cada raiz do zero. Desta vez não há simetria conjugada: o lado direito não é real.

Definição 3.17 (Raízes da unidade)

As raízes $n$ -ésimas da unidade são as soluções de $z^n = 1$ :

\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.

Elas formam um grupo com a multiplicação (Capítulo 7) e ocupam os vértices de um $n$ -ágono regular inscrito no círculo unitário.

As raízes quintas da unidade, = 2 π/5: um pentágono regular no círculo unitário. — As raízes quintas da unidade, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : um pentágono regular no círculo unitário.

Proposição 3.18 (Soma das raízes da unidade)

Para $n \geq 2$ , as raízes $n$ -ésimas da unidade somam zero: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 0$ .

Demonstração. Soma geométrica de razão $\omega \neq 1$ : $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0$ , pois $\omega^n = 1$ . ∎

Exemplo 3.19 (Lendo as partes real e imaginária)

Separar $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = 0$ em partes real e imaginária fornece duas identidades trigonométricas de graça:

\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}n = 0, \qquad \sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k\pi}n = 0 \qquad (n \geq 2).

Geometricamente: o baricentro de um $n$ -ágono regular inscrito no círculo unitário é o seu centro — os vértices se equilibram exatamente. Para $n = 5$ , a primeira identidade dá $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 + 2\cos\frac{4\pi}5 = 0$ (emparelhando $k$ com $n - k$ ), ponto de partida do cálculo de $\cos\frac{2\pi}5$ feito no Exercício 3.8.

Exemplo 3.20 (Raízes quadradas na forma algébrica)

Para resolver $z^2 = 3 + 4\iu$ sem trigonometria, ponha $z = x + \iu y$ :

x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .

Somando a primeira e a última: $x^2 = 4$ , logo $x = \pm 2$ , e então $y = 2/x = \pm 1$ com o mesmo pareamento de sinais ( $xy = 2 > 0$ ): $z = \pm(2 + \iu)$ . Combinado com a fórmula usual, isso resolve toda equação do segundo grau com coeficientes complexos (Exercício 3.7).

3.4 Números complexos e geometria plana

Proposição 3.21 (Dicionário geométrico)

Identifique o ponto $M(x, y)$ do plano com o seu afixo $z = x + \iu y$ . Para pontos distintos $A, B, C$ de afixos $a, b, c$ :

$\abs{b - a}$ é a distância $AB$ ;
$\arg\dfrac{c - a}{b - a}$ é o ângulo entre os vetores $\vect{AB}$ e $\vect{AC}$ (mód. $2\pi$ );
$A, B, C$ são colineares se, e somente se, $\dfrac{c - a}{b - a} \in \R$ ; as retas $AB$ e $AC$ são perpendiculares se, e somente se, $\dfrac{c - a}{b - a} \in \iu\R$ .

Demonstração. (1) é a definição do módulo aplicada a $b - a$ , o afixo de $\vect{AB}$ . (2): escreva $b - a = r\eu^{\iu\theta}$ , $c - a = s\eu^{\iu\varphi}$ ; então $\frac{c-a}{b-a} = \frac sr \eu^{\iu(\varphi - \theta)}$ tem argumento $\varphi - \theta$ , o ângulo de $\vect{AB}$ a $\vect{AC}$ . (3): a colinearidade significa ângulo $0$ ou $\pi$ , isto é, argumento em $\pi\Z$ , isto é, o quociente é real; a perpendicularidade significa ângulo $\pm\frac\pi2$ , isto é, o quociente é puramente imaginário. (O quociente é não nulo, pois $C \neq A$ .) ∎

Observação 3.22 (Interlúdio: $\C$ é o plano com uma multiplicação)

Vale a pena parar para pensar no que torna este capítulo possível: o plano $\R^2$ carrega adições em todas as direções, mas nenhuma multiplicação dada de antemão — e $\C$ é o plano equipado com uma, na qual multiplicar por um número fixo gira e dilata. Essa única estrutura será explorada mais três vezes neste volume. No Capítulo 21, a multiplicação por $a + \iu b$ reaparece como a matriz $2 \times 2$ de linhas $(a, -b)$ e $(b, a)$ : a aritmética complexa é uma primeira família, inteiramente concreta, de produtos de matrizes. No Capítulo 23, a fórmula $\Re(\conj z\,w)$ revela-se o produto interno, e $\abs z$ a norma euclidiana: a desigualdade triangular demonstrada aqui é o modelo da história de Cauchy–Schwarz de lá. E no Capítulo 24, um ponto em movimento é mais bem escrito como $t \mapsto z(t)$ , de modo que a velocidade e a aceleração se tornam derivadas de valores complexos — o movimento circular, por exemplo, é simplesmente $z(t) = R\,\eu^{\iu\omega t}$ . Uma boa multiplicação, quatro capítulos de dividendos.

Proposição 3.23 (Aplicações $z \mapsto az + b$ )

Sejam $a \in \C^*$ , $b \in \C$ . A transformação $f(z) = az + b$ do plano:

é uma translação se $a = 1$ ;
caso contrário, tem um único ponto fixo $\zeta = \frac{b}{1-a}$ , e $f(z) - \zeta = a\,(z - \zeta)$ : $f$ é a rotação de centro $\zeta$ e ângulo $\arg a$ , composta com a homotetia de centro $\zeta$ e razão $\abs a$ .

Em particular, $z \mapsto \eu^{\iu\theta} z$ é a rotação de ângulo $\theta$ em torno da origem, e $\conj z$ é a reflexão no eixo real.

Demonstração. Se $a = 1$ , $f(z) = z + b$ translada pelo vetor de afixo $b$ . Se $a \neq 1$ , a equação de ponto fixo $z = az + b$ tem a única solução $\zeta = \frac{b}{1-a}$ , e então $f(z) - \zeta = az + b - (a\zeta + b) = a(z - \zeta)$ . Escrevendo $a = \abs a\, \eu^{\iu\arg a}$ , a multiplicação por $a$ dilata as distâncias a $\zeta$ pelo fator $\abs a$ e soma $\arg a$ aos ângulos em $\zeta$ , o que é a composição anunciada. ∎

Exemplo 3.24 (Classificando uma aplicação $z \mapsto az+b$ )

Tome $f(z) = \iu z + 1$ . Aqui $a = \iu \neq 1$ : o ponto fixo é

\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{1 - \iu} = \frac{1 + \iu}{2},

e, como $\abs a = 1$ , não há dilatação alguma: $f$ é a rotação pura de centro $\frac{1+\iu}2$ e ângulo $\arg \iu = \frac\pi2$ . Verificação: $f(\zeta) = \iu\,\frac{1+\iu}2 + 1 = \frac{\iu - 1}2 + 1 = \frac{1 + \iu}2 = \zeta$ , e $f(0) = 1$ , $f(1) = 1 + \iu$ , $f(1 + \iu) = \iu\,(1 + \iu) + 1 = \iu$ : os quatro pontos $0, 1, 1+\iu, \iu$ do quadrado unitário giram em torno do seu centro $\zeta$ , um quarto de volta de cada vez — exatamente o que uma rotação de $\frac\pi2$ em torno do centro do quadrado deve fazer.

A aplicação f(z) = z + 1 do : uma rotação de um quarto de volta em torno do ponto fixo = 1+ 2. Os vértices do quadrado unitário percorrem o ciclo 0 1 1+ 0; nenhum ponto se move ao longo de uma reta, e no entanto o quadrado inteiro gira rigidamente. — A aplicação $f(z) = \iu z + 1$ do Exemplo 3.24: uma rotação de um quarto de volta em torno do ponto fixo $\zeta = \frac{1+\iu}2$ . Os vértices do quadrado unitário percorrem o ciclo $0 \to 1 \to 1{+}\iu \to \iu \to 0$ ; nenhum ponto se move ao longo de uma reta, e no entanto o quadrado inteiro gira rigidamente.

Observação 3.25 (Armadilhas frequentes com módulos e argumentos)

Não há desigualdades em $\C$ . Escrever $z \leq w$ para números não reais não faz sentido; só módulos, partes reais e partes imaginárias podem ser comparados.
$\sqrt{\phantom z}$ está reservado a $\R_+$ . Todo número complexo não nulo tem duas raízes quadradas e nenhuma delas é privilegiada: escreva “seja $\delta$ uma raiz quadrada de $\Delta$ ” (calculada como no Exemplo 3.20), nunca $\sqrt\Delta$ — a regra $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ já falha em $a = b = -1$ .
Os argumentos vivem módulo $2\pi$ . De $\eu^{\iu\alpha} = \eu^{\iu\beta}$ conclua $\alpha \equiv \beta \pmod{2\pi}$ , e não $\alpha = \beta$ ; esquecer o $2k\pi$ é como os conjuntos solução de $z^n = a$ perdem $n - 1$ dos seus $n$ elementos.
$\abs{z + w}$ não é $\abs z + \abs w$ . A igualdade na desigualdade triangular é o caso excepcional de alinhamento (Proposição 3.2 (4)); em geral, o módulo de uma soma deve ser estimado, e não calculado.

Exemplo 3.26

$A, B, C$ (de afixos $a, b, c$ , dois a dois distintos) formam um triângulo equilátero com os vértices em ordem direta (anti-horária) se, e somente se, $\frac{c - a}{b - a} = \eu^{\iu\pi/3}$ : a rotação de centro $A$ e ângulo $\frac\pi3$ leva $B$ em $C$ . As duas orientações juntas ficam captadas pela equação simétrica $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ (Exercício 3.10).

Observação 3.27 (Onde este capítulo é usado)

A forma exponencial é o recurso de cálculo mais reutilizado do volume. As raízes da unidade tornam-se o exemplo padrão de grupo cíclico no Capítulo 7 e conduzem a fatoração de $X^n - 1$ no Capítulo 8; agrupar ali as raízes conjugadas produz as fatorações reais usadas pelas frações parciais no Capítulo 9. A linearização (Método 3.11) é a preparação usual para integrar potências trigonométricas no Capítulo 15, e as equações características do Capítulo 5 têm raízes complexas cujas partes real e imaginária produzem as soluções oscilantes $\eu^{\lambda t}\cos\omega t$ . O dicionário geométrico volta em roupagem matricial: rotações e semelhanças tornam-se as matrizes ortogonais do Capítulos 21 e 23, e as curvas parametrizadas do Capítulo 24 são muitas vezes mais bem escritas como aplicações $t \mapsto z(t) \in \C$ .

3.5 Exercícios

Exercício 3.1 ★

Ponha na forma exponencial: $1 + \iu$ ; $\;\sqrt 3 - \iu$ ; $\;-5$ ; $\;\dfrac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu}$ . Deduza $\cos\frac{5\pi}{12}$ e $\sin\frac{5\pi}{12}$ .

Solução

Solução de Exercício 3.1.

$1 + \iu = \sqrt 2\, \eu^{\iu\pi/4}$ ; $\;\sqrt 3 - \iu = 2\, \eu^{-\iu\pi/6}$ ; $\;-5 = 5\, \eu^{\iu\pi}$ ;

\frac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{\iu(\pi/4 + \pi/6)} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{5\iu\pi/12}.

Calculando o mesmo quociente algebricamente (multiplique pelo conjugado):

\frac{(1 + \iu)(\sqrt 3 + \iu)}{4} = \frac{(\sqrt 3 - 1) + \iu(\sqrt 3 + 1)}{4}.

Identificando com $\frac{\sqrt 2}{2}(\cos\frac{5\pi}{12} + \iu\sin\frac{5\pi}{12})$ :

\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}, \qquad \sin\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}.

Exercício 3.2 ★

Calcule $(1 + \iu)^{20}$ . Para quais $n \in \N$ o número $(1 + \iu)^n$ é real?

Solução

Solução de Exercício 3.2.

$(1+\iu)^2 = 2\iu$ , logo $(1+\iu)^{20} = (2\iu)^{10} = 2^{10}\,\iu^{10} = 1024 \times (-1) = -1024$ .

Na forma exponencial, $(1+\iu)^n = 2^{n/2}\, \eu^{\iu n\pi/4}$ , que é real se, e somente se, $\sin\frac{n\pi}{4} = 0$ , isto é, $4 \mid n$ . Logo $(1+\iu)^n \in \R$ exatamente para os múltiplos de $4$ (com valor $(-4)^{n/4}$ ).

Exercício 3.3 ★

Descreva geometricamente o conjunto dos $z \in \C$ tais que: $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ ; $\;\abs{z - 1} = 2$ ; $\;\dfrac{z - 1}{z + 1} \in \iu\R$ (para $z \neq -1$ ).

Solução

Solução de Exercício 3.3.

$\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ : equidistância dos pontos $2$ e $-\iu$ — a mediatriz do segmento que liga $(2, 0)$ a $(0, -1)$ .

$\abs{z - 1} = 2$ : o círculo de centro $1$ e raio $2$ .

$\frac{z-1}{z+1} \in \iu\R$ : pela Proposição 3.21 (3), os pontos $M(z)$ , $A(1)$ , $B(-1)$ satisfazem: as retas $MA$ e $MB$ são perpendiculares (ou $z = 1$ , caso em que o quociente é $0 \in \iu\R$ ). O conjunto é o círculo de diâmetro $[-1, 1]$ (o círculo unitário), menos o ponto $-1$ , em que o quociente não está definido. Verificação por cálculo: $z = \eu^{\iu\theta}$ dá $\frac{z-1}{z+1} = \frac{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2})}{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} + \eu^{-\iu\theta/2})} = \iu\tan\frac\theta2 \in \iu\R$ .

Exercício 3.4 ★

Linearize $\sin^4\theta$ e expanda $\cos 4\theta$ como polinômio em $\cos\theta$ .

Solução

Solução de Exercício 3.4.

Linearização:

\sin^4\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}\Bigr)^{\!4} = \frac{\eu^{4\iu\theta} - 4\eu^{2\iu\theta} + 6 - 4\eu^{-2\iu\theta} + \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{\cos 4\theta - 4\cos 2\theta + 3}{8}.

Expansão: por De Moivre, $\cos 4\theta = \Re\bigl((c + \iu s)^4\bigr) = c^4 - 6c^2 s^2 + s^4$ com $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ ; substituindo $s^2 = 1 - c^2$ :

\cos 4\theta = c^4 - 6c^2(1 - c^2) + (1 - c^2)^2 = 8c^4 - 8c^2 + 1 .

Exercício 3.5 ★

Resolva $z^3 = 8\iu$ e situe as soluções numa figura. Resolva $z^4 = -4$ e fatore $X^4 + 4$ em dois polinômios reais do segundo grau.

Solução

Solução de Exercício 3.5.

$8\iu = 8\,\eu^{\iu\pi/2}$ , de modo que as raízes cúbicas são $2\,\eu^{\iu(\pi/6 + 2k\pi/3)}$ , $k = 0, 1, 2$ :

z_0 = 2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt 3 + \iu,\quad z_1 = 2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt 3 + \iu,\quad z_2 = 2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu :

um triângulo equilátero no círculo de raio $2$ .

$-4 = 4\eu^{\iu\pi}$ , de modo que $z^4 = -4$ tem soluções $\sqrt 2\, \eu^{\iu(\pi/4 + k\pi/2)}$ : $\;1 + \iu$ , $-1 + \iu$ , $-1 - \iu$ , $1 - \iu$ . Emparelhando as raízes conjugadas:

X^4 + 4 = \bigl(X^2 - 2X + 2\bigr)\bigl(X^2 + 2X + 2\bigr),

pois $(X - (1+\iu))(X - (1-\iu)) = X^2 - 2X + 2$ , e analogamente para o outro par. (Expanda para conferir.)

Exercício 3.6 ★★

Para $\theta \in \R$ com $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ e $n \in \N$ , calcule

C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos k\theta \qquad\text{e}\qquad S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin k\theta

somando a série geométrica $\sum_k \eu^{\iu k\theta}$ e usando a fatoração do arco metade.

Solução

Solução de Exercício 3.6.

$C_n + \iu S_n = \sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}$ (soma geométrica, de razão $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ ). Fatoração do arco metade (Método 3.11 (4)) no numerador e no denominador:

\frac{2\iu\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\, \eu^{\iu(n+1)\theta/2}} {2\iu\sin\frac{\theta}{2}\, \eu^{\iu\theta/2}} = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \eu^{\iu n\theta/2}.

Tomando as partes real e imaginária:

C_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}, \qquad S_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \sin\frac{n\theta}{2}.

Exercício 3.7 ★★

Resolva em $\C$ : $z^2 - (3 + 4\iu) z + (-1 + 5\iu) = 0$ . (Calcule o discriminante e extraia suas raízes quadradas como no Exemplo 3.20.)

Solução

Solução de Exercício 3.7.

Discriminante: $\Delta = (3 + 4\iu)^2 - 4(-1 + 5\iu) = 9 + 24\iu - 16 + 4 - 20\iu = -3 + 4\iu$ . Raízes quadradas de $-3 + 4\iu$ : resolva $x^2 - y^2 = -3$ , $2xy = 4$ , $x^2 + y^2 = 5$ ; então $x^2 = 1$ , $y = 2/x$ , com os mesmos sinais: $\delta = \pm(1 + 2\iu)$ . Portanto

z = \frac{(3 + 4\iu) \pm (1 + 2\iu)}{2} \in \{\, 2 + 3\iu,\; 1 + \iu \,\}.

Verificação: a soma vale $= 3 + 4\iu$ e o produto $(2+3\iu)(1+\iu) = -1 + 5\iu$ , como os coeficientes exigem.

Exercício 3.8 ★★

Seja $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ .

Justifique que $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ .
Ponha $u = \omega + \omega^4$ e $v = \omega^2 + \omega^3$ . Calcule $u + v$ e $uv$ , e deduza que $u$ e $v$ são as raízes de $X^2 + X - 1$ .
Conclua que $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ .

Solução

Solução de Exercício 3.8.

Proposição 3.18 com $n = 5$ .
$u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ , por (1). Para o produto, expanda e reduza os expoentes módulo $5$ :

$uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .$

Assim, $u$ e $v$ têm soma $-1$ e produto $-1$ : são as duas raízes de $X^2 + X - 1$ .
$u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (o ângulo é agudo), e a raiz positiva de $X^2 + X - 1$ é $\frac{-1 + \sqrt 5}{2}$ . Portanto, $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ .

Exercício 3.9 ★★

Demonstre que, para todos $z, w \in \C$ (identidade do paralelogramo):

\abs{z + w}^2 + \abs{z - w}^2 = 2\abs z^2 + 2\abs w^2 ,

e interprete-a geometricamente no paralelogramo de vértices $0, z, w, z + w$ .

Solução

Solução de Exercício 3.9.

Expanda os dois quadrados como na demonstração da Proposição 3.2 (4):

\abs{z + w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Re(z\conj w), \qquad \abs{z - w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 - 2\Re(z\conj w),

e some. Geometricamente, $\abs{z+w}$ e $\abs{z-w}$ são os comprimentos das duas diagonais do paralelogramo de vértices $0, z, z+w, w$ , ao passo que $\abs z$ e $\abs w$ são os comprimentos dos lados: a soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados dos quatro lados.

Exercício 3.10 ★★★

Demonstre que três pontos dois a dois distintos, de afixos $a, b, c$ , formam um triângulo equilátero (em qualquer orientação) se, e somente se,

a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca .

Sugestão: o caso direto é $\frac{c-a}{b-a} = -j^2$ e o caso indireto $\frac{c-a}{b-a} = -j$ , em que $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ satisfaz $j^2 + j + 1 = 0$ ; ou fatore $a + jb + j^2c$ e $a + j^2 b + jc$ .

Solução

Solução de Exercício 3.10.

Seja $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ , de modo que $j^2 + j + 1 = 0$ e $\eu^{\iu\pi/3} = -j^2$ , $\eu^{-\iu\pi/3} = -j$ . O triângulo é equilátero direto se, e somente se, $c - a = -j^2 (b - a)$ , e indireto se, e somente se, $c - a = -j(b - a)$ (Exemplo 3.26).

Considere $P = a + jb + j^2 c$ e $Q = a + j^2 b + jc$ . Usando $1 + j^2 = -j$ e $j^3 = 1$ :

c - a + j^2(b - a) = c + j^2 b - (1 + j^2)\,a = c + j^2 b + ja = j\,(a + jb + j^2 c) = jP,

de modo que o caso direto diz $jP = 0 \iff P = 0$ ; o mesmo cálculo com $j$ no lugar de $j^2$ dá $c - a + j(b - a) = j^2 Q$ , de sorte que o caso indireto diz $Q = 0$ . Portanto: equilátero (em qualquer orientação) $\iff PQ = 0$ . Expandindo, com $j + j^2 = -1$ :

PQ = a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca).

Assim, o triângulo é equilátero se, e somente se, $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ .

Exercício 3.11 ★★★

Para $n \in \N^*$ , avalie $P = \prod_{k=1}^{n-1} \bigl(1 - \omega^k\bigr)$ , em que $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ . Sugestão: $X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k)$ ; divida por $X - 1$ e avalie em $X = 1$ . Deduza que $\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \dfrac{n}{2^{n-1}}$ .

Solução

Solução de Exercício 3.11.

Como os $\omega^k$ , $k = 0, \dots, n-1$ , são exatamente as $n$ raízes de $X^n - 1$ (Teorema 3.14), e o polinômio é mônico:

X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k) = (X - 1) \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k).

Dividindo por $X - 1$ : $\;1 + X + \dots + X^{n-1} = \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k)$ . Avaliando em $X = 1$ , obtém-se $P = n$ .

Agora, $1 - \omega^k = -\eu^{\iu k\pi/n}\bigl(\eu^{\iu k\pi/n} - \eu^{-\iu k\pi/n}\bigr) = -2\iu\,\eu^{\iu k\pi/n} \sin\frac{k\pi}{n}$ , de modo que, tomando módulos em $P = n$ (cada $\sin\frac{k\pi}n > 0$ para $1 \leq k \leq n-1$ ):

n = \abs P = \prod_{k=1}^{n-1} 2\sin\frac{k\pi}{n} = 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n}, \qquad\text{logo}\qquad \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} .

Exercício 3.12 ★★

Seja $n \geq 2$ . Resolva a equação $(z + 1)^n = (z - 1)^n$ em $\C$ : mostre que ela tem exatamente $n - 1$ soluções, todas puramente imaginárias, a saber,

z_k = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}}, \qquad k = 1, \dots, n - 1 .

Sugestão: $z = 1$ não é solução; divida e use as raízes da unidade; depois aplique a fatoração do arco metade do Método 3.11.

Solução

Solução de Exercício 3.12.

$z = 1$ não é solução ( $2^n \neq 0$ ), de modo que a equação é equivalente a $\bigl(\frac{z+1}{z-1}\bigr)^n = 1$ , isto é, $\frac{z+1}{z-1} = \omega^k$ com $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ e $k \in \{0, \dots, n-1\}$ . O valor $k = 0$ está excluído ( $z + 1 = z - 1$ é impossível). Para $1 \leq k \leq n - 1$ , resolver $z + 1 = \omega^k(z - 1)$ dá $z(1 - \omega^k) = -1 - \omega^k$ , de modo que, com $\varphi = \frac{2k\pi}{n}$ e as fatorações do arco metade $1 + \eu^{\iu\varphi} = 2\cos\frac\varphi2\, \eu^{\iu\varphi/2}$ , $\eu^{\iu\varphi} - 1 = 2\iu\sin\frac\varphi2 \,\eu^{\iu\varphi/2}$ :

z_k = \frac{1 + \omega^k}{\omega^k - 1} = \frac{2\cos\frac{k\pi}{n}}{2\iu\,\sin\frac{k\pi}{n}} = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}} ,

puramente imaginário, como afirmado. A aplicação $t \mapsto \cos t/\sin t$ é injetiva em $\intoo0\pi$ (é estritamente decrescente), de modo que os $n - 1$ valores $z_k$ são dois a dois distintos: a equação, de grau $n - 1$ uma vez expandida (os termos $z^n$ se cancelam), tem exatamente essas $n - 1$ soluções.

3.6 Problema: O teorema de Napoleão

Problema 3.1

Erga um triângulo equilátero para fora sobre cada lado de um triângulo arbitrário: os três centros desses triângulos formam sempre um triângulo equilátero. Este é o teorema de Napoleão — um enunciado sem razão visível para ser verdadeiro, que a álgebra de $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ demonstra em três linhas de cálculo. Este problema constrói todo o instrumental (rotações, semelhanças diretas, o critério de $j$ do Exercício 3.10), demonstra o teorema de Napoleão nas versões interna e externa, localiza o caso degenerado e se encerra com uma segunda joia da mesma escola: o teorema de van Schooten sobre triângulos equiláteros e a desigualdade de Ptolomeu. Ao longo do problema, os pontos do plano são identificados com os seus afixos.

Parte I — O número $j$ e as rotações.

Calcule a forma algébrica de $j$ , depois $j^2$ , $j^3$ , $1 + j + j^2$ , $\conj j$ e $j^{-1}$ . Situe $1$ , $j$ , $j^2$ num esboço do círculo unitário.
Mostre que a rotação de centro $a$ e ângulo $\theta$ é $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ , e que a composta de duas rotações, de ângulos $\theta$ e $\theta'$ , é uma rotação de ângulo $\theta + \theta'$ se $\theta + \theta' \notin 2\pi\Z$ , e uma translação caso contrário. (Use a Proposição 3.23.)
Sejam $b \neq c$ . Mostre que existem exatamente dois pontos $p$ que tornam $(b, c, p)$ equilátero, a saber, $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ . Para um triângulo direto $(a, b, c)$ , verifique no exemplo $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ que a escolha $\eu^{-\iu\pi/3}$ é a que fica do lado da reta $BC$ oposto a $a$ — o ápice externo.
Pela solução do Exercício 3.10, $(a, b, c)$ é equilátero direto se, e somente se, $a + jb + j^2c = 0$ . Demonstre as duas identidades de rotação

$b + jc + j^2a = j^2\,(a + jb + j^2c), \qquad c + ja + j^2b = j\,(a + jb + j^2c),$

e deduza que o critério é invariante por permutação cíclica de $(a, b, c)$ .
Mostre que, se $a + jb + j^2c = 0$ e dois dos três pontos coincidem, então os três coincidem. (Assim, o critério caracteriza exatamente: triângulo equilátero direto, ou um único ponto.)

Parte II — Semelhanças diretas.

Mostre que as aplicações $f(z) = az + b$ com $a \in \C^*$ (semelhanças diretas) são estáveis por composição e por inversão: a composta de duas delas, e a inversa de qualquer uma delas, é de novo dessa forma. (Na linguagem do Capítulo 7: elas formam um grupo.)
Dados $z_1 \neq z_2$ e $w_1 \neq w_2$ , mostre que existe uma única semelhança direta $f$ com $f(z_1) = w_1$ e $f(z_2) = w_2$ , e dê $a$ e $b$ explicitamente.
Mostre que uma semelhança direta $f(z) = az + b$ multiplica todas as distâncias por $\abs a$ e preserva a forma $\frac{c - a'}{b' - a'}$ de qualquer triângulo $(a', b', c')$ (numerador e denominador são ambos multiplicados por $a$ ). Deduza que dois triângulos são diretamente semelhantes exatamente quando as suas formas são iguais.
Determine completamente a semelhança direta com $f(0) = 1$ e $f(1) = \iu$ : dê $a$ , $b$ , o ponto fixo, a razão e o ângulo.
Seja $\alpha + \beta = 1$ . Mostre que o “ponto ponderado” $g(a', b') = \alpha a' + \beta b'$ comuta com toda semelhança direta: $f(\alpha a' + \beta b') = \alpha f(a') + \beta f(b')$ . Deduza que baricentros, pontos médios e os centros de Napoleão abaixo são todos transportados pelas semelhanças — a licença algébrica por trás de todo argumento do tipo “sem perda de generalidade, coloque o círculo circunscrito no círculo unitário”.

Parte III — O teorema de Napoleão. Seja $(a, b, c)$ um triângulo direto. Sobre cada lado, erga o triângulo equilátero externo (questão 3) e sejam $n_a$ , $n_b$ , $n_c$ os centros (baricentros) dos triângulos erguidos sobre $[b, c]$ , $[c, a]$ e $[a, b]$ , respectivamente.

Mostre que

$n_a = \alpha b + \beta c, \qquad n_b = \alpha c + \beta a, \qquad n_c = \alpha a + \beta b, \qquad\text{com}\quad \alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}{6},\ \beta = \conj\alpha .$
Verifique que $\alpha + \beta = 1$ e deduza que o triângulo $(n_a, n_b, n_c)$ tem o mesmo baricentro que $(a, b, c)$ .
Usando as identidades da questão 4, mostre que

$n_a + j\,n_b + j^2 n_c = (\alpha j^2 + \beta j)\,(a + jb + j^2c) .$
Calcule $\alpha j + \beta$ e conclua: $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , de modo que $n_a + j n_b + j^2 n_c = 0$ para todo triângulo: o triângulo externo de Napoleão é equilátero direto (ou um ponto). O teorema de Napoleão está demonstrado.
Erga os triângulos equiláteros para dentro (escolha $\eu^{+\iu\pi/3}$ na questão 3) e sejam $m_a, m_b, m_c$ os seus centros. Mostre que $m_a = \beta b + \alpha c$ (e ciclicamente), e depois demonstre que $m_a + j^2 m_b + j\,m_c = 0$ : o triângulo interno de Napoleão também é equilátero, com a orientação oposta.
Localize a degenerescência: mostre que $n_a = n_b = n_c$ acontece exatamente quando $a + j^2 b + jc = 0$ , isto é, quando $(a, b, c)$ é um triângulo equilátero indireto. (Dois pontos entre $n_a, n_b, n_c$ coincidem se, e somente se, os três coincidem, pela questão 5; depois use $n_a + j^2 n_b + j n_c = j(\alpha + \beta j)(a + j^2b + jc)$ e verifique que $\alpha + \beta j \neq 0$ .)
Faça o cálculo completo no triângulo $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ : dê $n_a, n_b, n_c$ exatamente e verifique, pelo cálculo direto dos três quadrados dos comprimentos dos lados, que o triângulo é equilátero, de lado ao quadrado $\frac{2 + \sqrt3}{3}$ .

Parte IV — Ptolomeu e van Schooten.

Demonstre a identidade, válida para todos os complexos $a, b, c, d$ :

$(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) .$
Deduza a desigualdade de Ptolomeu: para quaisquer quatro pontos $A, B, C, D$ ,

$AC \cdot BD \;\leq\; AB \cdot CD + AD \cdot BC ,$

com igualdade se, e somente se, $(a-b)(c-d)$ e $(a-d)(b-c)$ estão numa mesma semirreta com origem em $0$ .
Mostre que, para $\theta, \varphi \in \R$ , $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ .
(Teorema de van Schooten) Seja $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ — pela Parte II, isso não implica perda de generalidade entre os triângulos equiláteros diretos — e seja $p = \eu^{\iu\theta}$ com $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$ , um ponto do círculo circunscrito sobre o arco $BC$ que não contém $A$ . Demonstre que

$PA = PB + PC .$

(Exprima as três distâncias com a questão 20 e use uma fórmula de transformação de soma em produto.)
Verifique em $p = -1$ que isso é exatamente o caso de igualdade da desigualdade de Ptolomeu para a ordem cíclica $A, B, P, C$ : calcule $(a - b)(p - c)$ e $(a - c)(b - p)$ e confira que a razão entre eles é um real positivo.

Parte V — Síntese.

Calcule o triângulo externo de Napoleão do próprio triângulo equilátero $(1, j, j^2)$ e descreva o resultado geometricamente.
Onde exatamente o problema usou: (i) a multiplicação como rotação; (ii) a estrutura de grupo das semelhanças e o invariante de forma; (iii) a fatoração do arco metade do Método 3.11? Uma frase para cada.
Num parágrafo curto, articule a moral do problema: o que o dicionário entre a geometria plana e a álgebra de $\C$ compra, o que ele custa e qual dos dois passos da demonstração — a identidade $\alpha j + \beta = 0$ ou a figura clássica — explica melhor, a seu ver, o teorema de Napoleão. Mencione um lugar em que o dicionário reaparecerá em forma matricial mais adiante neste volume.

Solução

Solução de Problema 3.1.

1. $j = \cos\frac{2\pi}3 + \iu\sin\frac{2\pi}3 = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2$ ; $j^2 = \eu^{4\iu\pi/3} = -\frac12 - \iu\frac{\sqrt3}2 = \conj j$ ; $j^3 = 1$ ; $1 + j + j^2 = 0$ (soma das raízes cúbicas da unidade, Proposição 3.18); $j^{-1} = j^2$ (pois $j \cdot j^2 = 1$ ). No círculo unitário, $1$ , $j$ , $j^2$ são os vértices de um triângulo equilátero direto.

2. A rotação de centro $a$ e ângulo $\theta$ fixa $a$ e gira de $\theta$ todo vetor com origem em $a$ : $r(z) - a = \eu^{\iu\theta}(z - a)$ , isto é, $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ . Compondo $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z-a)$ e $r'(z) = a' + \eu^{\iu\theta'}(z-a')$ :

r' \circ r\,(z) = \eu^{\iu(\theta + \theta')} z + \text{constante},

uma aplicação da forma $Az + B$ com $A = \eu^{\iu(\theta+\theta')}$ de módulo $1$ . Pela Proposição 3.23, trata-se de uma rotação de ângulo $\arg A = \theta + \theta'$ se $A \neq 1$ , e de uma translação se $A = 1$ , isto é, se $\theta + \theta' \in 2\pi\Z$ .

3. $(b, c, p)$ é equilátero se, e somente se, $\abs{p - b} = \abs{c - b} = \abs{p - c}$ . Escrevendo $q = \frac{p - b}{c - b}$ , a primeira igualdade diz que $\abs q = 1$ e a segunda que $\abs{q - 1} = 1$ ; juntas, $q = \eu^{\pm\iu\pi/3}$ (os dois pontos de interseção dos círculos $\abs q = 1$ e $\abs{q - 1} = 1$ são $\frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}2$ ). Portanto, $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ . Para $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ (um triângulo direto): a escolha $\eu^{-\iu\pi/3}$ dá

p = 1 + \Bigl(\tfrac12 - \iu\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)(\iu - 1) = \tfrac{1 + \sqrt3}2\,(1 + \iu) \approx 1.37 + 1.37\,\iu ,

que fica do lado da reta $BC$ ( $x + y = 1$ ) oposto a $a = 0$ : para fora. A escolha $\eu^{+\iu\pi/3}$ dá $p \approx -0.37 - 0.37\,\iu$ , do mesmo lado que $a$ : para dentro.

4. Multiplique $P = a + jb + j^2c$ por $j^2$ : $j^2 P = j^2 a + j^3 b + j^4 c = b + jc + j^2 a$ (usando $j^3 = 1$ , $j^4 = j$ ); e por $j$ : $jP = ja + j^2 b + c$ . Estas são as duas identidades. Se $P = 0$ , então $j^2 P = jP = 0$ : o critério vale também para $(b, c, a)$ e $(c, a, b)$ — invariância cíclica (como deve ser: um triângulo equilátero não se importa com qual vértice é listado primeiro).

5. Se $a = b$ : $0 = a(1 + j) + j^2 c = -j^2 a + j^2 c$ (usando $1 + j = -j^2$ ), logo $c = a$ . Se $b = c$ : $0 = a + b(j + j^2) = a - b$ , logo $a = b$ . Se $a = c$ : $0 = a(1 + j^2) + jb = -ja + jb$ , logo $a = b$ . Em cada caso, os três pontos coincidem.

6. $(a'z + b') \circ (az + b) = a'a\,z + (a'b + b')$ com $a'a \neq 0$ : mesma forma. A inversa de $z \mapsto az + b$ é $z \mapsto \frac1a z - \frac ba$ , de novo da mesma forma. Com a aplicação identidade como elemento neutro, as semelhanças diretas formam um grupo com a composição.

7. $f(z) = az + b$ satisfaz $f(z_1) = w_1$ , $f(z_2) = w_2$ se, e somente se, $a z_1 + b = w_1$ e $a z_2 + b = w_2$ ; subtraindo, $a(z_2 - z_1) = w_2 - w_1$ , de modo que

a = \frac{w_2 - w_1}{z_2 - z_1} \;(\neq 0), \qquad b = w_1 - a z_1

ficam forçados e, reciprocamente, essa escolha funciona: existência e unicidade.

8. $\abs{f(z) - f(w)} = \abs{a(z - w)} = \abs a\,\abs{z - w}$ : todas as distâncias são multiplicadas por $\abs a$ . Quanto à forma:

\frac{f(c') - f(a')}{f(b') - f(a')} = \frac{a(c' - a')}{a(b' - a')} = \frac{c' - a'}{b' - a'} .

Se dois triângulos $(a', b', c')$ e $(a'', b'', c'')$ têm formas iguais, seja $f$ a única semelhança direta com $f(a') = a''$ e $f(b') = b''$ (questão 7); então a forma de $(a'', b'', f(c'))$ é igual à de $(a', b', c')$ e, portanto, à de $(a'', b'', c'')$ , e a forma determina o terceiro vértice a partir dos dois primeiros: $f(c') = c''$ . Reciprocamente, a igualdade das formas decorre da invariância exibida.

9. $b = f(0) = 1$ ; $a + b = f(1) = \iu$ dá $a = \iu - 1$ . Razão $\abs a = \sqrt2$ , ângulo $\arg(\iu - 1) = \frac{3\pi}4$ . Ponto fixo:

\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{2 - \iu} = \frac{2 + \iu}5 .

Assim, $f$ é a semelhança direta de centro $\frac{2+\iu}5$ , razão $\sqrt2$ e ângulo $\frac{3\pi}4$ .

10. Com $\alpha + \beta = 1$ e $f(z) = az + b$ :

f(\alpha a' + \beta b') = a\alpha a' + a\beta b' + b = \alpha(a a' + b) + \beta(a b' + b) = \alpha f(a') + \beta f(b') ,

sendo a chave $b = (\alpha + \beta)b$ . Os pontos médios ( $\alpha = \beta = \frac12$ ), os baricentros (itere) e os centros de Napoleão $\alpha b + \beta c$ abaixo são, portanto, equivariantes: transformar o triângulo os transforma na mesma medida. Assim, demonstrar um enunciado invariante por semelhança para um triângulo bem posicionado demonstra-o para todos — a licença usada na questão 21.

11. O ápice externo sobre $[b, c]$ é $p_a = b + \eu^{-\iu\pi/3}(c - b)$ (questão 3), de modo que o centro é

n_a = \frac{b + c + p_a}3 = \frac{2b + c + \frac{1 - \iu\sqrt3}2\,(c - b)}3 = \frac{(3 + \iu\sqrt3)\,b + (3 - \iu\sqrt3)\,c}6 = \alpha b + \beta c ,

com $\alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}6$ e $\beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 = \conj\alpha$ . O mesmo cálculo sobre os lados $[c, a]$ e $[a, b]$ dá $n_b = \alpha c + \beta a$ e $n_c = \alpha a + \beta b$ (deslocamento cíclico dos papéis).

12. $\alpha + \beta = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 3 - \iu\sqrt3}6 = 1$ . Portanto,

\frac{n_a + n_b + n_c}3 = \frac{(\alpha + \beta)(a + b + c)}3 = \frac{a + b + c}3 :

os dois triângulos têm o mesmo baricentro.

13. Agrupe por $\alpha$ e $\beta$ e aplique as identidades da questão 4 a $P = a + jb + j^2c$ :

n_a + j n_b + j^2 n_c = \alpha\,(b + jc + j^2 a) + \beta\,(c + ja + j^2 b) = \alpha\,j^2 P + \beta\,j P = (\alpha j^2 + \beta j)\,P .

14. Com $j = \frac{-1 + \iu\sqrt3}2$ :

\alpha j = \frac{(3 + \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 - \iu\sqrt3 - 3}{12} = \frac{-3 + \iu\sqrt3}6 = -\beta ,

logo $\alpha j + \beta = 0$ , e portanto $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , e a questão 13 dá $n_a + jn_b + j^2n_c = 0$ para todo triângulo $(a, b, c)$ . Pelo critério (questões 4–5), os centros formam um triângulo equilátero direto ou um único ponto: o teorema de Napoleão.

15. O ápice interno é $b + \eu^{+\iu\pi/3}(c - b)$ , e o cálculo da questão 11 com $\eu^{+\iu\pi/3} = \frac{1 + \iu\sqrt3}2$ troca $\alpha$ por $\beta$ : $m_a = \beta b + \alpha c$ , $m_b = \beta c + \alpha a$ , $m_c = \beta a + \alpha b$ . Usando as identidades análogas $b + j^2c + ja = j\,Q$ e $c + j^2a + jb = j^2 Q$ para $Q = a + j^2b + jc$ :

m_a + j^2 m_b + j m_c = \beta(b + j^2 c + ja) + \alpha(c + j^2 a + jb) = (\beta j + \alpha j^2)\, Q = j(\beta + \alpha j)\,Q = 0 ,

pois $\alpha j = -\beta$ (questão 14). Assim, os centros internos satisfazem o critério equilátero indireto: equiláteros com a orientação oposta (ou um ponto).

16. Pela questão 5 aplicada à tripla $(n_a, n_b, n_c)$ (que satisfaz o critério direto), dois centros coincidem se, e somente se, os três coincidem; e os três coincidem se, e somente se, ambos os critérios valem, isto é, se, adicionalmente, $n_a + j^2 n_b + j n_c = 0$ . Calcule como na questão 13, com as identidades $b + j^2c + ja = jQ$ , $c + j^2a + jb = j^2Q$ :

n_a + j^2 n_b + j n_c = \alpha\,jQ + \beta\,j^2 Q = j(\alpha + \beta j)\,Q .

Diretamente: $\beta j = \frac{(3 - \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 + \iu\sqrt3 + 3}{12} = \frac{\iu\sqrt3}3$ , de modo que $\alpha + \beta j = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 2\iu\sqrt3}6 = \frac{1 + \iu\sqrt3}2 \neq 0$ . Portanto, o triângulo externo de Napoleão degenera se, e somente se, $Q = a + j^2b + jc = 0$ , isto é, se, e somente se, $(a, b, c)$ é um triângulo equilátero indireto — caso em que as construções “para fora” apontam todas para a região circunscrita ao triângulo e partilham um mesmo centro.

17. Com $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ :

n_a = \alpha + \beta\iu = \frac{(3 + \sqrt3)(1 + \iu)}6, \qquad n_b = \alpha\iu = \frac{-\sqrt3 + 3\iu}6, \qquad n_c = \beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 .

Lados ao quadrado: $n_a - n_b = \frac{(3 + 2\sqrt3) + \iu\sqrt3}6$ dá $\abs{n_a - n_b}^2 = \frac{(3 + 2\sqrt3)^2 + 3}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36} = \frac{2 + \sqrt3}3$ ; $n_b - n_c = \frac{(3 + \sqrt3)(-1 + \iu)}6$ dá $\abs{n_b - n_c}^2 = \frac{2(3 + \sqrt3)^2}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36}$ ; $n_c - n_a = \frac{-\sqrt3 - \iu(3 + 2\sqrt3)}6$ dá de novo o mesmo valor. Os três lados ao quadrado valem $\frac{2 + \sqrt3}3$ : equilátero, como prometido.

18. Expandindo:

(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (ac - ad - bc + bd) + (ab - ac - bd + cd) = ab - ad - bc + cd ,

e $(a - c)(b - d) = ab - ad - bc + cd$ : iguais.

19. Tome módulos na questão 18 e aplique a desigualdade triangular (Proposição 3.2 (4)):

AC \cdot BD = \abs{(a-b)(c-d) + (a-d)(b-c)} \leq \abs{a-b}\,\abs{c-d} + \abs{a-d}\,\abs{b-c} = AB \cdot CD + AD \cdot BC ,

com igualdade se, e somente se, as duas parcelas estão numa mesma semirreta com origem em $0$ (o caso de igualdade da desigualdade triangular).

20. Fatoração do arco metade (Método 3.11 (4)): $\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi} = 2\iu\,\sin\frac{\theta - \varphi}2\;\eu^{\iu(\theta + \varphi)/2}$ , e tomar módulos mata os fatores de módulo $1$ : $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ .

21. Com $p = \eu^{\iu\theta}$ , $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$ , a questão 20 dá

PA = 2\,\abs{\sin\tfrac\theta2}, \quad PB = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac\pi3\bigr)}, \quad PC = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac{2\pi}3\bigr)} .

No arco, $\frac\theta2 \in \intoo{\pi/3}{2\pi/3}$ : então $\sin\frac\theta2 > 0$ ; $\frac\theta2 - \frac\pi3 \in \intoo0{\pi/3}$ , de modo que o segundo seno é positivo; $\frac\theta2 - \frac{2\pi}3 \in \intoo{-\pi/3}0$ , de modo que o terceiro é negativo e $PC = 2\sin\bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\bigr)$ . Transformando soma em produto:

\sin\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi3\Bigr) + \sin\Bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\Bigr) = 2\,\sin\frac\pi6\,\cos\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi2\Bigr) = \sin\frac\theta2 ,

logo $PB + PC = 2\sin\frac\theta2 = PA$ : o teorema de van Schooten.

22. Em $p = -1$ : $PA = 2$ , $PB = PC = 1$ e todos os lados do triângulo equilátero têm comprimento $\sqrt3$ , de modo que os dois lados de Ptolomeu valem $2\sqrt3$ . Algebricamente, usando $-1 - j^2 = j$ e $1 + j = -j^2$ :

(a - b)(p - c) = (1 - j)\,(-1 - j^2) = (1 - j)j = j - j^2 = \iu\sqrt3 ,

(a - c)(b - p) = (1 - j^2)(j + 1) = 1 + j - j^2 - j^3 = j - j^2 = \iu\sqrt3 .

Os dois termos são iguais, logo a sua razão é $1 \in \R_{>0}$ : o caso de igualdade da questão 19, correspondendo exatamente a $PA \cdot BC = PB \cdot AC + PC \cdot AB$ .

23. Para $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ : $n_a = \alpha j + \beta j^2 = -\beta + \beta j^2$ (questão 14) $= \beta(j^2 - 1)$ ; numericamente, $\beta(j^2 - 1) = \frac{(3 - \iu\sqrt3)}6 \cdot \bigl(-\frac32 - \iu\frac{\sqrt3}2\bigr) = -1$ . Do mesmo modo, $n_b = \alpha j^2 + \beta = -j$ e $n_c = \alpha + \beta j = -j^2$ . O triângulo externo de Napoleão de $(1, j, j^2)$ é $(-1, -j, -j^2)$ : o triângulo original refletido através do seu baricentro $0$ — mesmo tamanho, girado de meia volta. Um triângulo equilátero é uma forma fixa da construção de Napoleão, e não um limite que encolhe.

24. (i) A multiplicação por um número de módulo $1$ como rotação construiu os ápices e os centros (questões 2–3 e 11) e converteu distâncias no círculo em senos (questão 20). (ii) A estrutura de grupo e o invariante de forma justificaram normalizar o círculo circunscrito ao círculo unitário e o triângulo a $(1, j, j^2)$ na questão 21, via a equivariância da questão 10. (iii) A fatoração do arco metade alimentou tanto a questão 20 quanto o passo de soma em produto que encerra van Schooten.

25. O dicionário converte enunciados geométricos em identidades polinomiais nas quais toda hipótese é uma equação: o que ele compra é mecanização — o teorema de Napoleão reduzido a $\alpha j + \beta = 0$ , uma linha de aritmética em $\Q(\iu\sqrt3)$ ; o que ele custa é visibilidade geométrica — o cálculo certifica, mas não mostra por que os centros se fecham num triângulo equilátero. Uma resposta justa é que a identidade explica a inevitabilidade do teorema (ela vale identicamente em $a, b, c$ , de modo que nenhuma esperteza de configuração está em jogo), ao passo que a figura explica o seu conteúdo. O mesmo dicionário volta em forma matricial quando as rotações se tornam as matrizes ortogonais $2 \times 2$ do Capítulo 21 e do Capítulo 23, em que “multiplicar por $\eu^{\iu\theta}$ ” é o protótipo de uma isometria linear.

Termos definidos neste capítulo

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3.1 O corpo C\CC, módulo e conjugado

3.2 Forma exponencial

3.3 Raízes de números complexos

3.4 Números complexos e geometria plana

3.5 Exercícios

3.6 Problema: O teorema de Napoleão

Termos definidos neste capítulo

3.1 O corpo $\C$ , módulo e conjugado