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Matemática · Glossário

O que é espaço afim?

Definição 17.1 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 17 — Espaços afins

Um espaço afim dirigido por um espaço vetorial real EE é um conjunto não vazio E\mathcal{E} munido de uma aplicação (A,B)↦AB→∈E(A, B) \mapsto \vect{AB} \in E satisfazendo

AB→+BC→=AC→(Chasles),para cada A, B↦AB→ eˊ uma bijec¸a˜o E→E.\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC} \quad \text{(Chasles)}, \qquad \text{para cada } A,\ B \mapsto \vect{AB} \text{ é uma bijeção } \mathcal{E} \to E .

Escreve-se B=A+uB = A + u para o único ponto com AB→=u\vect{AB} = u. A dimensão de E\mathcal{E} é dim⁡E\dim E. Todo espaço vetorial é um espaço afim sobre si mesmo (AB→=B−A\vect{AB} = B - A); toda escolha de origem O∈EO \in \mathcal{E} identifica E\mathcal{E} com EE via M↦OM→M \mapsto \vect{OM}.

Exemplos

Exemplo 17.2 (Um espaço afim sem origem natural)

O plano solução E={(x,y,z)∈R3:x+y+z=1}\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\} não é um subespaço vetorial (0∉E0 \notin \mathcal E), mas é um espaço afim dirigido por E={x+y+z=0}E = \{x + y + z = 0\}: para A,B∈EA, B \in \mathcal E a diferença AB→=B−A\vect{AB} = B - A cai em EE (as somas se cancelam), Chasles é herdado de R3\R^3, e B↦AB→B \mapsto \vect{AB} é bijetiva sobre EE. Nenhum ponto de E\mathcal E é distinguido — qualquer escolha de “origem” O∈EO \in \mathcal E funciona igualmente bem, e todas as identificações M↦OM→M \mapsto \vect{OM} diferem por translações. Essa é a situação típica: os conjuntos solução de problemas lineares não homogêneos (sistemas lineares, equações diferenciais lineares no Capítulo 16) são afins, nunca lineares, e o lema “solução particular mais núcleo” é exatamente o enunciado F=A+F\mathcal F = A + F da definição seguinte.

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