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गणित · शब्दावली

आनत समष्टि क्या है?

परिभाषा 17.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 17 — आनत समष्टियाँ

किसी वास्तविक सदिश समष्टि EE से दिशित आनत समष्टि कोई अरिक्त समुच्चय E\mathcal{E} है जिस पर ऐसा प्रतिचित्रण (A,B)↦AB→∈E(A, B) \mapsto \vect{AB} \in E हो कि

AB→+BC→=AC→(शाल),प्रत्येक A, B↦AB→ के लिए एकैकी आच्छादक E→E.\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC} \quad \text{(शाल)}, \qquad \text{प्रत्येक } A,\ B \mapsto \vect{AB} \text{ के लिए एकैकी आच्छादक } \mathcal{E} \to E .

और AB→=u\vect{AB} = u वाले अद्वितीय बिंदु को B=A+uB = A + u लिखा जाता है। E\mathcal{E} की विमा dim⁡E\dim E है। हर सदिश समष्टि अपने ऊपर आनत समष्टि है (AB→=B−A\vect{AB} = B - A); और मूल बिंदु O∈EO \in \mathcal{E} का हर चुनाव M↦OM→M \mapsto \vect{OM} के द्वारा E\mathcal{E} को EE से पहचान देता है।

उदाहरण

उदाहरण 17.2 (बिना स्वाभाविक मूल बिंदु की एक आनत समष्टि)

हल-समतल E={(x,y,z)∈R3:x+y+z=1}\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\} सदिश उपसमष्टि नहीं है (0∉E0 \notin \mathcal E), परंतु वह E={x+y+z=0}E = \{x + y + z = 0\} से दिशित आनत समष्टि है: A,B∈EA, B \in \mathcal E के लिए अंतर AB→=B−A\vect{AB} = B - A EE में उतरता है (योग कट जाते हैं), शाल R3\R^3 से विरासत में मिलती है, और B↦AB→B \mapsto \vect{AB} EE पर एकैकी आच्छादक है। E\mathcal E का कोई बिंदु विशिष्ट नहीं है — “मूल बिंदु” का कोई भी चुनाव O∈EO \in \mathcal E उतना ही अच्छा है, और सारी पहचानें M↦OM→M \mapsto \vect{OM} स्थानांतरणों से भिन्न होती हैं। यही विशिष्ट स्थिति है: असमांगी रैखिक समस्याओं (रैखिक निकाय, अध्याय 16 में रैखिक अवकल समीकरण) के हल-समुच्चय आनत होते हैं, रैखिक कभी नहीं; और नारा “विशिष्ट हल जमा केंद्रक” ठीक अगली परिभाषा का कथन F=A+F\mathcal F = A + F है।

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