O que é Subespaços afins; aplicações afins?

Exemplo 17.9 (Classificar uma aplicação afim, do começo ao fim)

Seja $f(x, y) = (2x - 1,\ 3y - 4)$ em $\R^2$. Sua parte linear é $\varphi = \operatorname{diag}(2, 3)$, cujo espectro $\{2, 3\}$ evita $1$: pelo critério de ponto fixo demonstrado adiante (Proposição 17.17), $f$ tem exatamente um ponto fixo, achado resolvendo

Recentrando em $\Omega$ (ponha $x = 1 + u$, $y = 2 + v$):

no referencial em $\Omega$, $f$ é sua parte linear, uma dilatação anisotrópica que estica por $2$ na horizontal e por $3$ na vertical a partir do centro $(1, 2)$. A lição geral: uma aplicação afim é “aplicação linear mais dado de posição”, e o dado de posição colapsa numa única origem bem escolhida sempre que $1$ não é autovalor. Reciprocamente, transladar mal a origem cria os termos constantes: a geometria afim é a arte de escolher onde pôr $0$.

Exemplo 17.2 (Um espaço afim sem origem natural)

O plano solução $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ não é um subespaço vetorial ($0 \notin \mathcal E$), mas é um espaço afim dirigido por $E = \{x + y + z = 0\}$: para $A, B \in \mathcal E$ a diferença $\vect{AB} = B - A$ cai em $E$ (as somas se cancelam), Chasles é herdado de $\R^3$, e $B \mapsto \vect{AB}$ é bijetiva sobre $E$. Nenhum ponto de $\mathcal E$ é distinguido — qualquer escolha de “origem” $O \in \mathcal E$ funciona igualmente bem, e todas as identificações $M \mapsto \vect{OM}$ diferem por translações. Essa é a situação típica: os conjuntos solução de problemas lineares não homogêneos (sistemas lineares, equações diferenciais lineares no Capítulo 16) são afins, nunca lineares, e o lema “solução particular mais núcleo” é exatamente o enunciado $\mathcal F = A + F$ da definição seguinte.

Exemplo 17.18 (Isometrias do plano, completadas)

Uma isometria afim do plano euclidiano tem parte linear em $O(2)$: uma rotação $R_\theta$ ou uma reflexão (volume do primeiro ano de graduação). Se $\theta \neq 0$: $1 \notin \operatorname{Sp} R_\theta$, de modo que a aplicação é uma rotação em torno de um centro único (Proposição 17.17). Se a parte linear é uma reflexão: ou uma reflexão num eixo (há pontos fixos) ou uma reflexão deslizante (reflexão composta com uma translação ao longo do eixo, sem ponto fixo). Com as translações, essa é a classificação completa das isometrias do plano.