À propos GitHub Coach Connexion Commencer la lecture

Mathématiques · Glossaire

Qu'est-ce que « espace affine » ?

Définition 17.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 17 — Espaces affines

Un espace affine dirigé par un espace vectoriel réel EE est un ensemble non vide E\mathcal{E} muni d’une application (A,B)↦AB→∈E(A, B) \mapsto \vect{AB} \in E vérifiant

AB→+BC→=AC→(Chasles),pour chaque A, B↦AB→ est une bijection E→E.\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC} \quad \text{(Chasles)}, \qquad \text{pour chaque } A,\ B \mapsto \vect{AB} \text{ est une bijection } \mathcal{E} \to E .

On note B=A+uB = A + u l’unique point tel que AB→=u\vect{AB} = u. La dimension de E\mathcal{E} est dim⁡E\dim E. Tout espace vectoriel est un espace affine sur lui-même (AB→=B−A\vect{AB} = B - A) ; tout choix d’origine O∈EO \in \mathcal{E} identifie E\mathcal{E} à EE via M↦OM→M \mapsto \vect{OM}.

Exemples

Exemple 17.2 (Un espace affine sans origine naturelle)

Le plan solution E={(x,y,z)∈R3:x+y+z=1}\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\} n’est pas un sous-espace vectoriel (0∉E0 \notin \mathcal E), mais c’est un espace affine dirigé par E={x+y+z=0}E = \{x + y + z = 0\} : pour A,B∈EA, B \in \mathcal E la différence AB→=B−A\vect{AB} = B - A tombe dans EE (les sommes s’annulent), Chasles est hérité de R3\R^3, et B↦AB→B \mapsto \vect{AB} est bijective sur EE. Aucun point de E\mathcal E n’est distingué — tout choix d’« origine » O∈EO \in \mathcal E convient aussi bien, et toutes les identifications M↦OM→M \mapsto \vect{OM} diffèrent par des translations. C’est la situation typique : les ensembles solutions de problèmes linéaires inhomogènes (systèmes linéaires, équations différentielles linéaires au Chapitre 16) sont affines, jamais linéaires, et le slogan « solution particulière plus noyau » est exactement l’énoncé F=A+F\mathcal F = A + F de la définition suivante.

Lire dans le chapitre →

Termes liés